Найбільший плюс або «+», утворений усіма одиницями у двійковій квадратній матриці
Враховуючи ан n × n двійкова матриця разом з що складається з 0 с і 1с . Ваше завдання знайти розмір найбільшого '+' форму, яку можна сформувати лише за допомогою 1с .
А '+' форма складається з центральної комірки з чотирма рукавами, що простягаються в усіх чотирьох напрямках ( вгору вниз вліво і вправо ), залишаючись у межах матриці. Розмір a '+' визначається як загальна кількість комірок формуючи його, включаючи центр і всі руки.
Завдання - повернути максимальний розмір будь-якого дійсного '+' в разом з . Якщо ні '+' може бути сформований повернення .
приклади:
введення: з = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ]
Вихід: 9
Пояснення: «+» із довжиною плеча 2 (2 клітинки в кожному напрямку + 1 центр) можна сформувати в центрі килимка.
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 1 0
Загальний розмір = (2 × 4) + 1 = 9введення: з = [ [0 1 1] [0 0 1] [1 1 1] ]
Вихід: 1
Пояснення: «+» із довжиною плеча 0 (0 клітинок у кожному напрямку + 1 центр) можна сформувати з будь-якою з одиниць.введення: з = [ [0] ]
Вихід:
Пояснення: немає Можна сформувати знак «+».
[Наївний підхід] - Вважайте кожну точку центром - O(n^4) часу та O(n^4) простору
Перейдіть через комірки матриці одну за одною. Вважайте кожну пройдену точку центром плюса і знайдіть розмір +. Для кожного елемента проходимо вліво вправо вниз і вгору. Найгірший випадок у цьому рішенні відбувається, коли ми маємо всі одиниці.
[Очікуваний підхід] - Попереднє обчислення 4 масивів - O(n^2) часу та O(n^2) простору
The ідея полягає у підтримці чотирьох допоміжних матриць зліва[][] справа[][] зверху[][] знизу[][] щоб зберегти послідовні одиниці в кожному напрямку. Для кожної клітини (i j) у вхідній матриці ми зберігаємо інформацію нижче чотири матриці -
- ліворуч (i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць до зліва комірки (i j), включаючи комірку (i j).
- праворуч (i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць до правильно комірки (i j), включаючи комірку (i j).
- top(i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць at зверху комірки (i j), включаючи комірку (i j).
- дно (i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць at дно комірки (i j), включаючи комірку (i j).
Після обчислення значення для кожної комірки вищевказаних матриць найбільший'+' буде утворено коміркою вхідної матриці, яка має максимальне значення з урахуванням мінімуму ( ліворуч (i j) праворуч (i j) зверху (i j) знизу (i j) )
Ми можемо використовувати Динамічне програмування щоб обчислити загальну кількість послідовних одиниць у кожному напрямку:
якщо mat(i j) == 1
лівий(i j) = лівий(i j - 1) + 1інакше залишилося (i j) = 0
якщо mat(i j) == 1
top(i j) = top(i - 1 j) + 1;інакше top(i j) = 0;
якщо mat(i j) == 1
bottom(i j) = bottom(i + 1 j) + 1;інакше bottom(i j) = 0;
якщо mat(i j) == 1
right(i j) = right(i j + 1) + 1;інакше право (i j) = 0;
Нижче наведено реалізацію вищезазначеного підходу:
C++ // C++ program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming #include using namespace std ; int findLargestPlus ( vector < vector < int >> & mat ) { int n = mat . size (); vector < vector < int >> left ( n vector < int > ( n 0 )); vector < vector < int >> right ( n vector < int > ( n 0 )); vector < vector < int >> top ( n vector < int > ( n 0 )); vector < vector < int >> bottom ( n vector < int > ( n 0 )); // Fill left and top matrices for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { left [ i ][ j ] = ( j == 0 ) ? 1 : left [ i ][ j - 1 ] + 1 ; top [ i ][ j ] = ( i == 0 ) ? 1 : top [ i - 1 ][ j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( int i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( int j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { right [ i ][ j ] = ( j == n - 1 ) ? 1 : right [ i ][ j + 1 ] + 1 ; bottom [ i ][ j ] = ( i == n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 ; } } } int maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { int armLength = min ({ left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ]}); maxPlusSize = max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } int main () { // Hardcoded input matrix vector < vector < int >> mat = { { 0 1 1 0 1 } { 0 0 1 1 1 } { 1 1 1 1 1 } { 1 1 1 0 1 } { 0 1 1 1 0 } }; cout < < findLargestPlus ( mat ) < < endl ; return 0 ; }
Java // Java program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming class GfG { static int findLargestPlus ( int [][] mat ) { int n = mat . length ; int [][] left = new int [ n ][ n ] ; int [][] right = new int [ n ][ n ] ; int [][] top = new int [ n ][ n ] ; int [][] bottom = new int [ n ][ n ] ; // Fill left and top matrices for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { left [ i ][ j ] = ( j == 0 ) ? 1 : left [ i ][ j - 1 ] + 1 ; top [ i ][ j ] = ( i == 0 ) ? 1 : top [ i - 1 ][ j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( int i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( int j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { right [ i ][ j ] = ( j == n - 1 ) ? 1 : right [ i ][ j + 1 ] + 1 ; bottom [ i ][ j ] = ( i == n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 ; } } } int maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { int armLength = Math . min ( Math . min ( left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] ) Math . min ( top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ] )); maxPlusSize = Math . max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } public static void main ( String [] args ) { // Hardcoded input matrix int [][] mat = { { 0 1 1 0 1 } { 0 0 1 1 1 } { 1 1 1 1 1 } { 1 1 1 0 1 } { 0 1 1 1 0 } }; System . out . println ( findLargestPlus ( mat )); } }
Python # Python program to find the largest '+' in a binary matrix # using Dynamic Programming def findLargestPlus ( mat ): n = len ( mat ) left = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] right = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] top = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] bottom = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] # Fill left and top matrices for i in range ( n ): for j in range ( n ): if mat [ i ][ j ] == 1 : left [ i ][ j ] = 1 if j == 0 else left [ i ][ j - 1 ] + 1 top [ i ][ j ] = 1 if i == 0 else top [ i - 1 ][ j ] + 1 # Fill right and bottom matrices for i in range ( n - 1 - 1 - 1 ): for j in range ( n - 1 - 1 - 1 ): if mat [ i ][ j ] == 1 : right [ i ][ j ] = 1 if j == n - 1 else right [ i ][ j + 1 ] + 1 bottom [ i ][ j ] = 1 if i == n - 1 else bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 maxPlusSize = 0 # Compute the maximum '+' size for i in range ( n ): for j in range ( n ): if mat [ i ][ j ] == 1 : armLength = min ( left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ]) maxPlusSize = max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ) return maxPlusSize if __name__ == '__main__' : # Hardcoded input matrix mat = [ [ 0 1 1 0 1 ] [ 0 0 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 0 1 ] [ 0 1 1 1 0 ] ] print ( findLargestPlus ( mat ))
C# // C# program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming using System ; class GfG { static int FindLargestPlus ( int [] mat ) { int n = mat . GetLength ( 0 ); int [] left = new int [ n n ]; int [] right = new int [ n n ]; int [] top = new int [ n n ]; int [] bottom = new int [ n n ]; // Fill left and top matrices for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i j ] == 1 ) { left [ i j ] = ( j == 0 ) ? 1 : left [ i j - 1 ] + 1 ; top [ i j ] = ( i == 0 ) ? 1 : top [ i - 1 j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( int i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( int j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i j ] == 1 ) { right [ i j ] = ( j == n - 1 ) ? 1 : right [ i j + 1 ] + 1 ; bottom [ i j ] = ( i == n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 j ] + 1 ; } } } int maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i j ] == 1 ) { int armLength = Math . Min ( Math . Min ( left [ i j ] right [ i j ]) Math . Min ( top [ i j ] bottom [ i j ])); maxPlusSize = Math . Max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } public static void Main () { // Hardcoded input matrix int [] mat = { { 0 1 1 0 1 } { 0 0 1 1 1 } { 1 1 1 1 1 } { 1 1 1 0 1 } { 0 1 1 1 0 } }; Console . WriteLine ( FindLargestPlus ( mat )); } }
JavaScript // JavaScript program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming function findLargestPlus ( mat ) { let n = mat . length ; let left = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); let right = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); let top = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); let bottom = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); // Fill left and top matrices for ( let i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( let j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] === 1 ) { left [ i ][ j ] = ( j === 0 ) ? 1 : left [ i ][ j - 1 ] + 1 ; top [ i ][ j ] = ( i === 0 ) ? 1 : top [ i - 1 ][ j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( let i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( let j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i ][ j ] === 1 ) { right [ i ][ j ] = ( j === n - 1 ) ? 1 : right [ i ][ j + 1 ] + 1 ; bottom [ i ][ j ] = ( i === n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 ; } } } let maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( let i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( let j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] === 1 ) { let armLength = Math . min ( left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ]); maxPlusSize = Math . max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } // Hardcoded input matrix let mat = [ [ 0 1 1 0 1 ] [ 0 0 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 0 1 ] [ 0 1 1 1 0 ] ]; console . log ( findLargestPlus ( mat ));
Вихід
9
Часова складність: O(n²) завдяки чотирьом проходам для обчислення матриць спрямованості та одному останньому проходу для визначення найбільшого «+». Кожен прохід займає O(n²) часу, що призводить до загальної складності O(n²).
Просторова складність: O(n²) завдяки чотирьом допоміжним матрицям (ліворуч праворуч угорі внизу), які займають O(n²) додаткового простору.
