Integrácia goniometrických funkcií
integrácia je proces sčítania malých hodnôt funkcie v oblasti limitov. Je to pravý opak diferenciácie. Integrácia je známa aj ako anti-deriváta. V tomto článku nižšie sme vysvetlili integráciu goniometrických funkcií.
Nižšie je uvedený príklad integrácie danej funkcie.
napr. Uvažujme funkciu, f(y) = y 2 .
Táto funkcia môže byť integrovaná ako:
∫y 2 ty =
frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C
Avšak, an neurčitý integrál je funkcia, ktorá preberá anti-deriváciu inej funkcie. Je reprezentovaný ako integrálny symbol (∫), funkcia a derivácia funkcie na konci. Neurčitý integrál je jednoduchší spôsob, ako symbolizovať anti-derivát.
Poďme sa naučiť, čo je integrácia matematicky, integrácia funkcie f(x) je daná F(x) a je reprezentovaná:
∫f(x)dx = F(x) + C
Tu R.H.S. rovnice znamená integrál f(x) vzhľadom na x, F(x) sa nazýva anti-derivačný alebo primitívny, f(x) sa nazýva integrand, dx sa nazýva integračný činiteľ, C sa nazýva integračná konštanta alebo ľubovoľná konštanta a x je premenná integrácie.
Niektoré dôležité integrály goniometrických funkcií
Nasleduje zoznam niektorých dôležitých vzorcov neurčitých integrálov na základe goniometrické funkcie treba pamätať takto:
- ∫ sin x dx = -cos x + C
- ∫ cos x dx = hriech x + C
- ∫ sek 2 x dx = tan x + C
- ∫ kosec 2 x dx = - detská postieľka x + C
- ∫ sek x tan x dx = sek x + C
- ∫ cosec x postieľka x dx = -cosec x + C
- ∫ tan x dx = ln | sek x | +C
- ∫ detská postieľka x dx = ln | hriech x | + C
- ∫ sek x dx = ln | sek x + tan x | + C
- ∫ cosec x dx = ln | cosec x – detská postieľka x | + C
Kde dx je derivácia x, C je integračná konštanta a ln predstavuje logaritmus funkcie vo vnútri modulu (| |).
Vo všeobecnosti sa úlohy neurčitých integrálov na základe goniometrických funkcií riešia substitučnou metódou. Poďme teda diskutovať viac o integrácii substitučnou metódou takto:
Integrácia substitúciou
Pri tejto metóde integrácia substitúciou , ktorýkoľvek daný integrál sa transformuje na jednoduchú formu integrálu nahradením nezávislej premennej inými. Pozrime sa na príklad pre lepšie pochopenie.
Príklad: Zjednodušte ∫ 3x 2 hriech (x 3 ) dx.
odpoveď:
Nech I = ∫ 3x 2 hriech (x 3 ) dx.
Aby sme vyhodnotili daný integrál, nahraďme akúkoľvek premennú novou premennou ako:
Nech x 3 byť t pre daný integrál.
Potom dt = 3x 2 dx
preto
I = ∫ 3x 2 hriech (x 3 ) dx = ∫ sin (x 3 ) (3x 2 dx)
Teraz nahraďte t za x 3 a dt pre 3x 2 dx vo vyššie uvedenom integráli.
I = ∫ sin (t) (dt)
Ako ∫ sin x dx = -cos x + C, teda
I = -cos t + C
Opäť dosaďte späť x 3 pre t vo výraze ako:
I = ∫ 3x 2 hriech (x 3 ) dx = -cos x 3 + C
Čo je požadovaný integrál.
Všeobecná forma integrácie substitúciou je teda:
∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx
kde t = g(x)
Metóda integrácie substitúciou je zvyčajne mimoriadne užitočná, keď vykonáme substitúciu za funkciu, ktorej derivácia je tiež prítomná v integrande. Tým sa funkcia zjednoduší a potom možno použiť základné vzorce integrácie na integráciu funkcie.
V kalkule je integrácia substitučnou metódou známa aj ako pravidlo reverzného reťazca alebo U-substitučná metóda. Túto metódu môžeme použiť na nájdenie integrálnej hodnoty, keď je nastavená v špeciálnom formulári. To znamená, že daný integrál má tvar:
Čítaj viac,
- Počet v matematike
- Integrály
- Integrálny počet
- Diferenciácia spúšťacích funkcií
- Goniometrické rovnice
Vzorové úlohy integrácie goniometrických funkcií
Úloha 1: Určte integrál nasledujúcej funkcie: f(x) = cos 3 X.
Riešenie:
Uvažujme integrál danej funkcie ako,
I = ∫ cos 3 x dx
Dá sa prepísať ako:
I = ∫ (cos x) (cos 2 x) dx
Používanie identity trigonometrie; cos 2 x = 1 – hriech 2 x, dostaneme
I = ∫ (cos x) (1 – hriech 2 x) dx
⇒ I = ∫ cos x – cos x sin 2 x dx
⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin 2 x dx
Ako ∫ cos x dx = sin x + C,
Teda I = hriech x – ∫ hriech 2 x cos x dx . . . (1)
Nech, hriech x = t
⇒ cos x dx = dt.
Dosaďte t za sin x a dt za cos x dx v druhom člene vyššie uvedeného integrálu.
I = hriech x – ∫ t 2 dt
⇒ I = hriech x – t 3 /3 + C
Opäť dosaďte vo výraze späť sin x za t.
Preto ∫ cos 3 x dx = hriech x – hriech 3 x / 3 + C.
Úloha 2: Ak f(x) = sin 2 (x) cos 3 (x) potom určte ∫ sin 2 (x) cos 3 (x) dx.
Riešenie:
Uvažujme integrál danej funkcie ako,
I = ∫sin 2 (x) cos 3 (x) dx
Používanie identity trigonometrie; cos 2 x = 1 – hriech 2 x, dostaneme
I = ∫sin 2 x (1 – hriech 2 x) čos x dx
Nech teda hriech x = t,
⇒ dt = cos x dx
Nahraďte ich do vyššie uvedeného integrálu ako,
I = ∫ t 2 (1 – t 2 ) dt
⇒ I = ∫ t 2 – t 4 dt
⇒ I = t 3 / 3 – t 5 / 5 + C
Dosaďte späť hodnotu t vo vyššie uvedenom integráli ako,
Preto ja = hriech 3 x / 3 – bez 5 x / 5 + C.
Úloha 3: Nech f(x) = sin 4 (x) potom nájdite ∫ f(x)dx. teda ∫ hriech 4 (x) dx.
Riešenie:
Uvažujme integrál danej funkcie ako,
I = ∫sin 4 (x) dx
⇒ I = ∫ (bez 2 (X)) 2 dx
Používanie identity trigonometrie; hriech 2 (x) = (1 – cos (2x)) / 2, dostaneme
I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2} 2 dx
⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos 2 (2x)- 2 cos2x) dx
⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos 2 (2x) dx – 2 ∫ cos2x dx
⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]
⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + hriech 4x / 8 – hriech 2x ] + C
⇒ I = 3x / 8 + hriech 4x / 32 – hriech 2x / 4 + C
Preto ∫ hriech 4 (x) dx = 3x / 8 + hriech 4x / 32 – hriech 2x / 4 + C
Problém 4: Nájdite integráciu
Riešenie:
Uvažujme integrál danej funkcie ako,
I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx Nech t = tan -1 X . . . (1)
Teraz rozlišujte obe strany vzhľadom na x:
dt = 1/ (1+x 2 ) dx
Daný integrál teda bude:
I = ∫ e t dt
⇒ I = e t + C . . . (2)
Nahraďte hodnotu (1) v (2) takto:
⇒
I = e^{tan^{-1}x} + C Čo je požadovaná integrácia pre danú funkciu.
Úloha 5: Nájdite integrál funkcie f (x) definovanej ako,
f(x) = 2x cos (x 2 – 5) dx
Riešenie:
Uvažujme integrál danej funkcie ako,
I = ∫ 2x cos (x 2 – 5) dx
Nechajte (x 2 – 5) = t . . . (1)
Teraz rozlišujte obe strany vzhľadom na x ako,
2x dx = dt
Nahradením týchto hodnôt do vyššie uvedeného integrálu,
I = ∫ cos (t) dt
⇒ I = sin t + C . . . (2)
Dosaďte hodnotovú rovnicu (1) do rovnice (2) takto:
⇒ I = hriech (x 2 – 5) + C
Toto je potrebná integrácia pre danú funkciu.
Úloha 6: Určte hodnotu daného neurčitého integrálu, I = ∫ cot (3x +5) dx.
Riešenie:
Daný integrál možno zapísať ako,
I = ∫ postieľka (3x +5) dx
⇒ I = ∫ cos (3x +5) / hriech (3x +5) dx
Nech, t = hriech (3x + 5)
⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx
⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3
teda
I = ∫ dt / 3 sin t
⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C
Nahraďte t sin (3x+5) vo vyššie uvedenom výraze.
I = (1 / 3) ln | hriech (3x+5) | + C
Toto je potrebná integrácia pre danú funkciu.
Integrácia goniometrických funkcií – často kladené otázky
Čo je integrácia goniometrickej funkcie?
Integrácia goniometrických funkcií, ako naznačuje názov, je proces výpočtu integrácie alebo primitívnej derivácie goniometrických funkcií. Ide o opačný proces diferenciácie goniometrických funkcií.
Čo sú základné goniometrické funkcie?
Základné goniometrické funkcie sú:
- sínus (bez),
- kosínus (cos),
- dotyčnica (tangen),
- kotangens (lakť),
- secans (sec) a
- kosekant (csc).
Ako integrujete funkcie sínus (hriech) a kosínus (cos)?
Na integráciu funkcií sínus a kosínus môžeme použiť nasledujúce vzorce:
- ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
- ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
Kde C je integračná konštanta.
Aká je integrácia tangentovej (tan) goniometrickej funkcie?
Integrál funkcie dotyčnice je daný takto:
∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C
Kde,
- ln predstavuje prirodzený logaritmus a
- C je integračná konštanta.
Ako nájsť integrál sekantovej (sec) goniometrickej funkcie?
Integrál funkcie sekansu je daný ako:
∫ sek(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
Kde,
- ln predstavuje prirodzený logaritmus a
- C je integračná konštanta.
Čo je integrácia kotangens (cot) trigonometrickej funkcie?
Integrál funkcie kotangens možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
∫ detská postieľka(x) dx = ln|sin(x)| + C
Kde,
- ln predstavuje prirodzený logaritmus a
- C je integračná konštanta.
Ako nájsť integrál funkcie Cosecant (cosec)?
Integrál funkcie kosekans je daný ako:
∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – detská postieľka x | + C
Kde,
- ln predstavuje prirodzený logaritmus a
- C je integračná konštanta.
