ЗБИР ПРОСЕКА СВИХ ПОДСКУПОВА

Пробајте на ГфГ пракси
#працтицеЛинкДив { дисплаи: ноне !импортант; }
Дати низ арр[] од Н целобројних елемената задатак је пронаћи збир просека свих подскупова овог низа.
Пример:
 Input : arr[] = [2 3 5]   
 Output : 23.33    
 Explanation : Subsets with their average are    
 [2] average = 2/1 = 2   
 [3] average = 3/1 = 3   
 [5] average = 5/1 = 5   
 [2 3] average = (2+3)/2 = 2.5   
 [2 5] average = (2+5)/2 = 3.5   
 [3 5] average = (3+5)/2 = 4   
 [2 3 5] average = (2+3+5)/3 = 3.33   
 Sum of average of all subset is    
 2 + 3 + 5 + 2.5 + 3.5 + 4 + 3.33 = 23.33  Recommended Practice  Збир просека свих подскупова    Покушајте!       наиван приступ:    Наивно решење је итерација кроз све могуће подскупове добити ан    просечан    свих њих, а затим их додајте један по један, али ово ће трајати експоненцијално и биће неизводљиво за веће низове.    
 Можемо добити образац узимајући пример    
   arr = [a0 a1 a2 a3]   
 sum of average =    
 a0/1 + a1/1 + a2/2 + a3/1 +   
 (a0+a1)/2 + (a0+a2)/2 + (a0+a3)/2 + (a1+a2)/2 +   
  (a1+a3)/2 + (a2+a3)/2 +    
 (a0+a1+a2)/3 + (a0+a2+a3)/3 + (a0+a1+a3)/3 +    
  (a1+a2+a3)/3 +   
 (a0+a1+a2+a3)/4   
 If      S     = (a0+a1+a2+a3) then above expression    
 can be rearranged as below   
 sum of average = (S)/1 + (3*S)/2 + (3*S)/3 + (S)/4   Коефицијент са бројиоцима се може објаснити на следећи начин, претпоставимо да понављамо подскупове са К елементима, тада ће именилац бити К, а бројилац ће бити р*С где 'р' означава број пута који ће одређени елемент низа бити додат током итерације преко подскупова исте величине. Инспекцијом видимо да ће р бити нЦр(Н - 1 н - 1) јер након стављања једног елемента у сумирање треба да изаберемо (н – 1) елемената од (Н - 1) елемената тако да ће сваки елемент имати фреквенцију нЦр(Н - 1 н - 1) док узимамо у обзир подскупове исте величине јер ће сви елементи у броју су такође учествовати у једнаком броју пута. коначни израз.   
   У коду испод    нЦр се имплементира методом динамичког програмирања    више о томе можете прочитати овде   
 C++      // C++ program to get sum of average of all subsets   #include          using     namespace     std  ;   // Returns value of Binomial Coefficient C(n k)   int     nCr  (  int     n       int     k  )   {      int     C  [  n     +     1  ][  k     +     1  ];      int     i       j  ;      // Calculate value of Binomial Coefficient in bottom      // up manner      for     (  i     =     0  ;     i      <=     n  ;     i  ++  )     {      for     (  j     =     0  ;     j      <=     min  (  i       k  );     j  ++  )     {      // Base Cases      if     (  j     ==     0     ||     j     ==     i  )      C  [  i  ][  j  ]     =     1  ;      // Calculate value using previously stored      // values      else      C  [  i  ][  j  ]     =     C  [  i     -     1  ][  j     -     1  ]     +     C  [  i     -     1  ][  j  ];      }      }      return     C  [  n  ][  k  ];   }   // method returns sum of average of all subsets   double     resultOfAllSubsets  (  int     arr  []     int     N  )   {      double     result     =     0.0  ;     // Initialize result      // Find sum of elements      int     sum     =     0  ;      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     N  ;     i  ++  )      sum     +=     arr  [  i  ];      // looping once for all subset of same size      for     (  int     n     =     1  ;     n      <=     N  ;     n  ++  )      /* each element occurs nCr(N-1 n-1) times while    considering subset of size n */      result     +=     (  double  )(  sum     *     (  nCr  (  N     -     1       n     -     1  )))     /     n  ;      return     result  ;   }   // Driver code to test above methods   int     main  ()   {      int     arr  []     =     {     2       3       5       7     };      int     N     =     sizeof  (  arr  )     /     sizeof  (  int  );      cout      < <     resultOfAllSubsets  (  arr       N  )      < <     endl  ;      return     0  ;   }   
  Java      // java program to get sum of   // average of all subsets   import     java.io.*  ;   class   GFG     {      // Returns value of Binomial      // Coefficient C(n k)      static     int     nCr  (  int     n       int     k  )      {      int     C  [][]     =     new     int  [  n     +     1  ][  k     +     1  ]  ;      int     i       j  ;      // Calculate value of Binomial      // Coefficient in bottom up manner      for     (  i     =     0  ;     i      <=     n  ;     i  ++  )     {      for     (  j     =     0  ;     j      <=     Math  .  min  (  i       k  );     j  ++  )     {      // Base Cases      if     (  j     ==     0     ||     j     ==     i  )      C  [  i  ][  j  ]     =     1  ;      // Calculate value using      // previously stored values      else      C  [  i  ][  j  ]     =     C  [  i     -     1  ][  j     -     1  ]     +     C  [  i     -     1  ][  j  ]  ;      }      }      return     C  [  n  ][  k  ]  ;      }      // method returns sum of average of all subsets      static     double     resultOfAllSubsets  (  int     arr  []       int     N  )      {      // Initialize result      double     result     =     0.0  ;      // Find sum of elements      int     sum     =     0  ;      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     N  ;     i  ++  )      sum     +=     arr  [  i  ]  ;      // looping once for all subset of same size      for     (  int     n     =     1  ;     n      <=     N  ;     n  ++  )      /* each element occurs nCr(N-1 n-1) times while    considering subset of size n */      result     +=     (  double  )(  sum     *     (  nCr  (  N     -     1       n     -     1  )))     /     n  ;      return     result  ;      }      // Driver code to test above methods      public     static     void     main  (  String  []     args  )      {      int     arr  []     =     {     2       3       5       7     };      int     N     =     arr  .  length  ;      System  .  out  .  println  (  resultOfAllSubsets  (  arr       N  ));      }   }   // This code is contributed by vt_m   
  C#      // C# program to get sum of   // average of all subsets   using     System  ;   class     GFG     {          // Returns value of Binomial      // Coefficient C(n k)      static     int     nCr  (  int     n       int     k  )      {      int  [     ]     C     =     new     int  [  n     +     1       k     +     1  ];      int     i       j  ;      // Calculate value of Binomial      // Coefficient in bottom up manner      for     (  i     =     0  ;     i      <=     n  ;     i  ++  )     {      for     (  j     =     0  ;     j      <=     Math  .  Min  (  i       k  );     j  ++  )         {      // Base Cases      if     (  j     ==     0     ||     j     ==     i  )      C  [  i       j  ]     =     1  ;      // Calculate value using      // previously stored values      else      C  [  i       j  ]     =     C  [  i     -     1       j     -     1  ]     +     C  [  i     -     1       j  ];      }      }      return     C  [  n       k  ];      }      // method returns sum of average       // of all subsets      static     double     resultOfAllSubsets  (  int  []     arr       int     N  )      {      // Initialize result      double     result     =     0.0  ;      // Find sum of elements      int     sum     =     0  ;      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     N  ;     i  ++  )      sum     +=     arr  [  i  ];      // looping once for all subset       // of same size      for     (  int     n     =     1  ;     n      <=     N  ;     n  ++  )      /* each element occurs nCr(N-1 n-1) times while    considering subset of size n */      result     +=     (  double  )(  sum     *     (  nCr  (  N     -     1       n     -     1  )))     /     n  ;      return     result  ;      }      // Driver code to test above methods      public     static     void     Main  ()      {      int  []     arr     =     {     2       3       5       7     };      int     N     =     arr  .  Length  ;      Console  .  WriteLine  (  resultOfAllSubsets  (  arr       N  ));      }   }   // This code is contributed by Sam007   
  JavaScript       <  script  >      // javascript program to get sum of      // average of all subsets          // Returns value of Binomial      // Coefficient C(n k)      function     nCr  (  n       k  )      {      let     C     =     new     Array  (  n     +     1  );      for     (  let     i     =     0  ;     i      <=     n  ;     i  ++  )         {      C  [  i  ]     =     new     Array  (  k     +     1  );      for     (  let     j     =     0  ;     j      <=     k  ;     j  ++  )         {      C  [  i  ][  j  ]     =     0  ;      }      }      let     i       j  ;          // Calculate value of Binomial      // Coefficient in bottom up manner      for     (  i     =     0  ;     i      <=     n  ;     i  ++  )     {      for     (  j     =     0  ;     j      <=     Math  .  min  (  i       k  );     j  ++  )     {      // Base Cases      if     (  j     ==     0     ||     j     ==     i  )      C  [  i  ][  j  ]     =     1  ;          // Calculate value using      // previously stored values      else      C  [  i  ][  j  ]     =     C  [  i     -     1  ][  j     -     1  ]     +     C  [  i     -     1  ][  j  ];      }      }      return     C  [  n  ][  k  ];      }          // method returns sum of average of all subsets      function     resultOfAllSubsets  (  arr       N  )      {      // Initialize result      let     result     =     0.0  ;          // Find sum of elements      let     sum     =     0  ;      for     (  let     i     =     0  ;     i      <     N  ;     i  ++  )      sum     +=     arr  [  i  ];          // looping once for all subset of same size      for     (  let     n     =     1  ;     n      <=     N  ;     n  ++  )          /* each element occurs nCr(N-1 n-1) times while    considering subset of size n */      result     +=     (  sum     *     (  nCr  (  N     -     1       n     -     1  )))     /     n  ;          return     result  ;      }          let     arr     =     [     2       3       5       7     ];      let     N     =     arr  .  length  ;      document  .  write  (  resultOfAllSubsets  (  arr       N  ));        <  /script>   
  PHP         // PHP program to get sum    // of average of all subsets   // Returns value of Binomial   // Coefficient C(n k)   function   nCr  (  $n     $k  )   {   $C  [  $n   +   1  ][  $k   +   1  ]   =   0  ;   $i  ;   $j  ;   // Calculate value of Binomial   // Coefficient in bottom up manner   for   (  $i   =   0  ;   $i    <=   $n  ;   $i  ++  )   {   for   (  $j   =   0  ;   $j    <=   min  (  $i     $k  );   $j  ++  )   {   // Base Cases   if   (  $j   ==   0   ||   $j   ==   $i  )   $C  [  $i  ][  $j  ]   =   1  ;   // Calculate value using    // previously stored values   else   $C  [  $i  ][  $j  ]   =   $C  [  $i   -   1  ][  $j   -   1  ]   +   $C  [  $i   -   1  ][  $j  ];   }   }   return   $C  [  $n  ][  $k  ];   }   // method returns sum of   // average of all subsets   function   resultOfAllSubsets  (  $arr     $N  )   {   // Initialize result   $result   =   0.0  ;   // Find sum of elements   $sum   =   0  ;   for   (  $i   =   0  ;   $i    <   $N  ;   $i  ++  )   $sum   +=   $arr  [  $i  ];   // looping once for all    // subset of same size   for   (  $n   =   1  ;   $n    <=   $N  ;   $n  ++  )   /* each element occurs nCr(N-1     n-1) times while considering     subset of size n */   $result   +=   ((  $sum   *   (  nCr  (  $N   -   1     $n   -   1  )))   /   $n  );   return   $result  ;   }   // Driver Code   $arr   =   array  (   2     3     5     7   );   $N   =   sizeof  (  $arr  )   /   sizeof  (  $arr  [  0  ]);   echo   resultOfAllSubsets  (  $arr     $N  )   ;   // This code is contributed by nitin mittal.    ?>   
  Python3      # Python3 program to get sum   # of average of all subsets   # Returns value of Binomial   # Coefficient C(n k)   def   nCr  (  n     k  ):   C   =   [[  0   for   i   in   range  (  k   +   1  )]   for   j   in   range  (  n   +   1  )]   # Calculate value of Binomial    # Coefficient in bottom up manner   for   i   in   range  (  n   +   1  ):   for   j   in   range  (  min  (  i     k  )   +   1  ):   # Base Cases   if   (  j   ==   0   or   j   ==   i  ):   C  [  i  ][  j  ]   =   1   # Calculate value using    # previously stored values   else  :   C  [  i  ][  j  ]   =   C  [  i  -  1  ][  j  -  1  ]   +   C  [  i  -  1  ][  j  ]   return   C  [  n  ][  k  ]   # Method returns sum of   # average of all subsets   def   resultOfAllSubsets  (  arr     N  ):   result   =   0.0   # Initialize result   # Find sum of elements   sum   =   0   for   i   in   range  (  N  ):   sum   +=   arr  [  i  ]   # looping once for all subset of same size   for   n   in   range  (  1     N   +   1  ):   # each element occurs nCr(N-1 n-1) times while   # considering subset of size n */   result   +=   (  sum   *   (  nCr  (  N   -   1     n   -   1  )))   /   n   return   result   # Driver code    arr   =   [  2     3     5     7  ]   N   =   len  (  arr  )   print  (  resultOfAllSubsets  (  arr     N  ))   # This code is contributed by Anant Agarwal.   
    
  Излаз   63.75 
     Временска сложеност:    О(н  ³ )   
    Помоћни простор:    О(н  ² )  
      Ефикасан приступ: Оптимизација простора О(1)     
 Да бисмо оптимизовали просторну сложеност горњег приступа, можемо користити ефикаснији приступ који избегава потребу за целом матрицом     Ц[][]    за чување биномних коефицијената. Уместо тога, можемо користити комбиновану формулу за директно израчунавање биномног коефицијента када је то потребно.  
      Кораци имплементације:    
    Пређите преко елемената низа и израчунајте збир свих елемената.  
  Итерирајте сваку величину подскупа од 1 до Н.  
  Унутар петље израчунајте    просечан    од збира елемената помноженог биномним коефицијентом за величину подскупа. Додајте израчунати просек на резултат.  
  Врати коначан резултат.  
 
     Имплементација:    
 C++      #include          using     namespace     std  ;   // Method to calculate binomial coefficient C(n k)   int     binomialCoeff  (  int     n       int     k  )   {      int     res     =     1  ;      // Since C(n k) = C(n n-k)      if     (  k     >     n     -     k  )      k     =     n     -     k  ;      // Calculate value of [n * (n-1) * ... * (n-k+1)] / [k * (k-1) * ... * 1]      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     k  ;     i  ++  )      {      res     *=     (  n     -     i  );      res     /=     (  i     +     1  );      }      return     res  ;   }   // Method to calculate the sum of the average of all subsets   double     resultOfAllSubsets  (  int     arr  []     int     N  )   {      double     result     =     0.0  ;      int     sum     =     0  ;      // Calculate the sum of elements      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     N  ;     i  ++  )      sum     +=     arr  [  i  ];      // Loop for each subset size      for     (  int     n     =     1  ;     n      <=     N  ;     n  ++  )      result     +=     (  double  )(  sum     *     binomialCoeff  (  N     -     1       n     -     1  ))     /     n  ;      return     result  ;   }   // Driver code to test the above methods   int     main  ()   {      int     arr  []     =     {     2       3       5       7     };      int     N     =     sizeof  (  arr  )     /     sizeof  (  int  );      cout      < <     resultOfAllSubsets  (  arr       N  )      < <     endl  ;      return     0  ;   }   
  Java      import     java.util.Arrays  ;   public     class   Main     {      // Method to calculate binomial coefficient C(n k)      static     int     binomialCoeff  (  int     n       int     k  )     {      int     res     =     1  ;      // Since C(n k) = C(n n-k)      if     (  k     >     n     -     k  )      k     =     n     -     k  ;      // Calculate value of [n * (n-1) * ... * (n-k+1)] / [k * (k-1) * ... * 1]      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     k  ;     i  ++  )     {      res     *=     (  n     -     i  );      res     /=     (  i     +     1  );      }      return     res  ;      }      // Method to calculate the sum of the average of all subsets      static     double     resultOfAllSubsets  (  int     arr  []       int     N  )     {      double     result     =     0.0  ;      int     sum     =     0  ;      // Calculate the sum of elements      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     N  ;     i  ++  )      sum     +=     arr  [  i  ]  ;      // Loop for each subset size      for     (  int     n     =     1  ;     n      <=     N  ;     n  ++  )      result     +=     (  double  )     (  sum     *     binomialCoeff  (  N     -     1       n     -     1  ))     /     n  ;      return     result  ;      }      // Driver code to test the above methods      public     static     void     main  (  String  []     args  )     {      int     arr  []     =     {  2       3       5       7  };      int     N     =     arr  .  length  ;      System  .  out  .  println  (  resultOfAllSubsets  (  arr       N  ));      }   }   
  C#      using     System  ;   public     class     MainClass   {      // Method to calculate binomial coefficient C(n k)      static     int     BinomialCoeff  (  int     n       int     k  )      {      int     res     =     1  ;      // Since C(n k) = C(n n-k)      if     (  k     >     n     -     k  )      k     =     n     -     k  ;      // Calculate value of [n * (n-1) * ... * (n-k+1)] / [k * (k-1) * ... * 1]      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     k  ;     i  ++  )      {      res     *=     (  n     -     i  );      res     /=     (  i     +     1  );      }      return     res  ;      }      // Method to calculate the sum of the average of all subsets      static     double     ResultOfAllSubsets  (  int  []     arr       int     N  )      {      double     result     =     0.0  ;      int     sumVal     =     0  ;      // Calculate the sum of elements      for     (  int     i     =     0  ;     i      <     N  ;     i  ++  )      sumVal     +=     arr  [  i  ];      // Loop for each subset size      for     (  int     n     =     1  ;     n      <=     N  ;     n  ++  )      result     +=     (  double  )(  sumVal     *     BinomialCoeff  (  N     -     1       n     -     1  ))     /     n  ;      return     result  ;      }      // Driver code to test the above methods      public     static     void     Main  ()      {      int  []     arr     =     {     2       3       5       7     };      int     N     =     arr  .  Length  ;      Console  .  WriteLine  (  ResultOfAllSubsets  (  arr       N  ));      }   }   
  JavaScript      // Function to calculate binomial coefficient C(n k)   function     binomialCoeff  (  n       k  )     {      let     res     =     1  ;      // Since C(n k) = C(n n-k)      if     (  k     >     n     -     k  )      k     =     n     -     k  ;      // Calculate value of [n * (n-1) * ... * (n-k+1)] / [k * (k-1) * ... * 1]      for     (  let     i     =     0  ;     i      <     k  ;     i  ++  )     {      res     *=     (  n     -     i  );      res     /=     (  i     +     1  );      }      return     res  ;   }   // Function to calculate the sum of the average of all subsets   function     resultOfAllSubsets  (  arr  )     {      let     result     =     0.0  ;      let     sum     =     arr  .  reduce  ((  acc       val  )     =>     acc     +     val       0  );      // Loop for each subset size      for     (  let     n     =     1  ;     n      <=     arr  .  length  ;     n  ++  )     {      result     +=     (  sum     *     binomialCoeff  (  arr  .  length     -     1       n     -     1  ))     /     n  ;      }      return     result  ;   }   const     arr     =     [  2       3       5       7  ];   console  .  log  (  resultOfAllSubsets  (  arr  ));   
  Python3      # Method to calculate binomial coefficient C(n k)   def   binomialCoeff  (  n     k  ):   res   =   1   # Since C(n k) = C(n n-k)   if   k   >   n   -   k  :   k   =   n   -   k   # Calculate value of [n * (n-1) * ... * (n-k+1)] / [k * (k-1) * ... * 1]   for   i   in   range  (  k  ):   res   *=   (  n   -   i  )   res   //=   (  i   +   1  )   return   res   # Method to calculate the sum of the average of all subsets   def   resultOfAllSubsets  (  arr     N  ):   result   =   0.0   sum_val   =   0   # Calculate the sum of elements   for   i   in   range  (  N  ):   sum_val   +=   arr  [  i  ]   # Loop for each subset size   for   n   in   range  (  1     N   +   1  ):   result   +=   (  sum_val   *   binomialCoeff  (  N   -   1     n   -   1  ))   /   n   return   result   # Driver code to test the above methods   arr   =   [  2     3     5     7  ]   N   =   len  (  arr  )   print  (  resultOfAllSubsets  (  arr     N  ))   
     
    Излаз    
   63.75      Временска сложеност:    О(н^2)   
    Помоћни простор:    О(1)  
       
  
    
         Креирај квиз