Jednotková kružnica je kružnica, ktorej polomer je 1. Stred jednotkovej kružnice je v počiatku (0,0) na osi. The obvod jednotkovej kružnice je 2π jednotiek, zatiaľ čo plocha jednotkovej kružnice je π jednotiek ² . Nesie všetky vlastnosti Circle. Jednotka Kruh má rovnicu x ² + a ² = 1. Tento jednotkový kruh pomáha pri definovaní rôznych trigonometrických konceptov.

Jednotkový kruh

Jednotkový kruh sa často označuje ako S ¹ zovšeobecnenie do vyšších dimenzií je jednotková sféra. Pozrime sa podrobnejšie na príklady Unit Circle, Vzorec a Solved.

Čo je Unit Circle?

Unit Circle je kruh, ktorý má polomer jednej (1) jednotky. Na kreslenie jednotkovej kružnice používame kartézsku rovinu a jednotková kružnica je 2-stupňový polynóm s dvoma premennými. Jednotkový kruh má rôzne aplikácie v trigonometrii a algebre a používa sa hlavne na nájdenie hodnôt rôznych trigonometrických pomerov, ako sú sin x, cos x, tan x a iné.

Definícia kruhu jednotky

V matematike definujeme jednotkový kruh ako miesto pevného bodu, ktorý je vo vzdialenosti jednej jednotky od stredu kruhu. Jednotková kružnica má polomer jednej jednotky a preto názov jednotková kružnica.

Rovnica jednotkového kruhu

Vieme, že rovnica každého kruhu so stredom (h, k) a polomerom „r“ je,

(x – h) ² + (y – k) ² = r ²

Pre jednotkový kruh vieme, že r je 1 jednotka, takže rovnica jednotkového kruhu je,

(x – h) ² + (y – k) ² = 1

Vzorec jednotkového kruhu

Ak je stred jednotkovej kružnice počiatkom, t.j. (h, k) = (0, 0), potom rovnica jednotkovej kružnice je,

X ² + a ² = 1

Na obrázku nižšie je znázornený jednotkový kruh so stredovými súradnicami h, k a keď je kruh na začiatku, hodnota h a k je nula a polomer AP sa rovná 1 jednotke.

Goniometrické funkcie využívajúce jednotkový kruh

Aplikácia Pythagorovej vety v jednotkovej kružnici sa dá lepšie využiť na pochopenie goniometrických funkcií. Na tento účel považujeme pravouhlý trojuholník za umiestnený vo vnútri jednotkovej kružnice v karteziánskej súradnicovej rovine. Ak si všimneme, polomer tejto kružnice označuje preponu pravouhlého trojuholníka.

Polomer kruhu tvorí vektor. To vedie k vytvoreniu uhla, povedzme θ, s kladnou osou x. Predpokladajme, že x je základná dĺžka a y je nadmorská dĺžka pravouhlého trojuholníka. Súradnice koncových bodov polomerového vektora sú tiež (x, y).

Pravouhlý trojuholník obsahuje strany 1, x a y. Trigonometrický pomer možno teraz vypočítať takto:

sin θ = Nadmorská výška/Hypotenúza = y/1

cos θ = báza/hypotenza = x/1

teraz

• sin θ = y
• cos θ = x
• tan θ = sin θ /cos θ = y/x

Dosadením hodnôt θ môžeme získať hlavné hodnoty všetkých goniometrických funkcií. Podobne sa nachádzajú hodnoty goniometrických funkcií pri rôznych hodnotách.

Unit Circle s Sin Cos a Tan

Akýkoľvek bod na jednotkovej kružnici so súradnicami (x, y) je reprezentovaný pomocou goniometrických identít ako, (cosθ, sinθ). Súradnice rohov polomeru predstavujú kosínus a sínus hodnôt θ pre konkrétnu hodnotu θ a priamku polomeru. Máme cos θ = x a sin θ = y. Existujú štyri časti kruhu, z ktorých každá leží v jednom kvadrante a zviera uhol 90°, 180°, 270° a 360°. Hodnoty polomeru ležia medzi -1 až 1. Hodnoty sin θ a cos θ sú tiež medzi 1 a -1.

Jednotkový kruh a goniometrické identity

Trigonometrické identity jednotkového kruhu pre kotangens, sekans a kosekans možno vypočítať pomocou identít pre sin, cos a tan. Nakoniec dostaneme pravouhlý trojuholník so stranami 1, x a y. Výpočet identít jednotkového kruhu možno vyjadriť ako,

• sin θ = y/1
• cos θ = x/1
• tan θ = y/x
• sek. 0 = 1/x
• cosec 6 = 1/r
• detská postieľka θ = x/y

Jednotkový kruhový graf

Jednotkový kruhový graf je graf, ktorý obsahuje hodnotu trigonometrickej funkcie sínus a kosínus pre rôzne uhly. Jednotkový kruhový graf pre to isté je pridaný nižšie,

Unit Circle Table

Trigonometrické pomery použité v tabuľke jednotkových kružníc sa používajú na zoznam súradníc bodov na jednotkovej kružnici, ktoré zodpovedajú spoločným uhlom.

Jednotkový kruh Pytagorejské identity

Existujú tri pytagorejské identity a všetky sa dajú ľahko dokázať pomocou konceptu jednotkového kruhu, ktorým sú tri pytagorejské identity,

• bez ² θ + cos ² θ = 1
• 1 + tak ² θ = sek ² i
• 1 + detská postieľka ² θ = kosec ² i

Jednotka Kruhová Komplexná Rovina

Komplexné čísla a komplexná rovina sa dajú ľahko vysvetliť pomocou konceptu jednotkového kruhu. Rovnica jednotkového kruhu v komplexnom tvare je,

|z| = 1

ALEBO

X ² + a ² = 1

V Eulerovom tvare je komplexné číslo reprezentované ako,

z = e ^to = náklady t + i (sin t)

Čítaj viac

• Trigonometrická tabuľka
• Trigonometrické identity
• Inverzné goniometrické identity

Vyriešené príklady na Unit Circle

Q1: Dokážte, že bod Q leží na jednotkovej kružnici, Q = [1/√(6), √4/√6]

Riešenie:

Vzhľadom na to,

• Q = [1/√(6), √4/√6]

x = 1/√(6), y = √4/√6

Rovnica jednotkového kruhu je,

X ² + a ² = 1

LHS = (1/√(6)) ² + (√4/√6) ²

LHS = 1/6 + 4/6 = 5/6 ≠ 1

LHS ≠ RHS

Bod Q[1/√(6), √4/√6] teda neleží na jednotkovej kružnici.

Q2: Vypočítajte tak 30 ^O pomocou hodnôt sin a cos jednotkového kruhu.

Riešenie:

opálenie 30° s použitím hodnôt sin a cos,

opálenie 30° = (sin 30°)/ (cos 30°)

• bez 30° = 1/2
• cos 30° = √(3)/2

opálenie 30° = 1/2/√(3)/2

opálenie 30° = 1/√(3)

Q3: Overte, či bod P [1/2, √(3)/2] leží na jednotkovej kružnici.

Riešenie:

Vzhľadom na to,

P = [1/2, √(3)/2]

• x = 1/2
• y = √(3)/2

Rovnica jednotkového kruhu je,

• X ² + a ² = 1

LHS

= (1/2) ² + (√(3)/2) ²

= 1/4 + 3/4

= (1 + 3)/4 = 4/4

= 1

= RHS

Cvičné otázky na Unit Circle

Q1. Kontrola Ak body A (1/2, 3/2) ležia na jednotkovej kružnici.

Q2. Kontrola Ak body A (2, 1/2) ležia na jednotkovej kružnici.

Q3. Nájdite hodnotu cos 240°

Q4. Nájdite hodnotu tan 320°

Q5. Nájdite hodnotu hriechu 160°

Unit Circle – FAQ

Čo je Unit Circle?

Jednotková kružnica je definovaná ako umiestnenie bodu vo vzdialenosti jednej jednotky od pevného bodu. Má stred v (0,0) a hodnota jeho polomeru je 1.

Ako skontrolovať, či bod leží na kruhu jednotky?

Akýkoľvek bod ležiaci v 2D rovine, ktorý má tvar (x, y), je vložený do jednotkovej kružnicovej rovnice x ² + a ² = 1 na overenie, či leží na kruhu alebo nie.

Aký je vzorec Unit Circle?

Vzorec jednotkového kruhu je vzorec, ktorý sa používa na algebraické znázornenie jednotkového kruhu. Vzorec jednotkového kruhu je daný ako,

X ² + a ² = 1

Prečo sa nazýva Unit Circle?

Jednotková kružnica sa nazýva jednotková kružnica, pretože má polomer jednej (1) jednotiek.