Шлях із максимальним середнім значенням
Дано квадратну матрицю розміром N*N, де кожна клітинка пов’язана з певною вартістю. Шлях визначається як певна послідовність комірок, яка починається від верхньої лівої комірки, рухається лише праворуч або вниз і закінчується нижньою правою коміркою. Ми хочемо знайти шлях із максимальним середнім серед усіх існуючих шляхів. Середнє значення обчислюється як загальна вартість, поділена на кількість клітинок, відвіданих на шляху.
приклади:
Input : Matrix = [1 2 3
4 5 6
7 8 9]
Output : 5.8
Path with maximum average is 1 -> 4 -> 7 -> 8 -> 9
Sum of the path is 29 and average is 29/5 = 5.8
Одне цікаве спостереження полягає в тому, що дозволені лише рухи вниз і праворуч, нам потрібно N-1 рухів вниз і N-1 рухів праворуч, щоб досягти пункту призначення (нижнього правого краю). Таким чином, будь-який шлях від верхнього лівого кута до нижнього правого кута вимагає 2N - 1 клітинок. в середній знаменник фіксований, і нам потрібно просто максимізувати чисельник. Тому нам потрібно знайти шлях максимальної суми. Обчислення максимальної суми шляху є класичною проблемою динамічного програмування, якщо dp[i][j] представляє максимальну суму до клітинки (i j) від (0 0), тоді в кожній клітинці (i j) ми оновлюємо dp[i][j], як показано нижче
for all i 1 <= i <= N
dp[i][0] = dp[i-1][0] + cost[i][0];
for all j 1 <= j <= N
dp[0][j] = dp[0][j-1] + cost[0][j];
otherwise
dp[i][j] = max(dp[i-1][j] dp[i][j-1]) + cost[i][j];
Отримавши максимальну суму всіх шляхів, ми розділимо цю суму на (2N - 1) і отримаємо наше максимальне середнє.
Реалізація:
C++Java//C/C++ program to find maximum average cost path #includeusing namespace std ; // Maximum number of rows and/or columns const int M = 100 ; // method returns maximum average of all path of // cost matrix double maxAverageOfPath ( int cost [ M ][ M ] int N ) { int dp [ N + 1 ][ N + 1 ]; dp [ 0 ][ 0 ] = cost [ 0 ][ 0 ]; /* Initialize first column of total cost(dp) array */ for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) dp [ i ][ 0 ] = dp [ i -1 ][ 0 ] + cost [ i ][ 0 ]; /* Initialize first row of dp array */ for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp [ 0 ][ j ] = dp [ 0 ][ j -1 ] + cost [ 0 ][ j ]; /* Construct rest of the dp array */ for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( int j = 1 ; j <= N ; j ++ ) dp [ i ][ j ] = max ( dp [ i -1 ][ j ] dp [ i ][ j -1 ]) + cost [ i ][ j ]; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return ( double ) dp [ N -1 ][ N -1 ] / ( 2 * N -1 ); } /* Driver program to test above functions */ int main () { int cost [ M ][ M ] = { { 1 2 3 } { 6 5 4 } { 7 3 9 } }; printf ( '%f' maxAverageOfPath ( cost 3 )); return 0 ; } C#// JAVA Code for Path with maximum average // value import java.io.* ; class GFG { // method returns maximum average of all // path of cost matrix public static double maxAverageOfPath ( int cost [][] int N ) { int dp [][] = new int [ N + 1 ][ N + 1 ] ; dp [ 0 ][ 0 ] = cost [ 0 ][ 0 ] ; /* Initialize first column of total cost(dp) array */ for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) dp [ i ][ 0 ] = dp [ i - 1 ][ 0 ] + cost [ i ][ 0 ] ; /* Initialize first row of dp array */ for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp [ 0 ][ j ] = dp [ 0 ][ j - 1 ] + cost [ 0 ][ j ] ; /* Construct rest of the dp array */ for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp [ i ][ j ] = Math . max ( dp [ i - 1 ][ j ] dp [ i ][ j - 1 ] ) + cost [ i ][ j ] ; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return ( double ) dp [ N - 1 ][ N - 1 ] / ( 2 * N - 1 ); } /* Driver program to test above function */ public static void main ( String [] args ) { int cost [][] = {{ 1 2 3 } { 6 5 4 } { 7 3 9 }}; System . out . println ( maxAverageOfPath ( cost 3 )); } } // This code is contributed by Arnav Kr. Mandal.JavaScript// C# Code for Path with maximum average // value using System ; class GFG { // method returns maximum average of all // path of cost matrix public static double maxAverageOfPath ( int [] cost int N ) { int [] dp = new int [ N + 1 N + 1 ]; dp [ 0 0 ] = cost [ 0 0 ]; /* Initialize first column of total cost(dp) array */ for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) dp [ i 0 ] = dp [ i - 1 0 ] + cost [ i 0 ]; /* Initialize first row of dp array */ for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp [ 0 j ] = dp [ 0 j - 1 ] + cost [ 0 j ]; /* Construct rest of the dp array */ for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp [ i j ] = Math . Max ( dp [ i - 1 j ] dp [ i j - 1 ]) + cost [ i j ]; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return ( double ) dp [ N - 1 N - 1 ] / ( 2 * N - 1 ); } // Driver Code public static void Main () { int [] cost = {{ 1 2 3 } { 6 5 4 } { 7 3 9 }}; Console . Write ( maxAverageOfPath ( cost 3 )); } } // This code is contributed by nitin mittal.PHP< script > // JavaScript Code for Path with maximum average value // method returns maximum average of all // path of cost matrix function maxAverageOfPath ( cost N ) { let dp = new Array ( N + 1 ); for ( let i = 0 ; i < N + 1 ; i ++ ) { dp [ i ] = new Array ( N + 1 ); for ( let j = 0 ; j < N + 1 ; j ++ ) { dp [ i ][ j ] = 0 ; } } dp [ 0 ][ 0 ] = cost [ 0 ][ 0 ]; /* Initialize first column of total cost(dp) array */ for ( let i = 1 ; i < N ; i ++ ) dp [ i ][ 0 ] = dp [ i - 1 ][ 0 ] + cost [ i ][ 0 ]; /* Initialize first row of dp array */ for ( let j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp [ 0 ][ j ] = dp [ 0 ][ j - 1 ] + cost [ 0 ][ j ]; /* Construct rest of the dp array */ for ( let i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( let j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp [ i ][ j ] = Math . max ( dp [ i - 1 ][ j ] dp [ i ][ j - 1 ]) + cost [ i ][ j ]; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return dp [ N - 1 ][ N - 1 ] / ( 2 * N - 1 ); } let cost = [[ 1 2 3 ] [ 6 5 4 ] [ 7 3 9 ]]; document . write ( maxAverageOfPath ( cost 3 )); < /script>Python3// Php program to find maximum average cost path // method returns maximum average of all path of // cost matrix function maxAverageOfPath ( $cost $N ) { $dp = array ( array ()) ; $dp [ 0 ][ 0 ] = $cost [ 0 ][ 0 ]; /* Initialize first column of total cost(dp) array */ for ( $i = 1 ; $i < $N ; $i ++ ) $dp [ $i ][ 0 ] = $dp [ $i - 1 ][ 0 ] + $cost [ $i ][ 0 ]; /* Initialize first row of dp array */ for ( $j = 1 ; $j < $N ; $j ++ ) $dp [ 0 ][ $j ] = $dp [ 0 ][ $j - 1 ] + $cost [ 0 ][ $j ]; /* Construct rest of the dp array */ for ( $i = 1 ; $i < $N ; $i ++ ) { for ( $j = 1 ; $j <= $N ; $j ++ ) $dp [ $i ][ $j ] = max ( $dp [ $i - 1 ][ $j ] $dp [ $i ][ $j - 1 ]) + $cost [ $i ][ $j ]; } // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return $dp [ $N - 1 ][ $N - 1 ] / ( 2 * $N - 1 ); } // Driver code $cost = array ( array ( 1 2 3 ) array ( 6 5 4 ) array ( 7 3 9 ) ) ; echo maxAverageOfPath ( $cost 3 ) ; // This code is contributed by Ryuga ?>
Вихід5.200000Часова складність : O(N 2 ) для заданого вхідного параметра N
Допоміжний простір: O(N 2 ) для заданого входу N.Спосіб - 2: Без використання додаткового простору N*N
Ми можемо використовувати масив вхідних витрат як dp для зберігання ans. таким чином нам не потрібен додатковий масив dp або не потрібен додатковий простір.
Одне спостереження полягає в тому, що дозволені лише рухи вниз і праворуч, нам потрібно N-1 рухів вниз і N-1 рухів праворуч, щоб досягти пункту призначення (крайнього правого нижнього кута). Таким чином, для будь-якого шляху від верхнього лівого кута до нижнього правого кута потрібно 2N - 1 клітинка. в середній знаменник фіксований, і нам потрібно просто максимізувати чисельник. Тому нам потрібно знайти шлях максимальної суми. Обчислення максимальної суми шляху є класичною проблемою динамічного програмування, також нам не потрібне жодне попереднє значення cost[i][j] після обчислення dp[i][j], тому ми можемо змінити значення cost[i][j] таким чином, щоб нам не потрібен додатковий простір для dp[i][j].
for all i 1 <= i < N
cost[i][0] = cost[i-1][0] + cost[i][0];
for all j 1 <= j < N
cost[0][j] = cost[0][j-1] + cost[0][j];
otherwise
cost[i][j] = max(cost[i-1][j] cost[i][j-1]) + cost[i][j];
Нижче наведено реалізацію вищезазначеного підходу:
C++Java// C++ program to find maximum average cost path #includeusing namespace std ; // Method returns maximum average of all path of cost matrix double maxAverageOfPath ( vector < vector < int >> cost ) { int N = cost . size (); // Initialize first column of total cost array for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) cost [ i ][ 0 ] = cost [ i ][ 0 ] + cost [ i - 1 ][ 0 ]; // Initialize first row of array for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) cost [ 0 ][ j ] = cost [ 0 ][ j - 1 ] + cost [ 0 ][ j ]; // Construct rest of the array for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( int j = 1 ; j <= N ; j ++ ) cost [ i ][ j ] = max ( cost [ i - 1 ][ j ] cost [ i ][ j - 1 ]) + cost [ i ][ j ]; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return ( double ) cost [ N - 1 ][ N - 1 ] / ( 2 * N - 1 ); } // Driver program int main () { vector < vector < int >> cost = {{ 1 2 3 } { 6 5 4 } { 7 3 9 } }; cout < < maxAverageOfPath ( cost ); return 0 ; } C#// Java program to find maximum average cost path import java.io.* ; class GFG { // Method returns maximum average of all path of cost // matrix static double maxAverageOfPath ( int [][] cost ) { int N = cost . length ; // Initialize first column of total cost array for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) cost [ i ][ 0 ] = cost [ i ][ 0 ] + cost [ i - 1 ][ 0 ] ; // Initialize first row of array for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) cost [ 0 ][ j ] = cost [ 0 ][ j - 1 ] + cost [ 0 ][ j ] ; // Construct rest of the array for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) cost [ i ][ j ] = Math . max ( cost [ i - 1 ][ j ] cost [ i ][ j - 1 ] ) + cost [ i ][ j ] ; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return ( double ) cost [ N - 1 ][ N - 1 ] / ( 2 * N - 1 ); } // Driver program public static void main ( String [] args ) { int [][] cost = { { 1 2 3 } { 6 5 4 } { 7 3 9 } }; System . out . println ( maxAverageOfPath ( cost )); } } // This code is contributed by karandeep1234JavaScript// C# program to find maximum average cost path using System ; class GFG { // Method returns maximum average of all path of cost // matrix static double maxAverageOfPath ( int [ ] cost ) { int N = cost . GetLength ( 0 ); // Initialize first column of total cost array for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) cost [ i 0 ] = cost [ i 0 ] + cost [ i - 1 0 ]; // Initialize first row of array for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) cost [ 0 j ] = cost [ 0 j - 1 ] + cost [ 0 j ]; // Construct rest of the array for ( int i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) cost [ i j ] = Math . Max ( cost [ i - 1 j ] cost [ i j - 1 ]) + cost [ i j ]; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return ( double ) cost [ N - 1 N - 1 ] / ( 2 * N - 1 ); } // Driver program static void Main ( string [] args ) { int [ ] cost = { { 1 2 3 } { 6 5 4 } { 7 3 9 } }; Console . WriteLine ( maxAverageOfPath ( cost )); } } // This code is contributed by karandeep1234Python3// Method returns maximum average of all path of cost matrix function maxAverageOfPath ( cost ) { let N = cost . length ; // Initialize first column of total cost array for ( let i = 1 ; i < N ; i ++ ) cost [ i ][ 0 ] = cost [ i ][ 0 ] + cost [ i - 1 ][ 0 ]; // Initialize first row of array for ( let j = 1 ; j < N ; j ++ ) cost [ 0 ][ j ] = cost [ 0 ][ j - 1 ] + cost [ 0 ][ j ]; // Construct rest of the array for ( let i = 1 ; i < N ; i ++ ) for ( let j = 1 ; j <= N ; j ++ ) cost [ i ][ j ] = Math . max ( cost [ i - 1 ][ j ] cost [ i ][ j - 1 ]) + cost [ i ][ j ]; // divide maximum sum by constant path // length : (2N - 1) for getting average return ( cost [ N - 1 ][ N - 1 ]) / ( 2.0 * N - 1 ); } // Driver program let cost = [[ 1 2 3 ] [ 6 5 4 ] [ 7 3 9 ]]; console . log ( maxAverageOfPath ( cost )) // This code is contributed by karandeep1234.
Вихід5.2Часова складність: O(N*N)
Допоміжний простір: О(1)
