I matematik är summeringen den grundläggande additionen av en sekvens av alla tal, som kallas addends eller summeringar; resultatet är deras summa eller total. I matematik kan siffror, funktioner, vektorer, matriser, polynom och i allmänhet element i vilket matematiskt objekt som helst associeras med en operation som kallas addition/summation, betecknad som +.

Summering av en explicit sekvens betecknas som en följd av tillägg. Till exempel kan summeringen av (1, 3, 4, 7) bas betecknas 1 + 3 + 4 + 7, och resultatet för ovanstående notation är 15, det vill säga 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Eftersom additionsoperationen är associativ såväl som kommutativ, det finns inget behov av parenteser när du listar serien/sekvensen, och resultatet kommer att bli detsamma oavsett ordningen på summan.

Innehållsförteckning

• Vad är summeringsformel?
• Var kan man använda summeringsformeln?
• Egenskaper för summering
• Standardsammanställningsformler
• Exempel på summeringsformel
• Vanliga frågor om summeringsformel

Vad är summeringsformel?

Summation eller sigma (∑) notation är en metod som används för att skriva ut en lång summa på ett kortfattat sätt. Denna notation kan kopplas till vilken formel eller funktion som helst.

Till exempel, _i=1 ∑ ¹⁰ (i) är en sigma-notation av tillägget av finita sekvensen 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 där det första elementet är 1 och det sista elementet är 10.

Summeringsformler

Var kan man använda summeringsformeln?

Summationsnotation kan användas inom olika matematikområden:

• Sekvens i serie
• Integration
• Sannolikhet
• Permutation och kombination
• Statistik

Notera: En summering är en kort form av repetitiv addition. Vi kan också ersätta summering med en loop av addition.

Egenskaper för summering

Fastighet 1

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) gånger = nc

Till exempel: Hitta värdet på _i=1 ∑ ⁴ c.

Genom att använda egenskap 1 kan vi direkt beräkna värdet på _i=1 ∑ ⁴ c som 4×c = 4c.

Fastighet 2

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) gånger = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ⁿ c

Till exempel: Hitta värdet på _i=1 ∑ ⁴ 5i.

Genom att använda egenskap 2 och 1 kan vi direkt beräkna värdet av _{i= 1} ∑ ⁴ 5i som 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Fastighet 3

_c=1 ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) gånger = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

Till exempel: Hitta värdet på _i=1 ∑ ⁴ (5+i).

Genom att använda egenskap 2 och 3 kan vi direkt beräkna värdet av _i=1 ∑ ⁴ (5+i) som 5×4+ _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Fastighet 4

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

Till exempel: Hitta värdet på _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ).

Genom att använda egenskap 4 kan vi direkt beräkna värdet av _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) som _i=1 ∑ ⁴ i + _i=1 ∑ ⁴ i ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standardsammanställningsformler

Olika summeringsformler är,

Summan av de första n naturliga talen: (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n+1)]/2

Summan av kvadraten av de första n naturliga talen: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (dvs ² ) = [n × (n+1) × (2n+1)]/6

Summan av kuben av de första n naturliga talen: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (dvs ³ ) = [n ² ×(n +1) ² )]/4

Summan av första n jämna naturliga tal: (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n ×(n +1)]

Summan av första n udda naturliga tal: (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

Summan av kvadraten av de första n jämna naturliga talen: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Summan av kvadraten av första n udda naturliga tal: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Summan av kub av första n jämna naturliga tal: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Summan av kub av första n udda naturliga tal: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² - 1)

Relaterade artiklar:

• Summan av naturliga tal
• Summa i matte
• Aritmetiska operationer
• Aritmetisk progression och geometrisk progression

Exempel på summeringsformel

Exempel 1: Hitta summan av de första 10 naturliga talen med hjälp av summeringsformeln.

Lösning:

Använda summeringsformeln för summan av n naturliga tal _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n+1)]/2

Vi har summan av de första 10 naturliga talen = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Exempel 2: Hitta summan av de 10 första naturliga talen större än 5, med hjälp av summeringsformeln.

Lösning:

Enligt frågan:

Summan av 10 första naturliga talen större än 5 = _i=6 ∑ ^femton (i)

= _i=1 ∑ ^femton (i) – _i=1 ∑ ⁵ (i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Exempel 3: Hitta summan av given ändlig sekvens 1 ² + 2 ² + 3 ² +...8 ² .

Lösning:

Den givna sekvensen är 1 ² + 2 ² + 3 ² +...8 ² , kan det skrivas som _i=1 ∑ ⁸ i ² med hjälp av egenskapen/formeln för summering

_i=1 ∑ ⁸ i ² = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Exempel 4: Förenkla _c=1 ∑ ⁿ kc.

Lösning:

Given summeringsformel = _c=1 ∑ ⁿ kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termer)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ⁿ kc = k _c=1 ∑ ⁿ c

Exempel 5: Förenkla och utvärdera x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Lösning:

Given summering är _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

Som vi vet det _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk+ _c=1 ∑ ⁿ c

Given summering kan förenklas som,

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (x)

Exempel 6: Förenkla _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Lösning:

Given summering är _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

som vi vet det _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

given summering kan förenklas som _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (x ² ).

Vanliga frågor om summeringsformel

Vad är summeringsformel för naturliga tal?

Summan av de naturliga talen från 1 till n, hittas med formeln n (n + 1) / 2. Till exempel är summan av de första 100 naturliga talen 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Vad är generell summeringsformel?

Allmän summeringsformel som används för att hitta summan av en sekvens {a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,a _n } är, ∑a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Hur använder du ∑?

∑ är symbolen för summering och används för att hitta summan av serier.

Vad är formeln för n summering?

Formel för summan av n naturligt tal är, summan av n tals formel är [n(n+1)2]