INVERZNÉ TRIGONOMETRICKÉ IDENTITY | DOMÉNA, ROZSAH A VLASTNOSTI

Inverzné goniometrické identity: V matematike sú inverzné goniometrické funkcie známe aj ako arcus funkcie alebo anti-trigonometrické funkcie. Inverzné goniometrické funkcie sú inverzné funkcie základných goniometrických funkcií, t. j. sínus, kosínus, tangens, kosekans, sekans a kotangens. Používa sa na nájdenie uhlov s akýmkoľvek trigonometrickým pomerom. Inverzné goniometrické funkcie sa vo všeobecnosti používajú v oblastiach ako geometria, inžinierstvo atď. Inverzné goniometrické funkcie sú reprezentované:

Ak a = f(b), potom inverzná funkcia je

b = f ^-1 (a)

Príklady inverzných inverzných goniometrických funkcií sú sin ^-1 x, cos ^-1 x, teda ^-1 x atď.

Obsah

Doména a rozsah inverzných goniometrických identít
Vlastnosti inverzných goniometrických funkcií
Identity inverznej goniometrickej funkcie
Vzorové problémy s inverznými goniometrickými identitami
Cvičte problémy s inverznými goniometrickými identitami

Doména a rozsah inverzných goniometrických identít

Nasledujúca tabuľka zobrazuje niektoré goniometrické funkcie s ich doménou a rozsahom.

Funkcia	doména	Rozsah
y = bez ^-1 X	[-jedenásť]	[-p/2, p/2]
y = cos ^-1 X	[-jedenásť]	[0, p]
y = kosec ^-1 X	R – (-1,1)	[-π/2,π/2] – {0}
y = sek ^-1 X	R - (-jedenásť)	[0, π] – {π/2}
y = tak ^-1 X	R	(-p/2, p/2)
y = detská postieľka ^-1 X	R	(0, p)

Vlastnosti inverzných goniometrických funkcií

Nasledujú vlastnosti inverzných goniometrických funkcií:

Vlastnosť 1:

bez ^-1 (1/x) = sec ^-1 x, pre x ≥ 1 alebo x ≤ -1
cos ^-1 (1/x) = sek ^-1 x, pre x ≥ 1 alebo x ≤ -1
tak ^-1 (1/x) = detská postieľka ^-1 x, pre x> 0

Vlastnosť 2:

bez ^-1 (-x) = -sin ^-1 x, pre x ∈ [-1 , 1]
tak ^-1 (-x) = -tan ^-1 x, pre x ∈ R
cosec ^-1 (-x) = -cosec ^-1 x, pre |x| ≥ 1

Nehnuteľnosť 3

cos ^-1 (-x) = π – cos ^-1 x, pre x ∈ [-1 , 1]
sek ^-1 (-x) = π – sek ^-1 x, pre |x| ≥ 1
detská postieľka ^-1 (-x) = π – detská postieľka ^-1 x, pre x ∈ R

Nehnuteľnosť 4

bez ^-1 x + cos ^-1 x = π/2, pre x ∈ [-1,1]
tak ^-1 x + detská postieľka ^-1 x = π/2, pre x ∈ R
cosec ^-1 x + sek ^-1 x = π/2 pre |x| ≥ 1

Nehnuteľnosť 5

tak ^-1 x + tak ^-1 y = tak ^-1 ( x + y )/(1 – xy), pre xy <1
tak ^-1 x – teda ^-1 y = tak ^-1 (x – y)/(1 + xy), pre xy> -1
tak ^-1 x + tak ^-1 y = π + tan ^-1 (x + y)/(1 – xy), pre xy>1; x, y> 0

Nehnuteľnosť 6

2 tan ^-1 x = hriech ^-1 (2x)/(1 + x ² ), pre |x| ≤ 1
2 tan ^-1 x = cos ^-1 (1 – x ² )/(1 + x ² ), pre x ≥ 0
2 tan ^-1 x = tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ), pre -1

Identity inverznej goniometrickej funkcie

Nasledujú identity inverzných goniometrických funkcií:

bez ^-1 (sin x) = x za predpokladu -π/2 ≤ x ≤ π/2
cos ^-1 (cos x) = x za predpokladu, že 0 ≤ x ≤ π
tak ^-1 (tan x) = x za predpokladu -π/2
bez ^-1 x) = x za predpokladu -1 ≤ x ≤ 1
cos (cos ^-1 x) = x za predpokladu -1 ≤ x ≤ 1
tak tak ^-1 x) = x za predpokladu x ∈ R
cosec (cosec ^-1 x) = x za predpokladu -1 ≤ x ≤ ∞ alebo -∞
sek (sek ^-1 x) = x za predpokladu, že 1 ≤ x ≤ ∞ alebo -∞
detská postieľka (postieľka ^-1 x) = x za predpokladu -∞
sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
2cos ^-1 x = cos ^-1 (2x ² - 1)
2sin ^-1 x = hriech ^-1 2x√(1 – x ² )
3sin ^-1 x = hriech ^-1 (3x – 4x ³ )
3cos ^-1 x = cos ^-1 (4x ³ - 3x)
3tan ^-1 x = tak ^-1 ((3x – x ³ /1 – 3x ² ))
bez ^-1 x + hriech ^-1 y = bez ^-1 { x√(1 – y ² ) + y√(1 – x ² )}
bez ^-1 x – hriech ^-1 y = bez ^-1 { x√(1 – y ² ) – y√(1 – x ² )}
cos ^-1 x + cos ^-1 y = cos ^-1 [xy – √{(1 – x ² )(1 – a ² )}]
cos ^-1 x – cos ^-1 y = cos ^-1 [xy + √{(1 – x ² )(1 – a ² )}
tak ^-1 x + tak ^-1 y = tak ^-1 (x + y/1 – xy)
tak ^-1 x – teda ^-1 y = tak ^-1 (x – y/1 + xy)
tak ^-1 x + tak ^-1 a +tan ^-1 z = tak ^-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Ľudia si tiež prezerajú:

Trigonometria v matematike | Tabuľka, Vzorce, Identity

Zoznam všetkých trigonometrických identít

Inverzné goniometrické funkcie

Grafy inverzných goniometrických funkcií

Vzorové problémy s inverznými goniometrickými identitami

Otázka 1: Skúste bez ^-1 x = sek ^-1 1/√ (1-x ² )

Riešenie:

Nechaj bez ^-1 x = y

⇒ sin y = x , (keďže sin y = kolmica/prepona ⇒ cos y = √(1- kolmica ² )/hypotenza)

⇒ cos y = √(1 – x ² ), tu prepona = 1

⇒ sek y = 1/kos y

⇒ sek y = 1/√(1 – x ² )

⇒ y = sek ^-1 1/√(1 – x ² )

⇒ bez ^-1 x = sek ^-1 1/√(1 – x ² )

Preto dokázané.

Otázka 2: Skúste to ^-1 x = kosec ^-1 √ (1 + x ² )/X

Riešenie:

Nech tak ^-1 x = y

⇒ tan y = x, kolmica = x a základňa = 1

⇒ sin y = x/√(x ² + 1) , (pretože prepona = √ (kolmá ² + základňa ² ))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x ² + 1)/x

⇒ y = kosec ^-1 √ (x ² + 1)/x

⇒ teda ^-1 x = kosec ^-1 √ (x ² + 1)/x

Preto dokázané.

Otázka 3: Zhodnoťte sa ako ^-1 X)

Riešenie:

Nechajte čos ^-1 x = y

⇒ cos y = x , základ = x a prepona = 1 teda sin y = √(1 – x ² )/1

⇒ tan y = hriech y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x ² )/X

⇒ y = tak ^-1 √(1 – x ² )/X

⇒ cos ^-1 x = tak ^-1 √(1 – x ² )/X

Preto tan(cos ^-1 x) = tan(tan ^-1 √(1 – x ² )/x ) = √(1 – x ² )/X.

Otázka 4: tak ^-1 √(hriech x) + postieľka ^-1 √(sin x) = y. Nájdite čos a.

Riešenie:

To opálenie poznáme ^-1 x + detská postieľka ^-1 x = /2 teda porovnaním tejto identity s rovnicou uvedenou v otázke dostaneme y = π/2

Takže cos y = cos π/2 = 0.

Otázka 5: tak ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan ^-1 x, x> 0. Vyriešte x.

Riešenie:

tak ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan ^-1 X

⇒ 2tan ^-1 (1 – x)/(1 + x) = tan ^-1 x … (1)

Vieme to, 2tan ^-1 x = tak ^-1 2x/(1 – x ² ).

Preto LHS rovnice (1) možno zapísať ako

tak ^-1 [ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)] ² }]

= tak ^-1 [ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x) ² – (1 – x) ² }]

= tak ^-1 [ 2(1 – x ² )/(4x)]

= tak ^-1 (1 – x ² )/(2x)

Pretože, LHS = RHS teda

tak ^-1 (1 – x ² )/(2x) = opálenie ^-1 X

⇒ (1 – x ² )/2x = x

⇒ 1 – x ² = 2x ²

⇒ 3x ² = 1

⇒ x = ± 1/√3

Keďže x musí byť väčšie ako 0, x = 1/√3 je prijateľná odpoveď.

Otázka 6: Skúste to ^-1 √x = (1/2) cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

Riešenie:

Nech tak ^-1 √x = y

⇒ tan y = √x

⇒ teda ² y = x

preto

RHS = (1/2) cos ^-1 (1- tak ² y)/(1 + tan ² a)

= (1/2) cos ^-1 (kos ² a bez ² y)/(cos ² a + bez ² a)

= (1/2) cos ^-1 (kos ² a bez ² a)

= (1/2) cos ^-1 (cos 2 roky)

= (1/2) (2 roky)

= a

= tak ^-1 √x

= LHS

Preto dokázané.

Otázka 7: tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + detská postieľka ^-1 (1 – x ² )/(2x) = π/2, -1

Riešenia:

tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + detská postieľka ^-1 (1 – x ² )/(2x) = π/2

⇒ teda ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ) = π/2

⇒ 2tan ^-1 (2x)/(1 – x ² ) = ∏/2

⇒ teda ^-1 (2x)/(1 – x ² ) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x ² ) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x ² ) = 1

⇒ 2x = 1 – x ²

⇒ x ² + 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(2 ² – 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 alebo x = -1 – √2

Ale podľa otázky x ∈ (-1, 1) teda pre danú rovnicu je množina riešení x ∈ ∅.

Otázka 8: tak ^-1 1/(1 + 1,2) + tan ^-1 1/(1 + 2,3) + … + tak ^-1 1/(1 + n(n + 1)) = tan ^-1 X. Riešenie pre x.

Riešenie:

tak ^-1 1/(1 + 1,2) + tan ^-1 1/(1 + 2,3) + … + tan ^-1 1/(1 + n(n + 1)) = tan ^-1 X

⇒ teda ^-1 (2 – 1)/(1 + 1,2) + tan ^-1 (3 – 2)/(1 + 2,3) + … + tak ^-1 (n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan ^-1 X

⇒ (tak ^-1 2 - tak ^-1 1) + (tak ^-1 3 - tak ^-1 2) + … + (tak ^-1 (n + 1) – tak ^-1 n) = tak ^-1 X

⇒ teda ^-1 (n + 1) – tak ^-1 1 = tak ^-1 X

⇒ teda ^-1 n/(1 + (n + 1).1) = tan ^-1 X

⇒ teda ^-1 n/(n + 2) = tan ^-1 X

⇒ x = n/(n + 2)

Otázka 9: Ak 2tan ^-1 (bez x) = tak ^-1 (2s x) potom vyriešte x.

Riešenie:

2 tan ^-1 (bez x) = tak ^-1 (2 s x)

⇒ teda ^-1 (2sin x)/(1 – sin ² x) = tak ^-1 (2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin ² x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos ² x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos ² X

⇒ sin x cos x – cos ² x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 alebo sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 alebo tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 alebo x = π/4

Ale pri x = π/2 daná rovnica neexistuje, takže x = π/4 je jediné riešenie.

Otázka 10: Dokážte, že postieľka ^-1 [ {√(1 + hriech x) + √(1 – hriech x)}/{√(1 + hriech x) – √(1 – hriech x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Riešenie:

Preto nech x = 2y

LHS = detská postieľka ^-1 [{√(1+sin 2r) + √(1-sin 2r)}/{√(1+sin 2r) – √(1-sin 2r)}]

= detská postieľka ^-1 [{√(cos ² a + bez ² y + 2sin y cos y) + √(cos ² a + bez ² y – 2sin y cos y)}/{√(cos ² a + bez ² y + 2sin y cos y) – √(kos ² a + bez ² y – 2sin a cos y)} ]

= detská postieľka ^-1 [{√(cos y + sin y) ² + √ (cos y – hriech y) ² } / {√(cos y + hriech y) ² – √ (cos a – hriech a) ² }]

= detská postieľka ^-1 [(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= detská postieľka ^-1 (2cos y)/(2sin y)

= detská postieľka ^-1 (postieľka a)

= a

= x/2.

Cvičte problémy s inverznými goniometrickými identitami

Úloha 1: Vyriešte x v rovnici sin ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2

Problém 2: Dokážte, že opálenie ^-1 (1) + tak ^-1 (2) + tak ^-1 (3) = str

Problém 3: Vyhodnoťte cos⁡(bez ^-1 (0,5))

Problém 4: Ak je opálená ^-1 (x) + tan ^-1 (2x) = π/4, potom nájdite x

Časté otázky o inverzných goniometrických identitách

Čo sú inverzné goniometrické funkcie?

Inverzné goniometrické funkcie sú inverzné funkcie základných goniometrických funkcií (sínus, kosínus, tangens, kosekans, sekans a kotangens). Používajú sa na nájdenie uhlov zodpovedajúcich daným trigonometrickým pomerom.

Prečo sú inverzné goniometrické funkcie dôležité?

Inverzné goniometrické funkcie sú nevyhnutné v rôznych oblastiach, ako je geometria, inžinierstvo a fyzika, pretože pomáhajú určovať uhly z trigonometrických pomerov, čo je kľúčové pre riešenie mnohých praktických problémov.

Aké sú oblasti a rozsahy inverzných goniometrických funkcií?

Každá inverzná goniometrická funkcia má špecifické domény a rozsahy:

s v ^-1 (x) : doména [-1, 1] a rozsah [- π/2, π/2]

cos ^-1 (x) : doména [-1, 1] a rozsah [ 0, π]

tak⁡ ^-1 (x) : Doména R a rozsah (- π/2, π/2)

Môžu sa inverzné goniometrické funkcie použiť v počte?

Áno, inverzné goniometrické funkcie sa často používajú v počte na integráciu a diferenciáciu. Sú obzvlášť užitočné na integráciu funkcií, ktoré zahŕňajú goniometrické výrazy.