Minimum Yayılan Ağaç için Ters Silme Algoritması
GfG Practice'de deneyin 
#practiceLinkDiv { görüntü: yok !önemli; }
#practiceLinkDiv { görüntü: yok !önemli; } Ters Silme algoritması aşağıdakilerle yakından ilgilidir: Kruskal'ın algoritması . Kruskal'ın algoritmasında yaptığımız şey şu: Kenarları ağırlık sırasını artırarak sıralayın. Sıralamadan sonra kenarları artan sırayla tek tek seçiyoruz. Bunu, yayılma ağacına dahil ederek, yayılma ağacında V = köşe sayısı olan V-1 kenarları oluşana kadar herhangi bir döngü oluşturmuyorsa, geçerli seçilmiş kenarı dahil ederiz.
Ters Silme algoritmasında tüm kenarları sıralıyoruz azalan ağırlıklarının sırası. Sıralamadan sonra kenarları birer birer azalan sırayla seçiyoruz. Biz Geçerli kenarın hariç tutulması geçerli grafikte bağlantının kesilmesine neden oluyorsa, geçerli seçilmiş kenarı dahil et . Ana fikir, eğer silinmesi grafiğin bağlantısının kesilmesine yol açmıyorsa kenarı silmektir.
Algoritma:
- Grafiğin tüm kenarlarını artan olmayan kenar ağırlıklarına göre sıralayın.
- MST'yi orijinal grafik olarak başlatın ve 3. adımı kullanarak ekstra kenarları kaldırın.
- Kalan kenarlardan en yüksek ağırlıklı kenarı seçin ve kenarı silmenin grafiğin bağlantısını kesip kesmediğini kontrol edin .
Bağlantı kesilirse kenarı silmeyiz.
Yoksa kenarı silip devam ediyoruz.
İllüstrasyon:
Aşağıdaki örnekle anlayalım:
Ağırlık 14'ün en yüksek ağırlık kenarını silersek grafik bağlantısı kesilmez, bu yüzden onu kaldırırız.
Daha sonra 11'i siliyoruz çünkü silmek grafiğin bağlantısını kesmez.
Daha sonra 10'u siliyoruz çünkü silmek grafiğin bağlantısını kesmez.
Sırada 9 var. 9'u silemiyoruz çünkü silmek bağlantının kopmasına sebep oluyor.
Bu şekilde devam ediyoruz ve sonraki kenarlar son MST'de kalıyor.
Edges in MST
(3 4)
(0 7)
(2 3)
(2 5)
(0 1)
(5 6)
(2 8)
(6 7)
Not : Aynı ağırlıklı kenarlar olması durumunda, aynı ağırlıklı kenarların herhangi bir kenarını seçebiliriz.
Önerilen Uygulama Minimum Yayılan Ağaç için Ters Silme Algoritması Deneyin!Uygulama:
C++Java// C++ program to find Minimum Spanning Tree // of a graph using Reverse Delete Algorithm #includeusing namespace std ; // Creating shortcut for an integer pair typedef pair < int int > iPair ; // Graph class represents a directed graph // using adjacency list representation class Graph { int V ; // No. of vertices list < int > * adj ; vector < pair < int iPair > > edges ; void DFS ( int v bool visited []); public : Graph ( int V ); // Constructor // function to add an edge to graph void addEdge ( int u int v int w ); // Returns true if graph is connected bool isConnected (); void reverseDeleteMST (); }; Graph :: Graph ( int V ) { this -> V = V ; adj = new list < int > [ V ]; } void Graph :: addEdge ( int u int v int w ) { adj [ u ]. push_back ( v ); // Add w to v’s list. adj [ v ]. push_back ( u ); // Add w to v’s list. edges . push_back ({ w { u v }}); } void Graph :: DFS ( int v bool visited []) { // Mark the current node as visited and print it visited [ v ] = true ; // Recur for all the vertices adjacent to // this vertex list < int >:: iterator i ; for ( i = adj [ v ]. begin (); i != adj [ v ]. end (); ++ i ) if ( ! visited [ * i ]) DFS ( * i visited ); } // Returns true if given graph is connected else false bool Graph :: isConnected () { bool visited [ V ]; memset ( visited false sizeof ( visited )); // Find all reachable vertices from first vertex DFS ( 0 visited ); // If set of reachable vertices includes all // return true. for ( int i = 1 ; i < V ; i ++ ) if ( visited [ i ] == false ) return false ; return true ; } // This function assumes that edge (u v) // exists in graph or not void Graph :: reverseDeleteMST () { // Sort edges in increasing order on basis of cost sort ( edges . begin () edges . end ()); int mst_wt = 0 ; // Initialize weight of MST cout < < 'Edges in MST n ' ; // Iterate through all sorted edges in // decreasing order of weights for ( int i = edges . size () -1 ; i >= 0 ; i -- ) { int u = edges [ i ]. second . first ; int v = edges [ i ]. second . second ; // Remove edge from undirected graph adj [ u ]. remove ( v ); adj [ v ]. remove ( u ); // Adding the edge back if removing it // causes disconnection. In this case this // edge becomes part of MST. if ( isConnected () == false ) { adj [ u ]. push_back ( v ); adj [ v ]. push_back ( u ); // This edge is part of MST cout < < '(' < < u < < ' ' < < v < < ') n ' ; mst_wt += edges [ i ]. first ; } } cout < < 'Total weight of MST is ' < < mst_wt ; } // Driver code int main () { // create the graph given in above figure int V = 9 ; Graph g ( V ); // making above shown graph g . addEdge ( 0 1 4 ); g . addEdge ( 0 7 8 ); g . addEdge ( 1 2 8 ); g . addEdge ( 1 7 11 ); g . addEdge ( 2 3 7 ); g . addEdge ( 2 8 2 ); g . addEdge ( 2 5 4 ); g . addEdge ( 3 4 9 ); g . addEdge ( 3 5 14 ); g . addEdge ( 4 5 10 ); g . addEdge ( 5 6 2 ); g . addEdge ( 6 7 1 ); g . addEdge ( 6 8 6 ); g . addEdge ( 7 8 7 ); g . reverseDeleteMST (); return 0 ; } Python3// Java program to find Minimum Spanning Tree // of a graph using Reverse Delete Algorithm import java.util.* ; // class to represent an edge class Edge implements Comparable < Edge > { int u v w ; Edge ( int u int v int w ) { this . u = u ; this . w = w ; this . v = v ; } public int compareTo ( Edge other ) { return ( this . w - other . w ); } } // Class to represent a graph using adjacency list // representation public class GFG { private int V ; // No. of vertices private List < Integer >[] adj ; private List < Edge > edges ; @SuppressWarnings ({ 'unchecked' 'deprecated' }) public GFG ( int v ) // Constructor { V = v ; adj = new ArrayList [ v ] ; for ( int i = 0 ; i < v ; i ++ ) adj [ i ] = new ArrayList < Integer > (); edges = new ArrayList < Edge > (); } // function to Add an edge public void AddEdge ( int u int v int w ) { adj [ u ] . add ( v ); // Add w to v’s list. adj [ v ] . add ( u ); // Add w to v’s list. edges . add ( new Edge ( u v w )); } // function to perform dfs private void DFS ( int v boolean [] visited ) { // Mark the current node as visited and print it visited [ v ] = true ; // Recur for all the vertices adjacent to // this vertex for ( int i : adj [ v ] ) { if ( ! visited [ i ] ) DFS ( i visited ); } } // Returns true if given graph is connected else false private boolean IsConnected () { boolean [] visited = new boolean [ V ] ; // Find all reachable vertices from first vertex DFS ( 0 visited ); // If set of reachable vertices includes all // return true. for ( int i = 1 ; i < V ; i ++ ) { if ( visited [ i ] == false ) return false ; } return true ; } // This function assumes that edge (u v) // exists in graph or not public void ReverseDeleteMST () { // Sort edges in increasing order on basis of cost Collections . sort ( edges ); int mst_wt = 0 ; // Initialize weight of MST System . out . println ( 'Edges in MST' ); // Iterate through all sorted edges in // decreasing order of weights for ( int i = edges . size () - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { int u = edges . get ( i ). u ; int v = edges . get ( i ). v ; // Remove edge from undirected graph adj [ u ] . remove ( adj [ u ] . indexOf ( v )); adj [ v ] . remove ( adj [ v ] . indexOf ( u )); // Adding the edge back if removing it // causes disconnection. In this case this // edge becomes part of MST. if ( IsConnected () == false ) { adj [ u ] . add ( v ); adj [ v ] . add ( u ); // This edge is part of MST System . out . println ( '(' + u + ' ' + v + ')' ); mst_wt += edges . get ( i ). w ; } } System . out . println ( 'Total weight of MST is ' + mst_wt ); } // Driver code public static void main ( String [] args ) { // create the graph given in above figure int V = 9 ; GFG g = new GFG ( V ); // making above shown graph g . AddEdge ( 0 1 4 ); g . AddEdge ( 0 7 8 ); g . AddEdge ( 1 2 8 ); g . AddEdge ( 1 7 11 ); g . AddEdge ( 2 3 7 ); g . AddEdge ( 2 8 2 ); g . AddEdge ( 2 5 4 ); g . AddEdge ( 3 4 9 ); g . AddEdge ( 3 5 14 ); g . AddEdge ( 4 5 10 ); g . AddEdge ( 5 6 2 ); g . AddEdge ( 6 7 1 ); g . AddEdge ( 6 8 6 ); g . AddEdge ( 7 8 7 ); g . ReverseDeleteMST (); } } // This code is contributed by Prithi_DeyC## Python3 program to find Minimum Spanning Tree # of a graph using Reverse Delete Algorithm # Graph class represents a directed graph # using adjacency list representation class Graph : def __init__ ( self v ): # No. of vertices self . v = v self . adj = [ 0 ] * v self . edges = [] for i in range ( v ): self . adj [ i ] = [] # function to add an edge to graph def addEdge ( self u : int v : int w : int ): self . adj [ u ] . append ( v ) # Add w to v’s list. self . adj [ v ] . append ( u ) # Add w to v’s list. self . edges . append (( w ( u v ))) def dfs ( self v : int visited : list ): # Mark the current node as visited and print it visited [ v ] = True # Recur for all the vertices adjacent to # this vertex for i in self . adj [ v ]: if not visited [ i ]: self . dfs ( i visited ) # Returns true if graph is connected # Returns true if given graph is connected else false def connected ( self ): visited = [ False ] * self . v # Find all reachable vertices from first vertex self . dfs ( 0 visited ) # If set of reachable vertices includes all # return true. for i in range ( 1 self . v ): if not visited [ i ]: return False return True # This function assumes that edge (u v) # exists in graph or not def reverseDeleteMST ( self ): # Sort edges in increasing order on basis of cost self . edges . sort ( key = lambda a : a [ 0 ]) mst_wt = 0 # Initialize weight of MST print ( 'Edges in MST' ) # Iterate through all sorted edges in # decreasing order of weights for i in range ( len ( self . edges ) - 1 - 1 - 1 ): u = self . edges [ i ][ 1 ][ 0 ] v = self . edges [ i ][ 1 ][ 1 ] # Remove edge from undirected graph self . adj [ u ] . remove ( v ) self . adj [ v ] . remove ( u ) # Adding the edge back if removing it # causes disconnection. In this case this # edge becomes part of MST. if self . connected () == False : self . adj [ u ] . append ( v ) self . adj [ v ] . append ( u ) # This edge is part of MST print ( '( %d %d )' % ( u v )) mst_wt += self . edges [ i ][ 0 ] print ( 'Total weight of MST is' mst_wt ) # Driver Code if __name__ == '__main__' : # create the graph given in above figure V = 9 g = Graph ( V ) # making above shown graph g . addEdge ( 0 1 4 ) g . addEdge ( 0 7 8 ) g . addEdge ( 1 2 8 ) g . addEdge ( 1 7 11 ) g . addEdge ( 2 3 7 ) g . addEdge ( 2 8 2 ) g . addEdge ( 2 5 4 ) g . addEdge ( 3 4 9 ) g . addEdge ( 3 5 14 ) g . addEdge ( 4 5 10 ) g . addEdge ( 5 6 2 ) g . addEdge ( 6 7 1 ) g . addEdge ( 6 8 6 ) g . addEdge ( 7 8 7 ) g . reverseDeleteMST () # This code is contributed by # sanjeev2552JavaScript// C# program to find Minimum Spanning Tree // of a graph using Reverse Delete Algorithm using System ; using System.Collections.Generic ; // class to represent an edge public class Edge : IComparable < Edge > { public int u v w ; public Edge ( int u int v int w ) { this . u = u ; this . v = v ; this . w = w ; } public int CompareTo ( Edge other ) { return this . w . CompareTo ( other . w ); } } // Graph class represents a directed graph // using adjacency list representation public class Graph { private int V ; // No. of vertices private List < int > [] adj ; private List < Edge > edges ; public Graph ( int v ) // Constructor { V = v ; adj = new List < int > [ v ]; for ( int i = 0 ; i < v ; i ++ ) adj [ i ] = new List < int > (); edges = new List < Edge > (); } // function to Add an edge public void AddEdge ( int u int v int w ) { adj [ u ]. Add ( v ); // Add w to v’s list. adj [ v ]. Add ( u ); // Add w to v’s list. edges . Add ( new Edge ( u v w )); } // function to perform dfs private void DFS ( int v bool [] visited ) { // Mark the current node as visited and print it visited [ v ] = true ; // Recur for all the vertices adjacent to // this vertex foreach ( int i in adj [ v ]) { if ( ! visited [ i ]) DFS ( i visited ); } } // Returns true if given graph is connected else false private bool IsConnected () { bool [] visited = new bool [ V ]; // Find all reachable vertices from first vertex DFS ( 0 visited ); // If set of reachable vertices includes all // return true. for ( int i = 1 ; i < V ; i ++ ) { if ( visited [ i ] == false ) return false ; } return true ; } // This function assumes that edge (u v) // exists in graph or not public void ReverseDeleteMST () { // Sort edges in increasing order on basis of cost edges . Sort (); int mst_wt = 0 ; // Initialize weight of MST Console . WriteLine ( 'Edges in MST' ); // Iterate through all sorted edges in // decreasing order of weights for ( int i = edges . Count - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { int u = edges [ i ]. u ; int v = edges [ i ]. v ; // Remove edge from undirected graph adj [ u ]. Remove ( v ); adj [ v ]. Remove ( u ); // Adding the edge back if removing it // causes disconnection. In this case this // edge becomes part of MST. if ( IsConnected () == false ) { adj [ u ]. Add ( v ); adj [ v ]. Add ( u ); // This edge is part of MST Console . WriteLine ( '({0} {1})' u v ); mst_wt += edges [ i ]. w ; } } Console . WriteLine ( 'Total weight of MST is {0}' mst_wt ); } } class GFG { // Driver code static void Main ( string [] args ) { // create the graph given in above figure int V = 9 ; Graph g = new Graph ( V ); // making above shown graph g . AddEdge ( 0 1 4 ); g . AddEdge ( 0 7 8 ); g . AddEdge ( 1 2 8 ); g . AddEdge ( 1 7 11 ); g . AddEdge ( 2 3 7 ); g . AddEdge ( 2 8 2 ); g . AddEdge ( 2 5 4 ); g . AddEdge ( 3 4 9 ); g . AddEdge ( 3 5 14 ); g . AddEdge ( 4 5 10 ); g . AddEdge ( 5 6 2 ); g . AddEdge ( 6 7 1 ); g . AddEdge ( 6 8 6 ); g . AddEdge ( 7 8 7 ); g . ReverseDeleteMST (); } } // This code is contributed by cavi4762
ÇıkışEdges in MST (3 4) (0 7) (2 3) (2 5) (0 1) (5 6) (2 8) (6 7) Total weight of MST is 37Zaman karmaşıklığı: O((E*(V+E)) + E log E) burada E kenar sayısıdır.
Uzay karmaşıklığı: O(V+E) burada V köşe sayısı ve E kenar sayısıdır. Grafiği depolamak için bitişiklik listesini kullanıyoruz, dolayısıyla O(V+E) ile orantılı alana ihtiyacımız var.
Notlar:
- Yukarıdaki uygulama, Ters Silme algoritmasının basit/saf bir uygulamasıdır ve O(E log V (log log V) olarak optimize edilebilir. 3 ) [Kaynak : Bir hafta ] Ancak bu optimize edilmiş zaman karmaşıklığı hala daha azdır. Prim Ve Kruskal MST için algoritmalar.
- Yukarıdaki uygulama orijinal grafiği değiştirir. Orijinal grafiğin korunması gerekiyorsa grafiğin bir kopyasını oluşturabiliriz.
Test Oluştur
