V matematiki je seštevek osnovni seštevek zaporedja poljubnih števil, imenovanih seštevalci ali seštevalci; rezultat je njihova vsota ali skupek. V matematiki lahko števila, funkcije, vektorje, matrike, polinome in na splošno elemente katerega koli matematičnega objekta povežemo z operacijo, imenovano seštevanje/seštevanje, označeno kot +.

Seštevanje eksplicitnega zaporedja je označeno kot zaporedje dodatkov. Na primer, seštevek (1, 3, 4, 7) lahko za osnovo označimo z 1 + 3 + 4 + 7, rezultat za zgornji zapis pa je 15, to je 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Ker operacija seštevanja je asociativna in komutativna, ni potrebe po oklepajih med naštevanjem serije/zaporedja in rezultat bo enak ne glede na vrstni red seštevkov.

Kazalo

• Kaj je formula seštevka?
• Kje uporabiti formulo za seštevek?
• Lastnosti seštevanja
• Standardne formule za seštevanje
• Primer formule za seštevek
• Pogosta vprašanja o formuli seštevka

Kaj je formula seštevka?

Seštevek ali sigma (∑) zapis je metoda, ki se uporablja za zapis dolge vsote na jedrnat način. Ta zapis je mogoče pripeti kateri koli formuli ali funkciji.

na primer _i=1 ∑ ¹⁰ (i) je sigma zapis seštevanja končnega zaporedja 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, kjer je prvi element 1 in zadnji element 10.

Formule seštevanja

Kje uporabiti formulo za seštevek?

Sumacijski zapis se lahko uporablja na različnih področjih matematike:

• Zaporedje v seriji
• Integracija
• Verjetnost
• Permutacija in kombinacija
• Statistika

Opomba: Seštevek je kratka oblika ponavljajočega seštevanja. Seštevanje lahko nadomestimo tudi z zanko seštevanja.

Lastnosti seštevanja

Lastnost 1

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) krat = nc

Na primer: Poiščite vrednost _i=1 ∑ ⁴ c.

Z uporabo lastnosti 1 lahko neposredno izračunamo vrednost _i=1 ∑ ⁴ c kot 4×c = 4c.

Lastnost 2

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) krat = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ⁿ c

Na primer: Poiščite vrednost _i=1 ∑ ⁴ 5i.

Z uporabo lastnosti 2 in 1 lahko neposredno izračunamo vrednost _{i= 1} ∑ ⁴ 5i kot 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × (1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Nepremičnina 3

_c=1 ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) krat = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

Na primer: Poiščite vrednost _i=1 ∑ ⁴ (5+i).

Z uporabo lastnosti 2 in 3 lahko neposredno izračunamo vrednost _i=1 ∑ ⁴ (5+i) kot 5×4 + _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + (1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Lastnina 4

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

Na primer: Poiščite vrednost _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ).

Z uporabo lastnosti 4 lahko neposredno izračunamo vrednost _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) kot _i=1 ∑ ⁴ jaz + _i=1 ∑ ⁴ jaz ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standardne formule za seštevanje

Različne formule za seštevanje so,

Vsota prvih n naravnih števil : (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2

Vsota kvadratov prvih n naravnih števil: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (jaz ² ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Vsota kubov prvih n naravnih števil: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (jaz ³ ) = [n ² ×(n +1) ² )]/4

Vsota prvih n sodih naravnih števil : (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n × (n +1)]

Vsota prvih n lihih naravnih števil: (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

Vsota kvadratov prvih n sodih naravnih števil: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Vsota kvadratov prvih n lihih naravnih števil: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Vsota kubov prvih n sodih naravnih števil: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Vsota kubov prvih n lihih naravnih števil: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² - 1)

Povezani članki:

• Vsota naravnih števil
• Vsota pri matematiki
• Aritmetične operacije
• Aritmetična progresija in geometrijska progresija

Primer formule za seštevek

Primer 1: Poiščite vsoto prvih 10 naravnih števil z uporabo formule za seštevanje.

rešitev:

Uporaba formule za seštevanje vsote n naravnih števil _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2

Imamo vsoto prvih 10 naravnih števil = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Primer 2: Poiščite vsoto 10 prvih naravnih števil, večjih od 5, z uporabo formule za seštevanje.

rešitev:

Glede na vprašanje:

Vsota 10 prvih naravnih števil, večjih od 5 = _i=6 ∑ ^petnajst (jaz)

= _i=1 ∑ ^petnajst (jaz) - _i=1 ∑ ⁵ (jaz)

= [15 × 16] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Primer 3: Poiščite vsoto danega končnega zaporedja 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

rešitev:

Dano zaporedje je 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² , se lahko zapiše kot _i=1 ∑ ⁸ jaz ² z uporabo lastnosti/formule seštevanja

_i=1 ∑ ⁸ jaz ² = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Primer 4: Poenostavite _c=1 ∑ ⁿ kc.

rešitev:

Dana formula seštevka = _c=1 ∑ ⁿ kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n členov)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ⁿ kc = k _c=1 ∑ ⁿ c

Primer 5: Poenostavite in ovrednotite x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

rešitev:

Dana seštevek je _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

Kot vemo, da _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

Dano seštevanje je mogoče poenostaviti kot,

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (x)

Primer 6: Poenostavite _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

rešitev:

Dana seštevek je _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

kot to vemo _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

dano seštevanje je mogoče poenostaviti kot _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (x ² ).

Pogosta vprašanja o formuli seštevka

Kaj je formula seštevanja naravnih števil?

Vsota naravnih števil od 1 do n se izračuna po formuli n (n + 1) / 2. Na primer, vsota prvih 100 naravnih števil je 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Kaj je splošna formula za seštevek?

Splošna formula za seštevanje, ki se uporablja za iskanje vsote zaporedja {a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,a _n } je, ∑a _jaz = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Kako uporabljate ∑?

∑ je simbol seštevanja in se uporablja za iskanje vsote serije.

Kakšna je formula za seštevek n?

Formula za vsoto n naravnih števil je, Formula vsote n števil je [n(n+1)2]