Integració és el procés de sumar petits valors d'una funció a la regió dels límits. És just el contrari de la diferenciació. La integració també es coneix com a antiderivada. Hem explicat la integració de les funcions trigonomètriques en aquest article a continuació.

A continuació es mostra un exemple de la integració d'una funció donada.

per exemple., Considereu una funció, f(y) = y ² .

Aquesta funció es pot integrar com:

∫y ² tu = frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Tanmateix, un indefinit integral és una funció que pren l'antiderivada d'una altra funció. Es representa com un símbol integral (∫), una funció i una derivada de la funció al final. La integral indefinida és una manera més fàcil de simbolitzar una antiderivada.

Aprenem què és la integració matemàticament, la integració d'una funció f(x) ve donada per F(x) i es representa per:

∫f(x)dx = F(x) + C

Aquí R.H.S. de l'equació significa integral de f(x) respecte a x, F(x) s'anomena antiderivada o primitiva, f(x) s'anomena integrand, dx s'anomena agent integrador, C s'anomena constant d'integració o constant arbitrària i x és la variable d'integració.

Algunes integrals importants de les funcions trigonomètriques

A continuació es mostra la llista d'algunes fórmules importants d'integrals indefinides en bàsic funcions trigonomètriques cal recordar de la següent manera:

• ∫ sense x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sense x + C
• ∫ seg ² x dx = tan x + C
• ∫ cosec ² x dx = -cot x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | sec x | + C
• ∫ cot x dx = ln | sin x | + C
• ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – bressol x | + C

On dx és la derivada de x, C és la constant d'integració i ln representa la logaritme de la funció dins del mòdul (| |).

Generalment, els problemes d'integrals indefinides basats en funcions trigonomètriques es resolen pel mètode de substitució. Així doncs, parlem més sobre el mètode d'integració per substitució de la següent manera:

Integració per substitució

En aquest mètode de integració per substitució , qualsevol integral donada es transforma en una forma simple d'integral substituint la variable independent per altres. Considerem un exemple per a una millor comprensió.

Exemple: Simplifica ∫ 3x ² sense (x ³ ) dx.

Resposta:

Sigui I = ∫ 3x ² sense (x ³ ) dx.

Per avaluar la integral donada, substituïm qualsevol variable per una nova variable com:

Sigui x ³ ser t per a la integral donada.

Aleshores, dt = 3x ² dx

Per tant,

I = ∫ 3x ² sense (x ³ ) dx = ∫ sense (x ³ ) (3x ² dx)

Ara, substituïu t per x ³ i dt per 3x ² dx a la integral anterior.

I = ∫ sin (t) (dt)

Com ∫ sin x dx = -cos x + C, per tant

I = -cos t + C

De nou, substituïu x ³ per a t en l'expressió com:

I = ∫ 3x ² sense (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Que és la integral requerida.

Per tant, la forma general d'integració per substitució és:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

On t = g(x)

Normalment, el mètode d'integració per substitució és extremadament útil quan fem una substitució d'una funció la derivada de la qual també està present a l'integrand. En fer-ho, la funció es simplifica i després es poden utilitzar les fórmules bàsiques d'integració per integrar la funció.

En càlcul, el mètode d'integració per substitució també es coneix com a regla de la cadena inversa o mètode de substitució en U. Podem utilitzar aquest mètode per trobar un valor integral quan es configura en el formulari especial. Vol dir que la integral donada és de la forma:

Llegeix més,

• Càlcul en matemàtiques
• Integrals
• Integral Calculus
• Diferenciació de Funcions Trig
• Equacions trigonomètriques

Exemples de problemes d'integració de funcions trigonomètriques

Problema 1: Determineu la integral de la funció següent: f(x) = cos ³ x.

Solució:

Considerem la integral de la funció donada com,

I = ∫ cos ³ x dx

Es pot reescriure com:

I = ∫ (cos x) (cos ² x) dx

Ús de la identitat de la trigonometria; cos ² x = 1 – sense ² x, aconseguim

I = ∫ (cos x) (1 – sense ² x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sense ² x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin ² x dx

Com ∫ cos x dx = sin x + C,

Així, I = sin x – ∫ sin ² x cos x dx . . . (1)

Sigui, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Substituïu t per sin x i dt per cos x dx en el segon terme de la integral anterior.

I = sin x – ∫ t ² dt

⇒ I = sin x – t ³ /3 + C

De nou, substituïu sin x per t a l'expressió.

Per tant, ∫ cos ³ x dx = sense x – sense ³ x / 3 + C.

Problema 2: Si f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) aleshores determineu ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Solució:

Considerem la integral de la funció donada com,

I = ∫ sense ² (x) cos ³ (x) dx

Ús de la identitat de la trigonometria; cos ² x = 1 – sense ² x, aconseguim

I = ∫ sense ² x (1 – sense ² x) cos x dx

Sigui sin x = t aleshores,

⇒ dt = cos x dx

Substituïu-los a la integral anterior com,

I = ∫ t ² (1 - t ² ) dt

⇒ I = ∫ t ² -t ⁴ dt

⇒ I = t ³ / 3 – t ⁵ / 5 + C

Substituïu el valor de t a la integral anterior com,

Per tant, I = pecat ³ x / 3 – sense ⁵ x / 5 + C.

Problema 3: Sigui f(x) = sin ⁴ (x) llavors trobeu ∫ f(x)dx. és a dir ∫ sin ⁴ (x) dx.

Solució:

Considerem la integral de la funció donada com,

I = ∫ sense ⁴ (x) dx

⇒ I = ∫ (sense ² (x)) ² dx

Utilitzar la identitat de la trigonometria; pecat ² (x) = (1 – cos (2x)) / 2, obtenim

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2} ² dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos ² (2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos ² (2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Per tant, ∫ sin ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Problema 4: Trobeu la integració de old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Solució:

Considerem la integral de la funció donada com,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Sigui t = tan ^-1 x . . . (1)

Ara, diferencia ambdós costats respecte a x:

dt = 1 / (1+x ² ) dx

Per tant, la integral donada es converteix en:

I = ∫ e ^t dt

⇒ I = e ^t + C. . . (2)

Substituïu el valor de (1) a (2) com:

⇒ I = e^{tan^{-1}x} + C

Quina és la integració necessària per a la funció donada.

Problema 5: Trobeu la integral de la funció f (x) definida com,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Solució:

Considerem la integral de la funció donada com,

I = ∫ 2x cos (x ² – 5) dx

Sigui (x ² – 5) = t . . . (1)

Ara diferencia ambdós costats respecte a x com,

2x dx = dt

Substituint aquests valors a la integral anterior,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Substituïu l'equació de valor (1) a l'equació (2) com,

⇒ I = sense (x ² – 5) + C

Aquesta és la integració necessària per a la funció donada.

Problema 6: Determineu el valor de la integral indefinida donada, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Solució:

La integral donada es pot escriure com,

I = ∫ cot (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Sigui t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Així,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Substituïu t per sin (3x+5) en l'expressió anterior.

I = (1 / 3) ln | sin (3x+5) | + C

Aquesta és la integració necessària per a la funció donada.

Integració de Funcions Trigonomètriques – Preguntes freqüents

Què és la integració d'una funció trigonomètrica?

La integració de funcions trigonomètriques com el seu nom indica és el procés de càlcul de la integració o antiderivada de les funcions trigonomètriques. Aquest és el procés invers de diferenciació de funcions trigonomètriques.

Què són les funcions trigonomètriques bàsiques?

Les funcions trigonomètriques bàsiques són:

• sine (sense),
• cosinus (cos),
• tangent (tan),
• cotangent (colze),
• secant (sec) i
• cosecant (csc).

Com integreu les funcions sinus (sin) i cosinus (cos)?

Per integrar les funcions sinus i cosinus, podem utilitzar les següents fórmules:

• ∫ sense(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sense(x) + C

On C és la constant de la integració.

Quina és la integració de la funció trigonomètrica tangent (tan)?

La integral de la funció tangent es dóna de la següent manera:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C

On,

• ln representa el logaritme natural, i
• C és la constant de la integració.

Com trobar la integral de la funció trigonomètrica secant (sec)?

La integral de la funció secant es dóna com:

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

On,

• ln representa el logaritme natural, i
• C és la constant de la integració.

Quina és la integració de la funció trigonomètrica cotangent (cot)?

La integral de la funció cotangent es pot calcular mitjançant la fórmula següent:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

On,

• ln representa el logaritme natural, i
• C és la constant de la integració.

Com trobar la integral de la funció Cosecant (cosec)?

La integral de la funció cosecant es dóna com:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – bressol x | + C

On,

• ln representa el logaritme natural, i
• C és la constant de la integració.