Propositielogica is een tak van de wiskunde die de logische relaties bestudeert tussen proposities (of uitspraken, zinnen, beweringen) als geheel genomen en verbonden via logische verbindingen.

In dit artikel hebben we uitgebreid ingegaan op propositielogica en aanverwante onderwerpen.

Inhoudsopgave

• Wat is logica?
• Propositionele Logica
• Waarheidstabel
• 1. Negatie
• 2. Conjunctie
• 3. Disjunctie
• 4. Exclusief Or
• 5. Implicatie
• 6. Bivoorwaardelijke of dubbele implicatie

Wat is logica?

Logica is de basis van alle wiskundige redeneringen en alle geautomatiseerde redeneringen. De regels van de logica specificeren de betekenis van wiskundige uitspraken. Deze regels helpen ons uitspraken te begrijpen en te redeneren als:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Wat in eenvoudig Engels betekent Er bestaat een geheel getal dat niet de som is van twee kwadraten .

Belang van wiskundige logica

De regels van de logica geven precieze betekenis aan wiskundige uitspraken. Deze regels worden gebruikt om onderscheid te maken tussen geldige en ongeldige wiskundige argumenten. Afgezien van het belang ervan voor het begrijpen van wiskundig redeneren, heeft logica talloze toepassingen in de informatica, variërend van het ontwerp van digitale schakelingen tot de constructie van computerprogramma's en de verificatie van de juistheid van programma's.

Propositionele Logica

Wat is een voorstel? Een propositie is de fundamentele bouwsteen van logica. Het wordt gedefinieerd als een declaratieve zin die waar of onwaar is, maar niet beide. De Waarheidswaarde van een propositie is Waar (aangeduid als T) als het een ware bewering is, en Onwaar (aangeduid als F) als het een valse bewering is. Bijvoorbeeld,

1. De zon komt op in het oosten en gaat onder in het westen.
2. 1 + 1 = 2
3. ‘b’ is een klinker.

Alle bovenstaande zinnen zijn stellingen, waarbij de eerste twee Geldig(Waar) zijn en de derde Ongeldig(Onwaar). Sommige zinnen die geen waarheidswaarde hebben of mogelijk meer dan één waarheidswaarde hebben, zijn geen proposities. Bijvoorbeeld,

1. Hoe laat is het?
2. Ga naar buiten en speel
3. X+1=2

De bovenstaande zinnen zijn geen stellingen, aangezien de eerste twee geen waarheidswaarde hebben en de derde waar of onwaar kan zijn. Om stellingen weer te geven, propositionele variabelen worden gebruikt. Volgens afspraak worden deze variabelen weergegeven door kleine alfabetten zoals p,:q,:r,:s . Het gebied van de logica dat zich bezighoudt met proposities wordt genoemd propositionele berekening of propositionele logica . Het omvat ook het maken van nieuwe proposities op basis van bestaande proposities. Proposities die zijn geconstrueerd met behulp van een of meer proposities worden genoemd samengestelde stellingen . De stellingen worden met elkaar gecombineerd Logische verbindingen of Logische operatoren .

Propositionele Logica

Waarheidstabel

Omdat we de waarheidswaarde van een propositie in alle mogelijke scenario's moeten kennen, beschouwen we alle mogelijke combinaties van de proposities die door Logical Connectives worden samengevoegd om de gegeven samengestelde propositie te vormen. Deze compilatie van alle mogelijke scenario's in tabelvorm wordt a waarheidstabel . Meest voorkomende logische verbindingen-

1. Negatie

Als p is een propositie, dan is de ontkenning van p wordt aangeduid met eg p , wat, wanneer vertaald naar eenvoudig Engels, betekent: dat is niet het geval P of gewoon niet P . De waarheidswaarde van -P is het tegenovergestelde van de waarheidswaarde van P . De waarheidstabel van -P is:

Voorbeeld, Ontkenning van Het regent vandaag, het is niet zo dat het vandaag regent, of het regent gewoon niet vandaag.

2. Conjunctie

Voor twee willekeurige stellingen p En q , hun conjunctie wordt aangegeven met pwedge q , wat betekent p En q . De conjunctie pwedge q is waar als beide p En q zijn waar, anders onwaar. De waarheidstabel van pwedge q is:

Voorbeeld, Conjunctie van de stellingen p – Vandaag is het vrijdag en q - Het regent vandaag, pwedge q is Vandaag is het vrijdag en het regent vandaag. Deze stelling geldt alleen op regenachtige vrijdagen en is onwaar op elke andere regenachtige dag of op vrijdag als het niet regent.

3. Disjunctie

Voor twee willekeurige stellingen p En q , wordt hun disjunctie aangegeven met pvee q , wat betekent p of q . De disjunctie pvee q is waar wanneer een van beide p of q is waar, anders onwaar. De waarheidstabel van pvee q is:

Voorbeeld, Disjunctie van de stellingen p – Vandaag is het vrijdag en q - Het regent vandaag, pvee q is Vandaag is het vrijdag of het regent vandaag. Deze stelling is waar op elke dag die een vrijdag of een regenachtige dag is (inclusief regenachtige vrijdagen) en is onjuist op elke andere dag dan vrijdag wanneer het ook niet regent.

4. Exclusief Or

Voor twee willekeurige stellingen p En q , hun exclusieve of wordt aangegeven met poplus q , wat een van beide betekent p of q maar niet allebei. De exclusieve of poplus q is waar wanneer een van beide p of q is waar en onwaar als beide waar zijn of beide onwaar. De waarheidstabel van poplus q is:

Voorbeeld, Exclusief of van de voorstellen p – Vandaag is het vrijdag en q - Het regent vandaag, poplus q is Het is vandaag vrijdag of het regent vandaag, maar niet allebei. Deze stelling is waar op elke dag die een vrijdag of een regenachtige dag is (met uitzondering van regenachtige vrijdagen) en is onjuist op elke andere dag dan vrijdag wanneer het niet regent of op regenachtige vrijdagen.

5. Implicatie

Voor twee willekeurige stellingen p En q , de verklaring als p Dan q wordt een implicatie genoemd en wordt aangegeven met p ightarrow q . In de implicatie p ightarrow q , p heet de hypothese of antecedent of stelling En q heet de conclusie of gevolg . De implicatie is p ightarrow q wordt ook wel een genoemd voorwaardelijke verklaring . De implicatie is onjuist wanneer p is waar en q is onwaar, anders is het waar. De waarheidstabel van p ightarrow q is:

Je zou je kunnen afvragen waarom dat zo is p ightarrow q waar wanneer p is fout. Dit komt omdat de implicatie garandeert dat wanneer p En q waar zijn, dan is de implicatie waar. Maar de implicatie garandeert niets als het uitgangspunt geldt p is fout. Er is geen manier om te weten of de implicatie sindsdien vals is p is niet gebeurd. Deze situatie is vergelijkbaar met het standpunt 'Onschuldig tot schuldig bewezen', wat betekent dat de implicatie p ightarrow q wordt als waar beschouwd totdat bewezen is dat het niet waar is. Omdat we de implicatie niet kunnen noemen p ightarrow q vals wanneer p onwaar is, is ons enige alternatief het waar te noemen.

Dit volgt uit de Explosieprincipe die zegt: Een valse bewering impliceert alles. Voorwaardelijke uitspraken spelen een zeer belangrijke rol in wiskundig redeneren, daarom wordt er een verscheidenheid aan terminologie gebruikt om uit te drukken p ightarrow q , waarvan sommige hieronder worden vermeld.

Als p, dan is qp voldoende voor qq als pa noodzakelijke voorwaarde voor p alleen qp is als qq tenzij ≠pq volgt uit p

Voorbeeld, Als het vrijdag is, dan regent het vandaag, is een voorstel dat van de vorm is p ightarrow q . De bovenstaande stelling is waar als het geen vrijdag is (de premisse is onwaar) of als het vrijdag is en het regent, en het is onwaar als het vrijdag is maar het niet regent.

6. Bivoorwaardelijke of dubbele implicatie

Voor twee willekeurige stellingen p En q , de verklaring p als en slechts als (iff) q wordt een bivoorwaardelijke genoemd en wordt aangegeven met pleftrightarrow q . De verklaring pleftrightarrow q wordt ook wel een genoemd dubbele implicatie . pleftrightarrow q heeft dezelfde waarheidswaarde als (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) De implicatie is waar wanneer p En q dezelfde waarheidswaarden hebben, en anders onwaar zijn. De waarheidstabel van pleftrightarrow q is:

Enkele andere veel voorkomende manieren om zich uit te drukken pleftrightarrow q Zijn:

p is noodzakelijk en voldoende voor qif p dan q, en omgekeerd p als q

Voorbeeld: Het regent vandaag alleen dan als het vandaag vrijdag is. is een propositie die van de vorm is pleftrightarrow q . De bovenstaande stelling is waar als het geen vrijdag is en het niet regent, of als het vrijdag is en het regent, en is onwaar als het geen vrijdag is of als het niet regent. Oefening:

1) Denk eens aan de volgende uitspraken:

• P: Goede mobiele telefoons zijn niet goedkoop.
• Vraag: Goedkope mobiele telefoons zijn niet goed.
• L: P impliceert Q
• M: Q impliceert P
• N: P is gelijk aan Q

Welke van de volgende uitspraken over L, M en N is JUIST? (Gate 2014)

(A) Alleen L is WAAR.

(B) Alleen M is WAAR.

(C) Alleen N is WAAR.

(D) L, M en N zijn WAAR.

Voor oplossing, zie POORT | GATE-CS-2014-(Set-3) | Vraag 11

2) Welke van de volgende is niet gelijk aan p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Voor oplossing, zie POORT | GATE-CS-2015 (Set 1) | Vraag 65