Trekanter er tresidige lukkede polygoner dannet av skjæringspunktet mellom tre linjer. Det møter man mye i hverdagen. Det er en av de grunnleggende formene for geometri. Den har tre sider, tre vinkler og tre hjørner. En rettvinklet trekant er en hvor en av vinklene alltid er lik 90°. Pythagoras teorem er utledet for rettvinklede trekanter, Som sier at kvadratet på hypotenusen (den lengste siden) er lik summen av kvadratene av grunnflate og perpendikulær.

Gitt lengden på minst to sider av en rettvinklet trekant, kan vi finne verdien av enhver vinkel i den rettvinklede trekanten. For dette bruker vi forskjellige trigonometriske funksjoner som sinus, cosinus, tangens, cotangens, sek og cosec. Disse hjelper oss å relatere vinklene til en rettvinklet trekant med sidene.

Egenskaper

• Det er et rettvinklet toppunkt blant de tre toppunktene
• Siden motsatt av det rettvinklede toppunktet kalles hypotenusen .
• Lengden på sidene følger Pythagoras teoremet, som sier

hypotenusen ² = base ² + høyde ²

• Hypotenusen er den lengste siden av en rettvinklet trekant.
• De andre vinklene enn den rette vinkelen er spisse vinkler siden verdien er mindre enn 90 ^O

Trigonometriske funksjoner

ABC er en rettvinklet trekant med ∠B som rett vinkel

• cosθ: Dette gir forholdet mellom basen ved hypotenusen til en rettvinklet trekant.

cosθ = base / hypotenusa

• sinθ: Dette gir forholdet mellom høyde ved hypotenusen til en rettvinklet trekant.

sinθ = høyde / hypotenusa

• tanθ: Det er forholdet mellom høyde med bunnen av en rettvinklet trekant.

tanθ = høyde / base

• barnesengθ: Det er det motsatte av tanθ
• sekθ: Det er inversen av cosθ
• cosecθ: Det er det motsatte av sinθ

For å finne vinklene til en rettvinklet trekant, kan vi ta den trigonometriske inversen av forholdet mellom gitte sider i trekanten.

Eksempel:

Hvis sinθ = x, kan vi skrive

θ = synd ^-1 x.

Dette returnerer vinkelen der sinusverdien til vinkelen er x.

På samme måte finnes det cos ^-1 θ, altså ^-1 jeg, barneseng ^-1 θ, sek ^-1 θ, og cosec ^-1 Jeg

Prøveproblemer

Spørsmål 1. Gitt en rettvinklet trekant, med grunnflaten lik 10 cm og hypotenusen lik 20 cm. Finn verdien av grunnvinkelen.

Løsning:

Gitt, bunn = 10 cm

Hypotenus = 20 cm

La verdien av grunnvinkelen være θ. Vi kan skrive

cosθ = base / hypotenusa = 10/20 = 1/2

θ = cos ^-1 (1/2) = 60 ^O

Dermed er verdien av grunnvinkelen 60 ^O .

Spørsmål 2. Finn verdien av vinklene til en rettvinklet trekant, gitt at en av de spisse vinklene er det dobbelte av den andre.

Løsning:

Siden vi vet at summen av alle de tre vinklene i en trekant er 180 ^O .

Siden en av vinklene er 90 ^O og en av de spisse vinklene er det dobbelte av den andre, kan vi betrakte dem som θ og 2θ.

Så vi kan skrive

90 ^O + θ + 2θ = 180 ^O

3θ = 180 ^O – 90 ^O

3θ = 90 ^O

θ = 90 ^O /3 = 30 ^O

2θ = 2 × 30 ^O = 60 ^O

Så vinklene er 30 ^O , 60 ^O , og 90 ^O .

Spørsmål 3. Finn verdien av høydevinkelen til en stige med lengde 5m, gitt at bunnen av stigen er i en avstand på 3m fra veggen.

Løsning:

Siden stigen fungerer som en hypotenus av en rettvinklet trekant og grunnavstanden er lik 3m, kan vi skrive

Hypotenus = 5m

Base = 3m

La høydevinkelen være θ. Så vi kan skrive

cosθ = Base / Hypotenuse = 3/5

θ = cos ^-1 (3/5)

θ = 53 ^O

Dermed er verdien av høydevinkelen 53 ^O .

Spørsmål 4. Finn verdien av hypotenusen, gitt lengden på høyden er 8m og grunnvinkelen er lik 30 ^O .

Løsning:

Gitt er grunnvinkelen lik 30 ^O og høyde er lik 8m, kan vi bruke sinusfunksjonen for å finne lengden på hypotenusen.

synd30 ^O = høyde / hypotenusa

hypotenuse = høyde / sin30 ^O

Siden verdien av sin30 ^O er lik 1/2, kan vi skrive

hypotenuse = høyde / (1/2) = 2 × høyde

Dermed er hypotenusen = 2 × 8 = 16m

Dermed er lengden på hypotenusen lik 16m.