Мінімальна кількість кроків для досягнення цілі лицарем | Набір 2
На квадратній шахівниці розміром N x N задано положення коня та положення цілі. Завдання полягає в тому, щоб знайти мінімальні кроки, які зробить лицар, щоб досягти цільової позиції.
Приклади:
Input : (2 4) - knight's position (6 4) - target cell Output : 2 Input : (4 5) (1 1) Output : 3
Підхід BFS для вирішення вищезгаданої проблеми вже обговорювався в попередній пост. У цьому дописі обговорюється рішення динамічного програмування.
Пояснення підходу:
Нехай шахова дошка 8 х 8 клітин. Тепер припустимо, що лицар знаходиться на (3 3), а ціль на (7 8). Існує 8 можливих ходів із поточної позиції коня, тобто (2 1) (1 2) (4 1) (1 4) (5 2) (2 5) (5 4) (4 5). Але серед цих лише два рухи (5 4) і (4 5) будуть направлені до цілі, а всі інші йдуть від цілі. Отже, щоб знайти мінімальні кроки, перейдіть до (4 5) або (5 4). Тепер розрахуйте мінімальні кроки, зроблені з (4 5) і (5 4), щоб досягти цілі. Це обчислюється за допомогою динамічного програмування. Таким чином, це призводить до мінімальних кроків від (3 3) до (7 8).
Нехай шахова дошка 8 х 8 клітин. Тепер припустімо, що лицар знаходиться на (4 3), а ціль на (4 7). Існує 8 можливих ходів, але до цілі є лише 4 ходи, тобто (5 5) (3 5) (2 4) (6 4). Оскільки (5 5) еквівалентно (3 5), а (2 4) еквівалентно (6 4). Отже, з цих 4 балів це можна перетворити на 2 бали. Взявши (5 5) і (6 4) (тут). Тепер розрахуйте мінімальні кроки, зроблені від цих двох точок до досягнення мети. Це обчислюється за допомогою динамічного програмування. Таким чином, це призводить до мінімальних кроків від (4 3) до (4 7).
Виняток: Коли лицар буде на куті, а ціль така, що різниця координат x і y з позицією лицаря дорівнює (1 1) або навпаки. Тоді мінімум кроків буде 4.
Рівняння динамічного програмування:
1) dp[diffOfX][diffOfY] це мінімальна кількість кроків, зроблених від позиції коня до позиції мішені.
2) dp[diffOfX][diffOfY] = dp[diffOfY][diffOfX] .
де diffOfX = різниця між x-координатою коня та x-координатою цілі
diffOfY = різниця між y-координатою коня та y-координатою цілі
Нижче наведено реалізацію вищезазначеного підходу:
// C++ code for minimum steps for // a knight to reach target position #include using namespace std ; // initializing the matrix. int dp [ 8 ][ 8 ] = { 0 }; int getsteps ( int x int y int tx int ty ) { // if knight is on the target // position return 0. if ( x == tx && y == ty ) return dp [ 0 ][ 0 ]; else { // if already calculated then return // that value. Taking absolute difference. if ( dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )] != 0 ) return dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )]; else { // there will be two distinct positions // from the knight towards a target. // if the target is in same row or column // as of knight then there can be four // positions towards the target but in that // two would be the same and the other two // would be the same. int x1 y1 x2 y2 ; // (x1 y1) and (x2 y2) are two positions. // these can be different according to situation. // From position of knight the chess board can be // divided into four blocks i.e.. N-E E-S S-W W-N . if ( x <= tx ) { if ( y <= ty ) { x1 = x + 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x + 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y - 2 ; } } else { if ( y <= ty ) { x1 = x - 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x - 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y - 2 ; } } // ans will be 1 + minimum of steps // required from (x1 y1) and (x2 y2). dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )] = min ( getsteps ( x1 y1 tx ty ) getsteps ( x2 y2 tx ty )) + 1 ; // exchanging the coordinates x with y of both // knight and target will result in same ans. dp [ abs ( y - ty )][ abs ( x - tx )] = dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )]; return dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )]; } } } // Driver Code int main () { int i n x y tx ty ans ; // size of chess board n*n n = 100 ; // (x y) coordinate of the knight. // (tx ty) coordinate of the target position. x = 4 ; y = 5 ; tx = 1 ; ty = 1 ; // (Exception) these are the four corner points // for which the minimum steps is 4. if (( x == 1 && y == 1 && tx == 2 && ty == 2 ) || ( x == 2 && y == 2 && tx == 1 && ty == 1 )) ans = 4 ; else if (( x == 1 && y == n && tx == 2 && ty == n - 1 ) || ( x == 2 && y == n - 1 && tx == 1 && ty == n )) ans = 4 ; else if (( x == n && y == 1 && tx == n - 1 && ty == 2 ) || ( x == n - 1 && y == 2 && tx == n && ty == 1 )) ans = 4 ; else if (( x == n && y == n && tx == n - 1 && ty == n - 1 ) || ( x == n - 1 && y == n - 1 && tx == n && ty == n )) ans = 4 ; else { // dp[a][b] here a b is the difference of // x & tx and y & ty respectively. dp [ 1 ][ 0 ] = 3 ; dp [ 0 ][ 1 ] = 3 ; dp [ 1 ][ 1 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 0 ] = 2 ; dp [ 0 ][ 2 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 1 ] = 1 ; dp [ 1 ][ 2 ] = 1 ; ans = getsteps ( x y tx ty ); } cout < < ans < < endl ; return 0 ; }
Java //Java code for minimum steps for // a knight to reach target position public class GFG { // initializing the matrix. static int dp [][] = new int [ 8 ][ 8 ] ; static int getsteps ( int x int y int tx int ty ) { // if knight is on the target // position return 0. if ( x == tx && y == ty ) { return dp [ 0 ][ 0 ] ; } else // if already calculated then return // that value. Taking absolute difference. if ( dp [ Math . abs ( x - tx ) ][ Math . abs ( y - ty ) ] != 0 ) { return dp [ Math . abs ( x - tx ) ][ Math . abs ( y - ty ) ] ; } else { // there will be two distinct positions // from the knight towards a target. // if the target is in same row or column // as of knight then there can be four // positions towards the target but in that // two would be the same and the other two // would be the same. int x1 y1 x2 y2 ; // (x1 y1) and (x2 y2) are two positions. // these can be different according to situation. // From position of knight the chess board can be // divided into four blocks i.e.. N-E E-S S-W W-N . if ( x <= tx ) { if ( y <= ty ) { x1 = x + 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x + 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y - 2 ; } } else if ( y <= ty ) { x1 = x - 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x - 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y - 2 ; } // ans will be 1 + minimum of steps // required from (x1 y1) and (x2 y2). dp [ Math . abs ( x - tx ) ][ Math . abs ( y - ty ) ] = Math . min ( getsteps ( x1 y1 tx ty ) getsteps ( x2 y2 tx ty )) + 1 ; // exchanging the coordinates x with y of both // knight and target will result in same ans. dp [ Math . abs ( y - ty ) ][ Math . abs ( x - tx ) ] = dp [ Math . abs ( x - tx ) ][ Math . abs ( y - ty ) ] ; return dp [ Math . abs ( x - tx ) ][ Math . abs ( y - ty ) ] ; } } // Driver Code static public void main ( String [] args ) { int i n x y tx ty ans ; // size of chess board n*n n = 100 ; // (x y) coordinate of the knight. // (tx ty) coordinate of the target position. x = 4 ; y = 5 ; tx = 1 ; ty = 1 ; // (Exception) these are the four corner points // for which the minimum steps is 4. if (( x == 1 && y == 1 && tx == 2 && ty == 2 ) || ( x == 2 && y == 2 && tx == 1 && ty == 1 )) { ans = 4 ; } else if (( x == 1 && y == n && tx == 2 && ty == n - 1 ) || ( x == 2 && y == n - 1 && tx == 1 && ty == n )) { ans = 4 ; } else if (( x == n && y == 1 && tx == n - 1 && ty == 2 ) || ( x == n - 1 && y == 2 && tx == n && ty == 1 )) { ans = 4 ; } else if (( x == n && y == n && tx == n - 1 && ty == n - 1 ) || ( x == n - 1 && y == n - 1 && tx == n && ty == n )) { ans = 4 ; } else { // dp[a][b] here a b is the difference of // x & tx and y & ty respectively. dp [ 1 ][ 0 ] = 3 ; dp [ 0 ][ 1 ] = 3 ; dp [ 1 ][ 1 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 0 ] = 2 ; dp [ 0 ][ 2 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 1 ] = 1 ; dp [ 1 ][ 2 ] = 1 ; ans = getsteps ( x y tx ty ); } System . out . println ( ans ); } } /*This code is contributed by PrinciRaj1992*/
Python3 # Python3 code for minimum steps for # a knight to reach target position # initializing the matrix. dp = [[ 0 for i in range ( 8 )] for j in range ( 8 )]; def getsteps ( x y tx ty ): # if knight is on the target # position return 0. if ( x == tx and y == ty ): return dp [ 0 ][ 0 ]; # if already calculated then return # that value. Taking absolute difference. elif ( dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )] != 0 ): return dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )]; else : # there will be two distinct positions # from the knight towards a target. # if the target is in same row or column # as of knight then there can be four # positions towards the target but in that # two would be the same and the other two # would be the same. x1 y1 x2 y2 = 0 0 0 0 ; # (x1 y1) and (x2 y2) are two positions. # these can be different according to situation. # From position of knight the chess board can be # divided into four blocks i.e.. N-E E-S S-W W-N . if ( x <= tx ): if ( y <= ty ): x1 = x + 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y + 2 ; else : x1 = x + 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y - 2 ; elif ( y <= ty ): x1 = x - 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y + 2 ; else : x1 = x - 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y - 2 ; # ans will be 1 + minimum of steps # required from (x1 y1) and (x2 y2). dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )] = min ( getsteps ( x1 y1 tx ty ) getsteps ( x2 y2 tx ty )) + 1 ; # exchanging the coordinates x with y of both # knight and target will result in same ans. dp [ abs ( y - ty )][ abs ( x - tx )] = dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )]; return dp [ abs ( x - tx )][ abs ( y - ty )]; # Driver Code if __name__ == '__main__' : # size of chess board n*n n = 100 ; # (x y) coordinate of the knight. # (tx ty) coordinate of the target position. x = 4 ; y = 5 ; tx = 1 ; ty = 1 ; # (Exception) these are the four corner points # for which the minimum steps is 4. if (( x == 1 and y == 1 and tx == 2 and ty == 2 ) or ( x == 2 and y == 2 and tx == 1 and ty == 1 )): ans = 4 ; elif (( x == 1 and y == n and tx == 2 and ty == n - 1 ) or ( x == 2 and y == n - 1 and tx == 1 and ty == n )): ans = 4 ; elif (( x == n and y == 1 and tx == n - 1 and ty == 2 ) or ( x == n - 1 and y == 2 and tx == n and ty == 1 )): ans = 4 ; elif (( x == n and y == n and tx == n - 1 and ty == n - 1 ) or ( x == n - 1 and y == n - 1 and tx == n and ty == n )): ans = 4 ; else : # dp[a][b] here a b is the difference of # x & tx and y & ty respectively. dp [ 1 ][ 0 ] = 3 ; dp [ 0 ][ 1 ] = 3 ; dp [ 1 ][ 1 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 0 ] = 2 ; dp [ 0 ][ 2 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 1 ] = 1 ; dp [ 1 ][ 2 ] = 1 ; ans = getsteps ( x y tx ty ); print ( ans ); # This code is contributed by PrinciRaj1992
C# // C# code for minimum steps for // a knight to reach target position using System ; public class GFG { // initializing the matrix. static int [ ] dp = new int [ 8 8 ]; static int getsteps ( int x int y int tx int ty ) { // if knight is on the target // position return 0. if ( x == tx && y == ty ) { return dp [ 0 0 ]; } else // if already calculated then return // that value. Taking Absolute difference. if ( dp [ Math . Abs ( x - tx ) Math . Abs ( y - ty )] != 0 ) { return dp [ Math . Abs ( x - tx ) Math . Abs ( y - ty )]; } else { // there will be two distinct positions // from the knight towards a target. // if the target is in same row or column // as of knight then there can be four // positions towards the target but in that // two would be the same and the other two // would be the same. int x1 y1 x2 y2 ; // (x1 y1) and (x2 y2) are two positions. // these can be different according to situation. // From position of knight the chess board can be // divided into four blocks i.e.. N-E E-S S-W W-N . if ( x <= tx ) { if ( y <= ty ) { x1 = x + 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x + 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y - 2 ; } } else if ( y <= ty ) { x1 = x - 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x - 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y - 2 ; } // ans will be 1 + minimum of steps // required from (x1 y1) and (x2 y2). dp [ Math . Abs ( x - tx ) Math . Abs ( y - ty )] = Math . Min ( getsteps ( x1 y1 tx ty ) getsteps ( x2 y2 tx ty )) + 1 ; // exchanging the coordinates x with y of both // knight and target will result in same ans. dp [ Math . Abs ( y - ty ) Math . Abs ( x - tx )] = dp [ Math . Abs ( x - tx ) Math . Abs ( y - ty )]; return dp [ Math . Abs ( x - tx ) Math . Abs ( y - ty )]; } } // Driver Code static public void Main () { int i n x y tx ty ans ; // size of chess board n*n n = 100 ; // (x y) coordinate of the knight. // (tx ty) coordinate of the target position. x = 4 ; y = 5 ; tx = 1 ; ty = 1 ; // (Exception) these are the four corner points // for which the minimum steps is 4. if (( x == 1 && y == 1 && tx == 2 && ty == 2 ) || ( x == 2 && y == 2 && tx == 1 && ty == 1 )) { ans = 4 ; } else if (( x == 1 && y == n && tx == 2 && ty == n - 1 ) || ( x == 2 && y == n - 1 && tx == 1 && ty == n )) { ans = 4 ; } else if (( x == n && y == 1 && tx == n - 1 && ty == 2 ) || ( x == n - 1 && y == 2 && tx == n && ty == 1 )) { ans = 4 ; } else if (( x == n && y == n && tx == n - 1 && ty == n - 1 ) || ( x == n - 1 && y == n - 1 && tx == n && ty == n )) { ans = 4 ; } else { // dp[a b] here a b is the difference of // x & tx and y & ty respectively. dp [ 1 0 ] = 3 ; dp [ 0 1 ] = 3 ; dp [ 1 1 ] = 2 ; dp [ 2 0 ] = 2 ; dp [ 0 2 ] = 2 ; dp [ 2 1 ] = 1 ; dp [ 1 2 ] = 1 ; ans = getsteps ( x y tx ty ); } Console . WriteLine ( ans ); } } /*This code is contributed by PrinciRaj1992*/
JavaScript < script > // JavaScript code for minimum steps for // a knight to reach target position // initializing the matrix. let dp = new Array ( 8 ) for ( let i = 0 ; i < 8 ; i ++ ){ dp [ i ] = new Array ( 8 ). fill ( 0 ) } function getsteps ( x y tx ty ) { // if knight is on the target // position return 0. if ( x == tx && y == ty ) return dp [ 0 ][ 0 ]; else { // if already calculated then return // that value. Taking absolute difference. if ( dp [( Math . abs ( x - tx ))][( Math . abs ( y - ty ))] != 0 ) return dp [( Math . abs ( x - tx ))][( Math . abs ( y - ty ))]; else { // there will be two distinct positions // from the knight towards a target. // if the target is in same row or column // as of knight then there can be four // positions towards the target but in that // two would be the same and the other two // would be the same. let x1 y1 x2 y2 ; // (x1 y1) and (x2 y2) are two positions. // these can be different according to situation. // From position of knight the chess board can be // divided into four blocks i.e.. N-E E-S S-W W-N . if ( x <= tx ) { if ( y <= ty ) { x1 = x + 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x + 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x + 1 ; y2 = y - 2 ; } } else { if ( y <= ty ) { x1 = x - 2 ; y1 = y + 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y + 2 ; } else { x1 = x - 2 ; y1 = y - 1 ; x2 = x - 1 ; y2 = y - 2 ; } } // ans will be 1 + minimum of steps // required from (x1 y1) and (x2 y2). dp [( Math . abs ( x - tx ))][( Math . abs ( y - ty ))] = Math . min ( getsteps ( x1 y1 tx ty ) getsteps ( x2 y2 tx ty )) + 1 ; // exchanging the coordinates x with y of both // knight and target will result in same ans. dp [( Math . abs ( y - ty ))][( Math . abs ( x - tx ))] = dp [( Math . abs ( x - tx ))][( Math . abs ( y - ty ))]; return dp [( Math . abs ( x - tx ))][( Math . abs ( y - ty ))]; } } } // Driver Code let i n x y tx ty ans ; // size of chess board n*n n = 100 ; // (x y) coordinate of the knight. // (tx ty) coordinate of the target position. x = 4 ; y = 5 ; tx = 1 ; ty = 1 ; // (Exception) these are the four corner points // for which the minimum steps is 4. if (( x == 1 && y == 1 && tx == 2 && ty == 2 ) || ( x == 2 && y == 2 && tx == 1 && ty == 1 )) ans = 4 ; else if (( x == 1 && y == n && tx == 2 && ty == n - 1 ) || ( x == 2 && y == n - 1 && tx == 1 && ty == n )) ans = 4 ; else if (( x == n && y == 1 && tx == n - 1 && ty == 2 ) || ( x == n - 1 && y == 2 && tx == n && ty == 1 )) ans = 4 ; else if (( x == n && y == n && tx == n - 1 && ty == n - 1 ) || ( x == n - 1 && y == n - 1 && tx == n && ty == n )) ans = 4 ; else { // dp[a][b] here a b is the difference of // x & tx and y & ty respectively. dp [ 1 ][ 0 ] = 3 ; dp [ 0 ][ 1 ] = 3 ; dp [ 1 ][ 1 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 0 ] = 2 ; dp [ 0 ][ 2 ] = 2 ; dp [ 2 ][ 1 ] = 1 ; dp [ 1 ][ 2 ] = 1 ; ans = getsteps ( x y tx ty ); } document . write ( ans ' ' ); // This code is contributed by shinjanpatra. < /script>
Вихід:
3
Часова складність: O(N * M), де N – загальна кількість рядків, а M – загальна кількість стовпців
Допоміжний простір: O(N * M)
Вам Може Сподобатися
Кращі Статті
Категорія
Цікаві Статті
