이항확률변수
이번 포스팅에서는 이항확률변수에 대해 알아보겠습니다.
전제조건 : 무작위 변수
특정 유형의 이산적인 고정된 횟수의 시도 또는 시도에서 특정 이벤트가 발생하는 빈도를 계산하는 확률 변수입니다.
변수가 이항확률변수가 되려면 다음 조건을 모두 충족해야 합니다.
- 고정된 횟수의 시행(고정된 표본 크기)이 있습니다.
- 각 시행에서 관심 있는 사건이 발생하거나 발생하지 않습니다.
- 발생 확률(또는 발생하지 않음)은 각 시행에서 동일합니다.
- 시험은 서로 독립적입니다.
수학 표기법
n = number of trials
p = probability of success in each trial
k = number of success in n trials
이제 n번 시행에서 k번 성공할 확률을 알아보겠습니다.
여기서 각 시행의 성공 확률은 다른 시행과 독립적입니다.
따라서 먼저 성공할 k번의 시도를 선택하고 나머지 n-k번의 시도에서는 실패할 것입니다. 그렇게 하는 방법의 수는
n번의 사건은 모두 독립적이므로 n번의 시행에서 k번의 성공 확률은 각 시행의 확률을 곱한 것과 동일합니다.
여기서는 k개의 성공과 n-k개의 실패가 있습니다. 따라서 각 방법이 k개의 성공과 n-k개의 실패를 달성할 확률은 다음과 같습니다.
따라서 최종 확률은
(number of ways to achieve k success
and n-k failures)
*
(probability for each way to achieve k
success and n-k failure)
그런 다음 이항 무작위 변수 확률은 다음과 같이 제공됩니다.
X를 시행 횟수 n과 각 시행의 성공 확률이 p인 이항 확률 변수로 설정합니다.
기대되는 성공 횟수는 다음과 같습니다.
E[X] = np
성공 횟수의 변화는 다음과 같습니다.
Var[X] = np(1-p)
실시예 1 : 한쪽으로 치우친 동전(앞면이 나올 확률 = 1/3)을 10번 던지는 무작위 실험을 생각해 보세요. 앞면이 나오는 개수가 5개일 확률을 구하세요.
해결책 :
Let X be binomial random variable
with n = 10 and p = 1/3
P(X=5) = ?
다음은 동일한 구현입니다.
C++
Java// C++ program to compute Binomial Probability #include#include using namespace std ; // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code int main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); cout < < 'Probability of ' < < k ; cout < < ' heads when a coin is tossed ' < < n ; cout < < ' times where probability of each head is ' < < p < < endl ; cout < < ' is = ' < < probability < < endl ; } Python3// Java program to compute Binomial Probability import java.util.* ; class GFG { // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . pow ( p k ) * ( float ) Math . pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void main ( String [] args ) { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); System . out . print ( 'Probability of ' + k ); System . out . print ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); System . out . println ( ' times where probability of each head is ' + p ); System . out . println ( ' is = ' + probability ); } } /* This code is contributed by Mr. Somesh Awasthi */C## Python3 program to compute Binomial # Probability # function to calculate nCr i.e. # number of ways to choose r out # of n objects def nCr ( n r ): # Since nCr is same as nC(n-r) # To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ): r = n - r ; answer = 1 ; for i in range ( 1 r + 1 ): answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; return answer ; # function to calculate binomial r.v. # probability def binomialProbability ( n k p ): return ( nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k )); # Driver code n = 10 ; k = 5 ; p = 1.0 / 3 ; probability = binomialProbability ( n k p ); print ( 'Probability of' k 'heads when a coin is tossed' end = ' ' ); print ( n 'times where probability of each head is' round ( p 6 )); print ( 'is = ' round ( probability 6 )); # This code is contributed by mitsJavaScript// C# program to compute Binomial // Probability. using System ; class GFG { // function to calculate nCr // i.e. number of ways to // choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as // nC(n-r) To decrease // number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial // r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . Pow ( p k ) * ( float ) Math . Pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void Main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); Console . Write ( 'Probability of ' + k ); Console . Write ( ' heads when a coin ' + 'is tossed ' + n ); Console . Write ( ' times where ' + 'probability of each head is ' + p ); Console . Write ( ' is = ' + probability ); } } // This code is contributed by nitin mittal.PHP< script > // Javascript program to compute Binomial Probability // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects function nCr ( n r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; let answer = 1 ; for ( let i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability function binomialProbability ( n k p ) { return nCr ( n k ) * Math . pow ( p k ) * Math . pow ( 1 - p n - k ); } // driver program let n = 10 ; let k = 5 ; let p = 1.0 / 3 ; let probability = binomialProbability ( n k p ); document . write ( 'Probability of ' + k ); document . write ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); document . write ( ' times where probability of each head is ' + p ); document . write ( ' is = ' + probability ); // This code is contributed by code_hunt. < /script>산출:
Probability of 5 heads when a coin is tossed 10 times where probability of each head is 0.333333
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