El sıkışma teorisini derecelerin toplamı teoremi veya El Sıkışma Lemması olarak da adlandırabiliriz. El sıkışma teorisi, bir grafiğin tüm köşelerinin derecelerinin toplamının, o grafiğin içerdiği kenar sayısının iki katı olacağını belirtir. El sıkışma teorisinin sembolik gösterimi şu şekilde açıklanmaktadır:

Burada,

'd' köşenin derecesini belirtmek için kullanılır.

'v' köşeyi belirtmek için kullanılır.

Kenarları belirtmek için 'e' kullanılır.

El Sıkışma Teoremi:

El sıkışma teoreminde çıkarılması gereken ve aşağıda açıklanan bazı sonuçlar vardır:

Herhangi bir grafikte:

• Tüm köşelerin derecelerinin toplamı için çift sayılar bulunmalıdır.
• Tüm köşelerin dereceleri tek ise bu köşelerin dereceleri toplamı her zaman çift kalmalıdır.
• Derecesi tek olan köşeler varsa bu köşelerin sayısı çift olacaktır.

El sıkışma teorisi örnekleri

El sıkışma teorisinin çeşitli örnekleri vardır ve örneklerden bazıları aşağıda açıklanmıştır:

Örnek 1: Burada her köşenin derecesi 4 ve 24 kenar olan bir grafiğimiz var. Şimdi bu grafikteki köşe sayısını öğreneceğiz.

Çözüm: Yukarıdaki grafiğin yardımıyla aşağıdaki ayrıntılara sahibiz:

Her köşenin derecesi = 24

Kenar sayısı = 24

Şimdi köşe sayısını = n olarak kabul edeceğiz.

El Sıkışma teoreminin yardımıyla aşağıdakilere sahibiz:

Tüm Köşelerin derecelerinin toplamı = 2 * Kenar sayısı

Şimdi verilen değerleri yukarıdaki el sıkışma formülüne koyacağız:

n*4 = 2*24

n = 2*6

n = 12

Böylece G grafiğinde köşe sayısı = 12 olur.

Örnek 2: Burada 21 kenarı, 3 derece 4 köşesi ve diğer tüm köşeleri 2 derece olan bir grafiğimiz var. Şimdi bu grafikteki toplam köşe sayısını bulacağız.

Çözüm: Yukarıdaki grafiğin yardımıyla aşağıdaki ayrıntılara sahibiz:

4. Derece köşe sayısı = 3

Kenar sayısı = 21

Diğer tüm köşeler derece 2'ye sahiptir

Şimdi köşe sayısını = n olarak kabul edeceğiz.

El Sıkışma teoreminin yardımıyla aşağıdakilere sahibiz:

Tüm Köşelerin derecelerinin toplamı = 2 * Kenar sayısı

Şimdi verilen değerleri yukarıdaki el sıkışma formülüne koyacağız:

3*4 + (n-3) * 2 = 2*21

12+2n-6 = 42

2n = 42 - 6

2n=36

sayı = 18

Böylece G grafiğinde toplam köşe sayısı = 18 olur.

Örnek 3: Burada 35 kenar, 4 derece 5 köşe, 5 derece 4 köşe ve 4 derece 3 köşe olan bir grafiğimiz var. Şimdi bu grafikte derece 2 olan köşe sayısını bulacağız.

Çözüm: Yukarıdaki grafiğin yardımıyla aşağıdaki ayrıntılara sahibiz:

Kenar sayısı = 35

5. Derece köşe sayısı = 4

4. derece köşe sayısı = 5

3. derece köşe sayısı = 4

Şimdi 2. derece köşe sayısını = n olarak kabul edeceğiz.

El Sıkışma teoreminin yardımıyla aşağıdakilere sahibiz:

Tüm Köşelerin derecelerinin toplamı = 2 * Kenar sayısı

Şimdi verilen değerleri yukarıdaki el sıkışma formülüne koyacağız:

4*5 + 5*4 + 4*3 + n*2 = 2*35

20 + 20 + 12 + 2n = 70

52+2n = 70

2n = 70-52

2n = 18

n = 9

Böylece G grafiğinde 2. derece köşe sayısı = 9 olur.

Örnek 4: Burada 24 kenarı olan bir grafiğimiz var ve her köşenin derecesi k. Şimdi verilen seçeneklerden olası köşe sayısını bulacağız.

1. on beş
2. yirmi
3. 8
4. 10

Çözüm: Yukarıdaki grafiğin yardımıyla aşağıdaki ayrıntılara sahibiz:

Kenar sayısı = 24

Her köşenin derecesi = k

Şimdi köşe sayısını = n olarak kabul edeceğiz.

El Sıkışma teoreminin yardımıyla aşağıdakilere sahibiz:

Tüm Köşelerin derecelerinin toplamı = 2 * Kenar sayısı

Şimdi verilen değerleri yukarıdaki el sıkışma formülüne koyacağız:

N*k = 2*24

K = 48/yaklaşık

Herhangi bir tepe noktasının derecesinin bir tam sayıyı içermesi zorunludur.

Dolayısıyla yukarıdaki denklemde yalnızca bize k'nin tam değerini sağlayan n değer türlerini kullanabiliriz.

Şimdi yukarıda verilen seçenekleri sırasıyla n yerine koyarak kontrol edeceğiz:

• n = 15 için k = 3,2 elde ederiz ki bu bir tam sayı değildir.
• n = 20 için k = 2,4 elde ederiz ki bu bir tam sayı değildir.
• n = 8 için, bir tam sayı olan k = 6'yı elde ederiz ve buna izin verilir.
• n = 10 için k = 4,8 elde ederiz ki bu bir tam sayı değildir.

Buna göre doğru seçenek C seçeneğidir.