L, meet ve join adı verilen ve ∧ ve ∨ ile gösterilen iki ikili işlem altında kapalı, boş olmayan bir küme olsun. Bu durumda a, b, c'nin L'nin elemanları olduğu aşağıdaki aksiyomlar geçerliyse L'ye kafes denir:

1) Değişme Yasası: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Dernek Hukuku: -
(a) (a ∧ b)∧ c = bir ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Emilim Yasası: -
(a) bir ∧ ( bir ∨ b) = bir (b) bir ∨ ( bir ∧ b) = bir

İkilik:

Bir kafesteki herhangi bir ifadenin (L,∧ ,∨ ) ikilisi, ∧ ile ∨'ın yer değiştirmesiyle elde edilen bir ifade olarak tanımlanır.

Örneğin , a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a'nın ikilisi a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a'dır

Sınırlı Kafesler:

Bir L kafesinin en büyük elemanı 1 ve en küçük elemanı 0 ise sınırlı kafes olarak adlandırılır.

Örnek:

1. Kesişme ve birleşme işlemleri altında S kümesinin P(S) güç kümesi sınırlı bir kafestir, çünkü ∅ P(S)'nin en küçük elemanıdır ve S kümesi de P(S)'nin en büyük elemanıdır.
2. +ve tamsayı I kümesi ₊ ≦ olağan düzeni altında sınırlı bir kafes değildir çünkü en küçük elemanı 1'dir ancak en büyük elemanı mevcut değildir.

Sınırlı Kafeslerin Özellikleri:

Eğer L sınırlı bir kafes ise, o zaman herhangi bir a ∈ L elemanı için aşağıdaki özdeşliklere sahibiz:

1. bir ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Teorem: Her sonlu kafesin L = {a olduğunu kanıtlayın ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _N } Sınırlı.

Kanıt: Sonlu kafesi verdik:

L = {bir ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _N }

Dolayısıyla L Kafeslerinin en büyük elemanı a'dır. ₁ ∨ bir ₂ ∨ bir _{3∨....∨a N .}

Ayrıca L kafesinin en küçük elemanı a'dır. ₁ ∧ bir ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _N .

Çünkü her sonlu kafes için en büyük ve en küçük elemanlar mevcuttur. Dolayısıyla L sınırlıdır.

Alt Kafesler:

Boş olmayan bir L alt kümesini düşünün ₁ bir kafes L. Sonra L ₁ L ise L'nin alt kafesi denir ₁ kendisi bir kafestir, yani L'nin işlemi yani a ∨ b ∈ L ₁ ve a ∧ b ∈ L ₁ ne zaman bir ∈ L ₁ ve b ∈ L ₁ .

Örnek: Tüm +ve tamsayılarının kafesini düşünün I ₊ bölünebilme işlemi altındadır. Kafes D _N n > 1'in tüm bölenlerinden biri I'in bir alt kafesidir ₊ .

D'nin tüm alt kafeslerini belirleyin ₃₀ en az dört element içeren D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Çözüm: D'nin alt kafesleri ₃₀ en az dört element içerenler şunlardır:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

İzomorfik Kafesler:

İki kafes L ₁ ve ben ₂ L'den bir eşleşme varsa izomorfik kafesler olarak adlandırılır ₁ L'ye ₂ yani, f: L ₁ ⟶ L ₂ , öyle ki f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) ve f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Örnek: Şekilde gösterilen kafeslerin izomorfik olup olmadığını belirleyin.

Çözüm: Şekilde gösterilen kafesler izomorfiktir. f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} eşlemesini düşünün. Örneğin f (b ∧ c) = f (a) = 1. Ayrıca, f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1 olsun

Dağıtıcı Kafes:

Bir L kafesine, L'nin a, b ve c elemanlarından herhangi biri için aşağıdaki dağıtım özelliklerini sağlıyorsa, dağıtım kafesi denir:

1. bir ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. bir ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

L kafesi yukarıdaki özellikleri karşılamıyorsa, buna dağıtıcı olmayan kafes denir.

Örnek:

1. Kesişme ve birleşim işlemi altında S kümesinin P(S) kuvvet kümesi bir dağılım fonksiyonudur. O zamandan beri,
   bir ∩ (b ∪ c) = (bir ∩ b) ∪ (bir ∩ c)
   ve ayrıca P(S)'nin herhangi bir a, b ve c kümesi için a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) .
2. Şekil II'de gösterilen kafes bir dağıtıcıdır. Çünkü 1, 2, 3 ve 4'ten alınan tüm sıralı üçlüler için dağılım özelliklerini karşılamaktadır.

Tamamlayıcılar ve tamamlanmış kafesler:

L, alt sınırı o ve üst sınırı I olan sınırlı bir kafes olsun. L ise a bir eleman olsun. a ∨ x = I ve a ∧ x = 0 ise L'deki bir x elemanına a'nın tamamlayıcısı denir.

L sınırlıysa ve L'deki her elemanın bir tümleyeni varsa, L kafesinin tümleyen olduğu söylenir.

Örnek: Şekildeki a ve c'nin tamamlayıcısını belirleyin:

Çözüm: a'nın tamamlayıcısı d'dir. a ∨ d = 1 ve a ∧ d = 0 olduğundan

c'nin tamamlayıcısı mevcut değildir. Çünkü c ∨ c'=1 ve c ∧ c'= 0 olacak şekilde bir c elemanı yoktur.

Modüler Kafes:

a ≦ c olduğunda a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c ise, bir kafese (L, ∧,∨) modüler kafes denir.

Kafeslerin Direkt Çarpımı:

(L) olsun ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )ve ben ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) iki kafes olsun. O halde (L, ∧,∨) kafeslerin doğrudan çarpımıdır, burada L = L ₁ x L ₂ burada L üzerindeki ∨(join) ve ∧(meet) ikili işlemi herhangi bir (a) için öyledir ₁ ,B ₁ )ve (bir ₂ ,B ₂ ) L'de.

(A ₁ ,B ₁ )∨( bir ₂ ,B ₂ )=(bir ₁ ∨ ₁ A ₂ ,B ₁ ∨ ₂ B ₂ )
ve (bir ₁ ,B ₁ ) ∧ ( bir ₂ ,B ₂ )=(bir ₁ ∧ ₁ A ₂ ,B ₁ ∧ ₂ B ₂ ).

Örnek: Şekil 2'de gösterildiği gibi bir kafesi (L, ≦) düşünün. burada L = {1, 2}. Kafesleri belirleyin (L ² , ≦), burada L ² =U x U.

Çözüm: Kafes (L ² , ≦) şekil'de gösterilmektedir: