La substitution trigonométrique est l'une des méthodes d'intégration de substitution dans laquelle une fonction ou une expression dans l'intégrale donnée est remplacée par des fonctions trigonométriques telles que sin, cos, tan, etc. L'intégration par substitution est la méthode de substitution la plus simple.

Il est utilisé lorsque nous effectuons une substitution d'une fonction dont la dérivée est déjà incluse dans la fonction intégrale donnée. De cette manière, la fonction est simplifiée et on obtient une fonction intégrale simple que nous pouvons intégrer facilement. Elle est également connue sous le nom de substitution u ou de règle de chaîne inverse. En d’autres termes, en utilisant cette méthode, nous pouvons facilement évaluer les intégrales et les primitives.

Substitution trigonométrique

Qu’est-ce que la substitution trigonométrique ?

La substitution trigonométrique est un processus dans lequel la substitution d'une fonction trigonométrique dans une autre expression a lieu. Il est utilisé pour évaluer des intégrales ou c'est une méthode pour trouver des primitives de fonctions qui contiennent des racines carrées d'expressions quadratiques ou des puissances rationnelles de la forme frac{p}{2} (où p est un entier) d'expressions quadratiques. Des exemples de telles expressions sont

({x^2+4})^frac{3}{2} ou sqrt{25-x^2} ou etc

La méthode de substitution trigonométrique peut être invoquée lorsque d’autres méthodes d’intégration plus courantes et plus faciles à utiliser ont échoué. La substitution trigonométrique suppose que vous soyez familier avec les identités trigonométriques standard, l'utilisation de la notation différentielle, l'intégration par substitution u et l'intégration de fonctions trigonométriques.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Ici, nous discuterons de quelques formules importantes en fonction de la fonction que nous devons intégrer, nous substituons l'une des expressions trigonométriques suivantes pour simplifier l'intégration :

∫cosx dx = sinx + C

∫sinx dx = −cosx + C

∫sec ² x dx = tanx + C

∫cosec ² x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| +C

∫cotx dx = ln|sinx| +C

∫secx dx = ln|secx + tanx| +C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| +C

Lire en détail : Calcul en mathématiques

Quand utiliser la substitution trigonométrique ?

Nous utilisons la substitution trigonométrique dans les cas suivants,

Comment appliquer la méthode de substitution trigonométrique ?

Nous pouvons appliquer la méthode de substitution trigonométrique comme indiqué ci-dessous,

Intégral avec un ² - X ²

Considérons un exemple d'intégrale impliquant un ² - X ² .

Exemple: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Disons, x = un sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Ainsi, je = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ Je = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ Je = int 1. d heta

⇒ je = θ + c

Comme, x = un péchéθ

⇒ θ = sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Je = sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Intégrale avec x ² + un ²

Considérons un exemple d'intégrale impliquant x ² + un ² .

Exemple : Trouver l'intégrale old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Solution:

Mettons x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, on obtient

Ainsi, je = int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ Je = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ Je = frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ Je = frac{1}{a} heta +c

Comme, x = un tanθ

⇒ θ = tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Je = frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) +c

Intégral avec un ² +x ² .

Considérons un exemple d'intégrale impliquant un ² +x ² .

Exemple : Trouver l'intégrale de old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Solution:

Disons, x = un tanθ

⇒ dx = une seconde ² θ dθ

Ainsi, je = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ Je = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ Je = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ Je = int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ Je = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Je = log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ Je = log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Je = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Je = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ Je = log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Je = log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Intégrale avec x ² - un ² .

Considérons un exemple d'intégrale impliquant x ² - un ² .

Exemple : Trouver l'intégrale de old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Disons, x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Ainsi, je = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ Je = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ Je = int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Je = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Je = log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ Je = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ Je = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ Je = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ Je = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Je = log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

En savoir plus,

• Formules d'intégration
• Intégration par substitution
• Intégration par pièces

Exemples de problèmes sur la substitution trigonométrique

Problème 1 : Trouver l'intégrale de old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Solution:

En prenant 5 communs au dénominateur,

⇒ Je = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Je = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

D'après le théorème 1, a = frac{3}{5}

⇒ Je = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) +c

⇒ Je = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) +c

Problème 2 : Trouver l'intégrale de old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Solution:

En prenant √2 commun au dénominateur,

⇒ Je = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Je = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

D'après le théorème 1, a = 2

⇒ Je = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ Je = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Problème 3 : Trouver l'intégrale de old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Solution:

En réorganisant, on obtient

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

En prenant ici, a = 3 et x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

En remplaçant ces valeurs,

Je = int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Je = int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Je = int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Je = 243 inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Je = 243 inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Prenons,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

En substituant ces valeurs, on obtient

⇒ Je = 243 inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 [frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Comme, u = cos θ et x = 3 sinθ

⇒ cos θ = sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ dans = sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ dans = (1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Donc, I = -243 [frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] +c

Problème 4 : Trouver l'intégrale de old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Solution:

En prenant 9 commun au dénominateur,

Je = frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Je = frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

D'après le théorème 2, a = frac{2}{3}

⇒ Je = frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ Je = frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Problème 5 : Trouver l’intégrale de old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Solution:

En prenant 4 communs au dénominateur,

Je = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ Je = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

D'après le théorème 3, a = frac{5}{4}

⇒ Je = frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ Je = frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ Je = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ Je = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Problème 6 : Trouver l’intégrale de old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Solution:

En prenant 2 communs au dénominateur,

Je = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

Je = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

D'après le théorème 4, a = frac{3}{2}

Je = frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

Je = frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

Je = frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

Je = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

Je = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Problème 7 : Trouver l’intégrale de old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Solution:

Après réarrangement, on obtient

Je = int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

Je = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

Je = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

Je = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

D’après le théorème 2, on a

x = x- frac{1}{2} et un = frac{sqrt{3}}{2}

Je = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

Je = frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Substitution trigonométrique – FAQ

Qu’est-ce que la substitution trigonométrique ?

La substitution trigonométrique est une technique d'intégration utilisée pour résoudre les intégrales impliquant des expressions avec des radicaux et des racines carrées telles que √(x ² + un ² ), √(une ² +x ² ), et √(x ² - un ² ).

Quand dois-je utiliser la substitution trigonométrique ?

La substitution trigonométrique est utile lorsque vous avez une intégrale qui implique une expression radicale, en particulier lorsque l'expression radicale contient un terme quadratique.

Quelles sont les trois substitutions trigonométriques couramment utilisées dans les intégrales ?

Les trois substitutions trigonométriques couramment utilisées sont :

• Remplacez x = un péché θ lorsque l'expression radicale contient un terme de la forme a ² - X ² .
• Remplacer x = a tan θ lorsque l'expression radicale contient un terme de la forme x ² - un ² .
• Remplacer x = a sec θ lorsque l'expression radicale contient un terme de la forme x ² + un ² .

Comment peut-on choisir la substitution trigonométrique à utiliser ?

Vous devez choisir la substitution trigonométrique en fonction de la forme de l'expression radicale. Si l'expression radicale contient un terme de la forme a^2 – x^2, utilisez x = a sin θ. Si l'expression radicale contient un terme de la forme x^2 – a^2, utilisez x = a tan θ. Si l'expression radicale contient un terme de la forme x^2 + a^2, utilisez x = a sec θ.