Newton Raphsonova metóda
Newton Raphsonova metóda alebo Newtonova metóda je výkonná technika na numerické riešenie rovníc. Najčastejšie sa používa na aproximáciu koreňov funkcií s reálnou hodnotou. Metódu Newton Rapson vyvinuli Isaac Newton a Joseph Raphson, odtiaľ názov Newton Rapson Method.
Metóda Newton Raphson zahŕňa iteratívne spresňovanie počiatočného odhadu, aby sa priblížil k požadovanému koreňu. Táto metóda však nie je efektívna na výpočet koreňov polynómov alebo rovníc s vyššími stupňami, ale v prípade rovníc malého stupňa táto metóda poskytuje veľmi rýchle výsledky. V tomto článku sa dozvieme o Newton Raphsonovej metóde a krokoch na výpočet koreňov pomocou tejto metódy.
Obsah
- Čo je Newton Raphsonova metóda?
- Vzorec metódy Newton Raphson
- Výpočet Newton Raphsonovej metódy
- Príklad Newton Raphsonovej metódy
- Vyriešené problémy Newton Raphsonovej metódy
Čo je Newton Raphsonova metóda?
Newton-Raphsonova metóda, ktorá je známa aj ako Newtonova metóda, je iteratívna numerická metóda používaná na nájdenie koreňov funkcie skutočnej hodnoty. Tento vzorec je pomenovaný po Sirovi Isaacovi Newtonovi a Josephovi Raphsonovi, keďže nezávisle prispeli k jeho vývoju. Newton Raphsonova metóda alebo Newtonova metóda je algoritmus na aproximáciu koreňov núl funkcií s reálnou hodnotou pomocou odhadu pre prvú iteráciu (x 0 ) a potom aproximáciou ďalšej iterácie (x 1 ), ktorý je blízko koreňov, pomocou nasledujúceho vzorca.
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
kde,
- X 0 je počiatočná hodnota x,
- f(x 0 ) je hodnota rovnice pri počiatočnej hodnote a
- f'(x 0 ) je hodnota derivácie prvého rádu rovnice alebo funkcie na počiatočnej hodnote x 0.
Poznámka: f'(x 0 ) by nemala byť nula, inak sa zlomková časť vzorca zmení na nekonečno, čo znamená, že f(x) by nemala byť konštantná funkcia.
Vzorec metódy Newton Raphson
Vo všeobecnej forme je vzorec Newton-Raphsonovej metódy napísaný takto:
X n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )
Kde,
- X n-1 je odhadovaný (n-1) th koreň funkcie,
- f(x n-1 ) je hodnota rovnice pri (n-1) th odhadovaný koreň a
- f'(x n-1 ) je hodnota derivácie prvého rádu rovnice alebo funkcie v x n-1 .
Výpočet Newton Raphsonovej metódy
Predpokladajme rovnicu alebo funkcie, ktorých korene sa majú vypočítať ako f(x) = 0.
Na preukázanie platnosti Newton Raphsonovej metódy sa postupuje podľa nasledujúcich krokov:
Krok 1: Nakreslite graf f(x) pre rôzne hodnoty x, ako je uvedené nižšie:
Krok 2: K f(x) na x je nakreslená dotyčnica 0 . Toto je počiatočná hodnota.
Krok 3: Táto dotyčnica pretína os X v určitom pevnom bode (x 1 ,0) ak prvá derivácia f(x) nie je nula, t.j. f'(x 0 ) ≠ 0.
Krok 4: Keďže táto metóda predpokladá iteráciu koreňov, toto x 1 sa považuje za ďalšie priblíženie koreňa.
Krok 5: Teraz sa opakujú kroky 2 až 4, kým nedosiahneme skutočný koreň x * .
Teraz vieme, že rovnica priesečníka sklonu ľubovoľnej priamky je reprezentovaná ako y = mx + c,
Kde m je sklon čiary a c je priesečník x čiary.
Pomocou rovnakého vzorca dostaneme
y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )
Tu f(x 0 ) predstavuje c a f'(x 0 ) predstavuje sklon dotyčnice m. Keďže táto rovnica platí pre každú hodnotu x, musí platiť aj pre x 1 . Teda nahradením x x 1 , a rovnanie rovnice nule, pretože potrebujeme vypočítať korene, dostaneme:
0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (X 1 − x 0 )
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
Čo je vzorec Newton Raphsonovej metódy.
Metóda Newtona Raphsona bola teda matematicky dokázaná a akceptovaná ako platná.
Konvergencia Newton Raphsonovej metódy
Newton-Raphsonova metóda má tendenciu konvergovať, ak platí nasledujúca podmienka:
|f(x).f(x)| <|f'(x)| 2
Znamená to, že metóda konverguje, keď modul súčinu hodnoty funkcie v bode x a druhej derivácie funkcie v bode x je menší ako druhá mocnina moduluo prvej derivácie funkcie v bode x. Newton-Raphsonova metóda má konvergenciu rádu 2, čo znamená, že má kvadratickú konvergenciu.
Poznámka:
Newton Raphsonova metóda nie je platná, ak je prvá derivácia funkcie 0, čo znamená f'(x) = 0. Je to možné len vtedy, keď je daná funkcia konštantnou funkciou.
Články súvisiace s metódou Newton Raphson:
- Newtonova metóda hľadania koreňov
- Rozdiel medzi metódou Newton Raphson a pravidelnou Falsi metódou
- Rozdiel medzi metódou bisekcie a metódou Newton Raphson
- Algoritmus hľadania koreňov
Príklad Newton Raphsonovej metódy
Pozrime sa na nasledujúci príklad, aby sme sa dozvedeli viac o procese hľadania koreňa funkcie skutočnej hodnoty.
Príklad: Pre počiatočnú hodnotu x 0 = 3, priblížte koreň z f(x)=x 3 +3x+1.
Riešenie:
Vzhľadom k tomu, x 0 = 3 a f(x) = x 3 +3x+1
f'(x) = 3x 2 +3
f'(x 0 ) = 3(9) + 3 = 30
f(x 0 ) = f(3) = 27 + 3 (3) + 1 = 37
Pomocou metódy Newton Raphson:
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
= 3 – 37/30
= 1,767
Vyriešené problémy Newton Raphsonovej metódy
Problém 1: Pre počiatočnú hodnotu x 0 = 1, priblížte koreň z f(x)=x 2 −5x+1.
Riešenie:
Vzhľadom k tomu, x 0 = 1 a f(x) = x 2 -5x+1
f'(x) = 2x-5
f'(x 0 ) = 2 – 5 = -3
f(x 0 ) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3
Pomocou metódy Newton Raphson:
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 1 – (-3)/-3
⇒ x 1 = 1-1
⇒ x 1 = 0
Úloha 2: Pre počiatočnú hodnotu x 0 = 2, priblížte koreň z f(x)=x 3 −6x+1.
Riešenie:
Vzhľadom k tomu, x 0 = 2 a f(x) = x 3 -6x+1
f'(x) = 3x 2 – 6
f'(x 0 ) = 3(4) – 6 = 6
f(x 0 ) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3
Pomocou metódy Newton Raphson:
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 2 – (-3)/6
⇒ x 1 = 2 + 1/2
⇒ x 1 = 5/2 = 2,5
Úloha 3: Pre počiatočnú hodnotu x 0 = 3, priblížte koreň z f(x)=x 2 −3.
Riešenie:
Vzhľadom k tomu, x 0 = 3 a f(x) = x 2 -3
f'(x) = 2x
f'(x 0 ) = 6
f(x 0 ) = f(3) = 9 – 3 = 6
Pomocou metódy Newton Raphson:
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 3 – 6/6
⇒ x 1 = 2
Úloha 4: Nájdite koreň rovnice f(x) = x 3 – 3 = 0, ak je počiatočná hodnota 2.
Riešenie:
Dané x 0 = 2 a f(x) = x 3 - 3
f'(x) = 3x 2
f'(x 0 = 2) = 3 × 4 = 12
f(x 0 ) = 8 – 3 = 5
Pomocou metódy Newton Raphson:
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 2 – 5/12
⇒ x 1 = 1 583
Znovu použite metódu Newton Raphson:
X 2 = 1,4544
X 3 = 1,4424
X 4 = 1,4422
Preto je koreň rovnice približne x = 1,442.
Úloha 5: Nájdite koreň rovnice f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, ak je počiatočná hodnota 3.
Riešenie:
Dané x 0 = 3 a f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0
f'(x) = 3x 2 - 5
f'(x 0 = 3) = 3 × 9 – 5 = 22
f(x 0 = 3) = 27 – 15 + 3 = 15
Pomocou metódy Newton Raphson:
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 3 – 15/22
⇒ x 1 = 2,3181
Znovu použite metódu Newton Raphson:
X 2 = 1,9705
X 3 = 1,8504
X 4 = 1,8345
X 5 = 1,8342
Preto je koreň rovnice približne x = 1,834.
Časté otázky o metóde Newton Raphson
Q1: Definujte metódu Newton Raphson.
odpoveď:
Newton Raphsonova metóda je numerická metóda na aproximáciu koreňov akejkoľvek danej funkcie s reálnou hodnotou. V tejto metóde sme použili rôzne iterácie na aproximáciu koreňov a čím vyšší počet iterácií, tým menšia chyba v hodnote vypočítaného koreňa.
Otázka 2: Aká je výhoda metódy Newton Raphson?
odpoveď:
Newton Raphsonova metóda má tú výhodu, že nám umožňuje veľmi efektívne a rýchlo odhadnúť korene rovnice s malým stupňom.
Otázka 3: Aká je nevýhoda metódy Newton Raphson?
odpoveď:
Nevýhodou Newton Raphsonovej metódy je, že má tendenciu stať sa veľmi zložitou, keď sa stupeň polynómu stane veľmi veľkým.
Otázka 4: Uveďte akúkoľvek reálnu aplikáciu Newton Raphsonovej metódy.
odpoveď:
Metóda Newton Raphson sa používa na analýzu prietoku vody vo vodovodných rozvodných sieťach v reálnom živote.
Otázka 5: Na ktorej teórii je založená Newton-Raphsonova metóda?
odpoveď:
Newton Raphsonova metóda je založená na teórii počtu a dotyčnice ku krivke.
