V matematike sa exponenty a mocniny používajú, keď sa číslo samo násobí určitým počtom krát. Napríklad 4 × 4 × 4 = 64. Môže to byť napísané aj v skrátenej forme ako 4 ³ = 64. Tu, 4 ³ znamená, že číslo 4 sa samo násobí trikrát a skrátený tvar 4 ³ je exponenciálny výraz. Číslo 4 je základné číslo, zatiaľ čo číslo 3 je exponent a daný exponenciálny výraz čítame ako 4 umocnený na 3. V exponenciálnom výraze je základom faktor, ktorý sa opakovane násobí sám sebou, pričom exponent je počet výskytov faktora.

Definícia exponentov a mocnín

Ak sa číslo vynásobí samo sebou n-krát , výsledný výraz je známy ako n-tá mocnosť daného počtu. Medzi exponentom a mocninou je veľmi tenký rozdiel. Exponent je počet, koľkokrát bolo dané číslo vynásobené samo sebou, zatiaľ čo mocnina je hodnota súčinu základného čísla zvýšeného na exponent. Pomocou exponenciálneho tvaru čísel môžeme pohodlnejšie vyjadrovať extrémne veľké a malé čísla. Napríklad 1 000 000 000 možno vyjadriť ako 1 × 10 ⁸ a 0,0000000000013 možno vyjadriť ako 13 × 10 ^-13 . To uľahčuje čítanie čísel, pomáha udržiavať ich presnosť a tiež nám šetrí čas.

Pravidlá pre exponenty a mocniny

Pravidlá exponentov a mocnín vysvetľujú, ako sčítať, odčítať, násobiť a deliť exponenty, ako aj riešiť rôzne druhy matematických rovníc s exponentmi a mocninami.

Pravidlo 1: Produktový zákon exponentov

Podľa tohto zákona, keď sa násobia exponenty s rovnakými základmi, exponenty sa sčítajú.

Súčinový zákon exponentov: a ^m × a ⁿ =a ^(m+n)

Pravidlo 2: Podielové pravidlo exponentov

Podľa tohto zákona na rozdelenie dvoch exponentov s rovnakými základmi musíme exponenty odčítať.

Podielové pravidlo exponentov: a ^m /a ⁿ =a ^(m–n)

Pravidlo 3: Sila mocenského pravidla

Podľa tohto zákona, ak sa exponenciálne číslo zvýši na inú mocninu, mocniny sa vynásobia.

Mocnina mocninového pravidla: (a ^m ) ⁿ =a ^{(m × n)}

Pravidlo 4: Pravidlo sily produktu

Podľa tohto zákona musíme vynásobiť rôzne základy a zvýšiť rovnaký exponent na súčin základov.

Sila súčinového pravidla: a ^m × b ^m = (a × b) ^m .

Pravidlo 5: Sila kvocientového pravidla

Podľa tohto zákona musíme rozdeliť rôzne základy a zvýšiť rovnaký exponent na kvocient základov.

Mocnina kvocientového pravidla: a ^m ÷ b ^m =(a/b) ^m

Pravidlo 6: Pravidlo nulového exponentu

Podľa tohto zákona, ak je hodnota základu umocnená na nulu, je 1.

Pravidlo nulového exponentu: a ⁰ =1

Pravidlo 7: Pravidlo záporného exponentu

Podľa tohto zákona, ak je exponent záporný, potom sa exponent zmení na kladný tým, že sa vezme prevrátená hodnota exponenciálneho čísla.

Pravidlo záporného exponentu: a ^-m = 1/a ^m

Pravidlo 8: Pravidlo zlomkového exponentu

Podľa tohto zákona, keď máme zlomkový exponent, potom to vedie k radikálom.

Pravidlo zlomkového exponentu: a ^(1/n) = ⁿ √a

a ^(m/n) = ⁿ √a ^m

Čo znamená 10 na 4?

Riešenie:

Vypočítajme hodnotu 10 až 4. priemer, t.j. 10 ⁴

Vieme, že podľa mocenského pravidla exponentov,

a ^m = a × a × a… m krát

Môžeme teda napísať 10 ⁴ ako 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

preto

hodnota 10 zvýšená na 4, t.j. 10 ⁴ je 10 000.

Vzorové problémy

Úloha 1: Nájdite hodnotu 3 ⁶ .

Riešenie:

Daný výraz je 3 ⁶ .

Základ daného exponenciálneho výrazu je 3, zatiaľ čo exponent je 6, t.j. daný výraz sa číta tak, že 3 je umocnená na 6.

Takže rozšírením 3 ⁶ , dostaneme 3 ⁶ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Preto hodnota 3 ⁶ je 729.

Úloha 2: Určite exponent a mocninu výrazu (12) ⁵ .

Riešenie:

Daný výraz je 12 ⁵ .

Základ daného exponenciálneho výrazu je 12, zatiaľ čo exponent je 5, t.j. daný výraz sa číta tak, že 12 je umocnené na 5.

Problém 3: Vyhodnoťte (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ .

Riešenie:

Dané: (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷

Vieme, že a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

Takže, (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷ = (2/7) ^(-5+7)

= (2/7) ² = 4/49

Preto (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ = 4/49

Úloha 4: Nájdite hodnotu x v danom výraze: 5 ^3x-2 = 625.

Riešenie:

Dané, 5 ^3x-2 = 625.

5 ^3x-2 = 5 ⁴

Porovnaním exponentov podobného základu dostaneme

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Hodnota x je teda 2.

Úloha 5: Nájdite hodnotu k v danom výraze: (-2/3) ⁴ 23) ^{- pätnásť} = (23) ^{7 tisíc + 3}

Riešenie:

Vzhľadom na to,

(-23) ⁴ 23) ^{- pätnásť} = (23) ^{7 tisíc + 3}

23) ⁴ 23) ^{- pätnásť} = (23) ^{7 tisíc + 3} {Od (-x) ⁴ = x ⁴ }

Vieme, že a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

23) ^4-15 = (2/3)7k+3

23) ^{- jedenásť} = (23) ^{7 tisíc + 3}

Porovnaním exponentov podobného základu dostaneme

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Hodnota k je teda -2.