ЩО ТАКЕ ПОХІДНА ВІД COT X?

Похідною від Cot x є -cosec ² х. Це відноситься до процесу знаходження зміни функції синуса відносно незалежної змінної. Похідна від cot x також відома як диференціювання cot x, що є процесом знаходження швидкості зміни тригонометричної функції cot.

У цій статті ми дізнаємося про похідну від cot x та її формулу, включаючи доказ формули за допомогою першого принципу похідних, правила частки та правила ланцюга.

Похідна від cot x є -cosec ² х. Похідна від cot x є однією з шести тригонометричних похідних, які ми маємо вивчити. Це диференціювання котангенса тригонометричної функції відносно змінної x у даному випадку. Якщо ми маємо cot y або cot θ, тоді ми диференціюємо котангенс відносно y або θ відповідно.

вчись,

Обчислення в математиці
Похідна в математиці

Похідна формули Cot x

Формула похідної cot x визначається так:

(d/dx)[cot x] = -cosec ² х

або

(cot x)’ = -cosec ² х

Доказ похідної від Cot x

Похідну cot x можна довести такими способами:

За допомогою першого принципу похідної
З допомогою Правило частки
З допомогою Правило ланцюжка

Похідна від Cot x за першим принципом похідної

Почнемо доказ похідної від Cot x:

Нехай f(x) = Cot x

За першим принципом похідної

f'(x)= lim h→0 f(x+h)-f(x)/h

= lim h→0 cot(x+ h)- cot x/ h

= lim h→0 [cos(x+h)/sin(x+h)- cos x/ sin x]/h

= lim h→0 sin x cos(x+h)-cos x sin (x+h) / sin(x+h) sin x. ч

=lim h→0 sin [x-(x+h) / sin(x+h).sin x .h

= lim h→0 – sin h/h lim h→0 1/sin (x+h)sin x

= -1 × 1/sinx. sinx

= -1/ без ² х

= -cosec ² х

Похідна від Cot x за правилом частки

Щоб знайти похідну від cot x за допомогою правила частки похідної, ми повинні використати наступні згадані формули

(d/dx) [u/v] = [u’v – uv’]/v ²
без ² (x)+ cos ² (x)= 1
cot x = cos x / sin x
cosec x = 1 / sin x

Почнемо доведення похідної від cot x

f(x) = cot x = cos(x)/sin(x)

u(x) = cos(x) і v(x)=sin(x)

u'(x) = -sin(x) і v'(x)=cos(x)

в ² (x) = sin ² (x)

f'(x) = {-sin(x).sin(x) – cos(x).cos(x)}/sin ² (x)

f'(x) = -sin ² (x)-cos ² (x)/sin ² (x)

f'(x) = -sin ² (x)+cos ² (x)/sin ² (x)

За однією з тригонометричних тотожностей cos ² x + sin ² х = 1.

f'(x) = – 1/ sin ² (x)

d/dx cot(x) = -1 /sin ² (x) = -cosec ² (x)

Отже, диференціювання cot x є -cosec ² х.

Похідна від Cot x за правилом ланцюга

Припустимо, що y = cot x, тоді ми можемо написати y = 1 / (tan x) = (tan x) ^-1 . Оскільки ми маємо силу тут, ми можемо застосувати правило потужності тут. За правилом потужності та правилом ланцюга,

y’ = (-1) (tan x) ^-2 ·d/dx (tan x)

Похідна від tan x є d/dx (tan x) = sec²x

y= дитяче ліжечко x

y’ = -1/тан ² x·(сек ² x)

y’ = – ліжечко ² х·сек ² х

Тепер cot x = (cos x)/(sin x) і sec x = 1/(cos x). Так

y’ = -(cos ² x)/(без ² x) · (1/cos ² x)

y’ = -1/sin ² х

Оскільки взаємність гріха є cosec. тобто 1/sin x = cosec x. Так

y’ = -cosec ² х

Звідси доведено.

Читайте також,

Диференціювання тригонометричної функції

Формули диференціювання

Похідна кореня x

Розв’язані приклади на похідну від Cot x

Ось деякі приклади, пов’язані з похідною від Cot x,

Приклад 1: Знайдіть похідну від cot ² х.

рішення:

Нехай f(x) = cot ² x = (ліжечко x) ²

Використовуючи правило ступеня та правило ланцюга,

f'(x) = 2 cot x · d/dx(cot x)

Ми знаємо, що похідною від cot x є -cosec ² х. Так

f'(x) = -2 cot x ·cosec ² х

Приклад 2: диференціювати tan x відносно cot x.

рішення:

Нехай v = tan x і u = cot x. Тоді dv/dx = сек ² x і du/dx = -cosec ² х.

Ми повинні знайти dv/du. Ми можемо записати це як

dv/du = (dv/dx) / (du/dx)

dv/du = (сек ² x) / (-cosec ² x)

dv/du = (1/cos ² x) / (-1/sin ² x)

dv/du = (-sin ² x) / (cos ² x)

dv/du = -tan ² х

Приклад 3: Знайти похідну від cot x · csc2x

рішення:

Нехай f(x) = cot x · cosec ² х

За правилом продукту,

f'(x) = cot x·d/dx (cosec ² x) + cosec ² x·d/dx(cot x)

f'(x) = cot x·(2 cosec x) d/dx (cosec x) + cosec ² x (-cosec ² x) (за ланцюговим правилом)

f'(x) = 2 cosec x cot x (-cosec x cot x) – cosec ⁴ х

f'(x) = -2 cosec ² х ліжечко ² x – cosec ⁴ х