Нека је Л непразан скуп затворен под две бинарне операције зване сусрет и спајање, означене са ∧ и ∨. Тада се Л назива решетком ако важе следеће аксиоме где су а, б, ц елементи у Л:

1) Комутативни закон: -
(а) а ∧ б = б ∧ а (б) а ∨ б = б ∨ а

2) Закон о удруживању:-
(а) (а ∧ б)∧ ц = а ∧(б∧ ц) (б) (а ∨ б) ∨ ц = а ∨ (б ∨ ц)

3) Закон о апсорпцији: -
(а) а ∧ ( а ∨ б) = а (б) а ∨ ( а ∧ б) = а

дуалност:

Дуал било ког исказа у решетки (Л,∧,∨) је дефинисан као исказ који се добија заменом ∧ и ∨.

На пример , дуал од а ∧ (б ∨ а) = а ∨ а је а ∨ (б ∧ а )= а ∧ а

Ограничене решетке:

Решетка Л се назива ограниченом ако има највећи елемент 1 и најмањи елемент 0.

Пример:

1. Скуп снага П(С) скупа С под операцијама пресека и уједињења је ограничена решетка пошто је ∅ најмањи елемент од П(С), а скуп С највећи елемент од П(С).
2. Скуп +ве целог броја И ₊ под уобичајеним редоследом ≦ није ограничена решетка пошто има најмањи елемент 1, али највећи елемент не постоји.

Својства ограничених решетки:

Ако је Л ограничена решетка, онда за било који елемент а ∈ Л имамо следеће идентитете:

1. а ∨ 1 = 1
2. а ∧1= а
3. а ∨0=а
4. а ∧0=0

теорема: Доказати да је свака коначна решетка Л = {а ₁ ,а ₂ ,а ₃ ....а _н } је ограничен.

Доказ: Дали смо коначну решетку:

Л = {а ₁ ,а ₂ ,а ₃ ....а _н }

Дакле, највећи елемент решетки Л је а ₁ ∨ а ₂ ∨ а _{3∨....∨а н .}

Такође, најмањи елемент решетке Л је а ₁ ∧ а ₂ ∧а ₃ ∧....∧а _н .

Пошто највећи и најмањи елементи постоје за сваку коначну решетку. Дакле, Л је ограничено.

Подрешетке:

Размотримо непразан подскуп Л ₁ решетке Л. Тада је Л ₁ назива се подрешетка од Л ако је Л ₁ сама по себи је решетка, тј. операција Л, тј. а ∨ б ∈ Л ₁ и а ∧ б ∈ Л ₁ кад год је а ∈ Л ₁ и б ∈ Л ₁ .

Пример: Размотримо решетку свих +ве целих бројева И ₊ под операцијом дељивости. Решетка Д _н свих делилаца од н > 1 је подрешетка од И ₊ .

Одредити све подрешетке Д ₃₀ који садрже најмање четири елемента, Д ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Решење: Подрешетке Д ₃₀ који садрже најмање четири елемента су следећи:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Изоморфне решетке:

Две решетке Л ₁ и ја ₂ називају се изоморфне решетке ако постоји бијекција из Л ₁ до Л ₂ тј, ф: Л ₁ ⟶ Л ₂ , такав да је ф (а ∧ б) =ф(а)∧ ф(б) и ф (а ∨ б) = ф (а) ∨ ф (б)

Пример: Одредите да ли су решетке приказане на сл. изоморфне.

Решење: Решетке приказане на сл. су изоморфне. Размотримо пресликавање ф = {(а, 1), (б, 2), (ц, 3), (д, 4)}. На пример, ф (б ∧ ц) = ф (а) = 1. Такође, ми има ф (б) ∧ ф(ц) = 2 ∧ 3 = 1

Дистрибутивна решетка:

Решетка Л се назива дистрибутивна решетка ако за било који елемент а, б и ц од Л задовољава следеће дистрибутивне особине:

1. а ∧ (б ∨ ц) = (а ∧ б) ∨ (а ∧ ц)
2. а ∨ (б ∧ ц) = (а ∨ б) ∧ (а ∨ ц)

Ако решетка Л не задовољава горња својства, назива се недистрибутивна решетка.

Пример:

1. Скуп снага П (С) скупа С под операцијом пресека и уније је дистрибутивна функција. Од,
   а ∩ (б ∪ ц) = (а ∩ б) ∪ (а ∩ ц)
   и такође а ∪ (б ∩ ц) = (а ∪ б) ∩ (а ∪ц) за било које скупове а, б и ц од П(С).
2. Решетка приказана на слици ИИ је дистрибутивна. Пошто он задовољава дистрибутивна својства за све уређене тројке које су преузете из 1, 2, 3 и 4.

Комплементи и допуњене решетке:

Нека је Л ограничена решетка са доњом границом о и горњом границом И. Нека је а елемент ако је Л. Елемент к у Л се назива допуном а ако је а ∨ к = И и а ∧ к = 0

За решетку Л се каже да је допуњена ако је Л ограничена и сваки елемент у Л има комплемент.

Пример: Одреди комплемент а и ц на сл.

Решење: Комплемент а је д. Пошто је а ∨ д = 1 и а ∧ д = 0

Допуна ц не постоји. Пошто не постоји ниједан елемент ц такав да је ц ∨ ц'=1 и ц ∧ ц'= 0.

Модуларна решетка:

Решетка (Л, ∧,∨) се назива модуларном решетком ако је а ∨ (б ∧ ц) = (а ∨ б) ∧ ц кад год је а ≦ ц.

Директан производ решетки:

Нека (Л ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )и ја ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) бити две решетке. Тада је (Л, ∧,∨) директан производ решетки, где је Л = Л ₁ к Л ₂ у којој су бинарне операције ∨(придруживање) и ∧(сусрет) на Л такве да за било које (а ₁ ,б ₁ ) и (а ₂ ,б ₂ ) у Л.

(а ₁ ,б ₁ )∨( а ₂ ,б ₂ )=(а ₁ ∨ ₁ а ₂ ,б ₁ ∨ ₂ б ₂ )
и (а ₁ ,б ₁ ) ∧ ( а ₂ ,б ₂ )=(а ₁ ∧ ₁ а ₂ ,б ₁ ∧ ₂ б ₂ ).

Пример: Размотримо решетку (Л, ≦) као што је приказано на сл. где је Л = {1, 2}. Одредите решетке (Л ² , ≦), где је Л ² =Л к Л.

Решење: Решетка (Л ² , ≦) је приказан на сл.