Пондерисано планирање послова | Сет 2 (користећи ЛИС)
Дато је Н послова где је сваки посао представљен пратећим три елемента.
1. Време почетка
2. Време завршетка
3. Повезани профит или вредност
Пронађите максимални профит подскуп послова тако да се два посла у подскупу не преклапају.
Примери:
Input:
Number of Jobs n = 4
Job Details {Start Time Finish Time Profit}
Job 1: {1 2 50}
Job 2: {3 5 20}
Job 3: {6 19 100}
Job 4: {2 100 200}
Output:
Job 1: {1 2 50}
Job 4: {2 100 200}
Explanation: We can get the maximum profit by
scheduling jobs 1 and 4 and maximum profit is 250.Ин претходни пост о којем смо разговарали о проблему пондерисаног распореда послова. Разговарали смо о ДП решењу где у основи укључујемо или искључујемо тренутни посао. У овом посту се говори о још једном интересантном ДП решењу где штампамо и послове. Овај проблем је варијација стандарда Најдужа растућа подсеквенца (ЛИС) проблем. Потребна нам је мала промена у решењу Динамиц Программинг ЛИС проблема.
Прво треба да сортирамо послове према времену почетка. Нека посао[0..н-1] буде низ послова након сортирања. Дефинишемо вектор Л тако да је Л[и] сам вектор који складишти пондерисано планирање послова за посао[0..и] које се завршава са јоб[и]. Стога се за индекс и Л[и] може рекурзивно написати као -
L[0] = {job[0]}
L[i] = {MaxSum(L[j])} + job[i] where j < i and job[j].finish <= job[i].start
= job[i] if there is no such j
На пример, размотрите парове {3 10 20} {1 2 50} {6 19 100} {2 100 200}After sorting we get
{1 2 50} {2 100 200} {3 10 20} {6 19 100}
Therefore
L[0]: {1 2 50}
L[1]: {1 2 50} {2 100 200}
L[2]: {1 2 50} {3 10 20}
L[3]: {1 2 50} {6 19 100}Бирамо вектор са највећим профитом. У овом случају Л[1].
Испод је имплементација горње идеје –
C++Java// C++ program for weighted job scheduling using LIS #include#include #include using namespace std ; // A job has start time finish time and profit. struct Job { int start finish profit ; }; // Utility function to calculate sum of all vector // elements int findSum ( vector < Job > arr ) { int sum = 0 ; for ( int i = 0 ; i < arr . size (); i ++ ) sum += arr [ i ]. profit ; return sum ; } // comparator function for sort function int compare ( Job x Job y ) { return x . start < y . start ; } // The main function that finds the maximum possible // profit from given array of jobs void findMaxProfit ( vector < Job > & arr ) { // Sort arr[] by start time. sort ( arr . begin () arr . end () compare ); // L[i] stores Weighted Job Scheduling of // job[0..i] that ends with job[i] vector < vector < Job >> L ( arr . size ()); // L[0] is equal to arr[0] L [ 0 ]. push_back ( arr [ 0 ]); // start from index 1 for ( int i = 1 ; i < arr . size (); i ++ ) { // for every j less than i for ( int j = 0 ; j < i ; j ++ ) { // L[i] = {MaxSum(L[j])} + arr[i] where j < i // and arr[j].finish <= arr[i].start if (( arr [ j ]. finish <= arr [ i ]. start ) && ( findSum ( L [ j ]) > findSum ( L [ i ]))) L [ i ] = L [ j ]; } L [ i ]. push_back ( arr [ i ]); } vector < Job > maxChain ; // find one with max profit for ( int i = 0 ; i < L . size (); i ++ ) if ( findSum ( L [ i ]) > findSum ( maxChain )) maxChain = L [ i ]; for ( int i = 0 ; i < maxChain . size (); i ++ ) cout < < '(' < < maxChain [ i ]. start < < ' ' < < maxChain [ i ]. finish < < ' ' < < maxChain [ i ]. profit < < ') ' ; } // Driver Function int main () { Job a [] = { { 3 10 20 } { 1 2 50 } { 6 19 100 } { 2 100 200 } }; int n = sizeof ( a ) / sizeof ( a [ 0 ]); vector < Job > arr ( a a + n ); findMaxProfit ( arr ); return 0 ; } Python// Java program for weighted job // scheduling using LIS import java.util.ArrayList ; import java.util.Arrays ; import java.util.Collections ; import java.util.Comparator ; class Graph { // A job has start time finish time // and profit. static class Job { int start finish profit ; public Job ( int start int finish int profit ) { this . start = start ; this . finish = finish ; this . profit = profit ; } }; // Utility function to calculate sum of all // ArrayList elements static int findSum ( ArrayList < Job > arr ) { int sum = 0 ; for ( int i = 0 ; i < arr . size (); i ++ ) sum += arr . get ( i ). profit ; return sum ; } // The main function that finds the maximum // possible profit from given array of jobs static void findMaxProfit ( ArrayList < Job > arr ) { // Sort arr[] by start time. Collections . sort ( arr new Comparator < Job > () { @Override public int compare ( Job x Job y ) { return x . start - y . start ; } }); // sort(arr.begin() arr.end() compare); // L[i] stores Weighted Job Scheduling of // job[0..i] that ends with job[i] ArrayList < ArrayList < Job >> L = new ArrayList <> (); for ( int i = 0 ; i < arr . size (); i ++ ) { L . add ( new ArrayList <> ()); } // L[0] is equal to arr[0] L . get ( 0 ). add ( arr . get ( 0 )); // Start from index 1 for ( int i = 1 ; i < arr . size (); i ++ ) { // For every j less than i for ( int j = 0 ; j < i ; j ++ ) { // L[i] = {MaxSum(L[j])} + arr[i] where j < i // and arr[j].finish <= arr[i].start if (( arr . get ( j ). finish <= arr . get ( i ). start ) && ( findSum ( L . get ( j )) > findSum ( L . get ( i )))) { ArrayList < Job > copied = new ArrayList <> ( L . get ( j )); L . set ( i copied ); } } L . get ( i ). add ( arr . get ( i )); } ArrayList < Job > maxChain = new ArrayList <> (); // Find one with max profit for ( int i = 0 ; i < L . size (); i ++ ) if ( findSum ( L . get ( i )) > findSum ( maxChain )) maxChain = L . get ( i ); for ( int i = 0 ; i < maxChain . size (); i ++ ) { System . out . printf ( '(%d %d %d)n' maxChain . get ( i ). start maxChain . get ( i ). finish maxChain . get ( i ). profit ); } } // Driver code public static void main ( String [] args ) { Job [] a = { new Job ( 3 10 20 ) new Job ( 1 2 50 ) new Job ( 6 19 100 ) new Job ( 2 100 200 ) }; ArrayList < Job > arr = new ArrayList <> ( Arrays . asList ( a )); findMaxProfit ( arr ); } } // This code is contributed by sanjeev2552C## Python program for weighted job scheduling using LIS import sys # A job has start time finish time and profit. class Job : def __init__ ( self start finish profit ): self . start = start self . finish = finish self . profit = profit # Utility function to calculate sum of all vector elements def findSum ( arr ): sum = 0 for i in range ( len ( arr )): sum += arr [ i ] . profit return sum # comparator function for sort function def compare ( x y ): if x . start < y . start : return - 1 elif x . start == y . start : return 0 else : return 1 # The main function that finds the maximum possible profit from given array of jobs def findMaxProfit ( arr ): # Sort arr[] by start time. arr . sort ( key = lambda x : x . start ) # L[i] stores Weighted Job Scheduling of job[0..i] that ends with job[i] L = [[] for _ in range ( len ( arr ))] # L[0] is equal to arr[0] L [ 0 ] . append ( arr [ 0 ]) # start from index 1 for i in range ( 1 len ( arr )): # for every j less than i for j in range ( i ): # L[i] = {MaxSum(L[j])} + arr[i] where j < i # and arr[j].finish <= arr[i].start if arr [ j ] . finish <= arr [ i ] . start and findSum ( L [ j ]) > findSum ( L [ i ]): L [ i ] = L [ j ][:] L [ i ] . append ( arr [ i ]) maxChain = [] # find one with max profit for i in range ( len ( L )): if findSum ( L [ i ]) > findSum ( maxChain ): maxChain = L [ i ] for i in range ( len ( maxChain )): print ( '( {} {} {} )' . format ( maxChain [ i ] . start maxChain [ i ] . finish maxChain [ i ] . profit ) end = ' ' ) # Driver Function if __name__ == '__main__' : a = [ Job ( 3 10 20 ) Job ( 1 2 50 ) Job ( 6 19 100 ) Job ( 2 100 200 )] findMaxProfit ( a )JavaScriptusing System ; using System.Collections.Generic ; using System.Linq ; public class Graph { // A job has start time finish time // and profit. public class Job { public int start finish profit ; public Job ( int start int finish int profit ) { this . start = start ; this . finish = finish ; this . profit = profit ; } }; // Utility function to calculate sum of all // ArrayList elements public static int FindSum ( List < Job > arr ) { int sum = 0 ; for ( int i = 0 ; i < arr . Count ; i ++ ) sum += arr . ElementAt ( i ). profit ; return sum ; } // The main function that finds the maximum // possible profit from given array of jobs public static void FindMaxProfit ( List < Job > arr ) { // Sort arr[] by start time. arr . Sort (( x y ) => x . start . CompareTo ( y . start )); // L[i] stores Weighted Job Scheduling of // job[0..i] that ends with job[i] List < List < Job >> L = new List < List < Job >> (); for ( int i = 0 ; i < arr . Count ; i ++ ) { L . Add ( new List < Job > ()); } // L[0] is equal to arr[0] L [ 0 ]. Add ( arr [ 0 ]); // Start from index 1 for ( int i = 1 ; i < arr . Count ; i ++ ) { // For every j less than i for ( int j = 0 ; j < i ; j ++ ) { // L[i] = {MaxSum(L[j])} + arr[i] where j < i // and arr[j].finish <= arr[i].start if (( arr [ j ]. finish <= arr [ i ]. start ) && ( FindSum ( L [ j ]) > FindSum ( L [ i ]))) { List < Job > copied = new List < Job > ( L [ j ]); L [ i ] = copied ; } } L [ i ]. Add ( arr [ i ]); } List < Job > maxChain = new List < Job > (); // Find one with max profit for ( int i = 0 ; i < L . Count ; i ++ ) if ( FindSum ( L [ i ]) > FindSum ( maxChain )) maxChain = L [ i ]; for ( int i = 0 ; i < maxChain . Count ; i ++ ) { Console . WriteLine ( '({0} {1} {2})' maxChain [ i ]. start maxChain [ i ]. finish maxChain [ i ]. profit ); } } // Driver code public static void Main ( String [] args ) { Job [] a = { new Job ( 3 10 20 ) new Job ( 1 2 50 ) new Job ( 6 19 100 ) new Job ( 2 100 200 ) }; List < Job > arr = new List < Job > ( a ); FindMaxProfit ( arr ); } }
Излаз(1 2 50) (2 100 200)
Можемо даље оптимизовати горенаведено ДП решење уклањањем функције финдСум(). Уместо тога можемо одржавати други вектор/низ за чување суме максималног могућег профита до посла и.Временска сложеност од горе наведеног решења за динамичко програмирање је О(н 2 ) где је н број послова.
Помоћни простор који програм користи је О(н 2 ).
