Binomiale willekeurige variabelen
In dit bericht bespreken we binomiale willekeurige variabelen.
Voorwaarde : Willekeurige variabelen
Een specifiek type discreet willekeurige variabele die telt hoe vaak een bepaalde gebeurtenis voorkomt in een vast aantal pogingen of pogingen.
Om een variabele een binomiale willekeurige variabele te laten zijn, moet aan ALLE volgende voorwaarden worden voldaan:
- Er is een vast aantal onderzoeken (een vaste steekproefomvang).
- Bij elke proef vindt de gebeurtenis van belang wel of niet plaats.
- De waarschijnlijkheid dat dit voorkomt (of niet) is bij elke proef hetzelfde.
- Beproevingen zijn onafhankelijk van elkaar.
Wiskundige notaties
n = number of trials
p = probability of success in each trial
k = number of success in n trials
Nu proberen we de waarschijnlijkheid van k succes in n pogingen te achterhalen.
Hier is de kans op succes in elke poging p, onafhankelijk van andere pogingen.
We kiezen dus eerst k pogingen waarin er succes zal zijn en in de rest n-k pogingen zal er een mislukking zijn. Het aantal manieren om dit te doen is
Omdat alle n gebeurtenissen onafhankelijk zijn, is de kans op k succes in n pogingen gelijk aan de vermenigvuldiging van de waarschijnlijkheid voor elke poging.
Hier zijn k succes en n-k mislukkingen. Dus de waarschijnlijkheid voor elke manier om k succes en n-k mislukking te bereiken is
De uiteindelijke waarschijnlijkheid is dus
(number of ways to achieve k success
and n-k failures)
*
(probability for each way to achieve k
success and n-k failure)
Vervolgens wordt de binominale willekeurige variabele waarschijnlijkheid gegeven door:
Laat X een binomiale willekeurige variabele zijn, waarbij het aantal pogingen n en de kans op succes in elke poging p zijn.
Het verwachte aantal successen wordt gegeven door
E[X] = np
De variantie van het aantal successen wordt gegeven door
Var[X] = np(1-p)
Voorbeeld 1 : Beschouw een willekeurig experiment waarbij een bevooroordeelde munt (kans op kop = 1/3) 10 keer wordt gegooid. Bereken de kans dat het aantal hoofden dat verschijnt 5 is.
Oplossing :
Let X be binomial random variable
with n = 10 and p = 1/3
P(X=5) = ?
Hier is de implementatie voor hetzelfde
C++
Java// C++ program to compute Binomial Probability #include#include using namespace std ; // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code int main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); cout < < 'Probability of ' < < k ; cout < < ' heads when a coin is tossed ' < < n ; cout < < ' times where probability of each head is ' < < p < < endl ; cout < < ' is = ' < < probability < < endl ; } Python3// Java program to compute Binomial Probability import java.util.* ; class GFG { // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . pow ( p k ) * ( float ) Math . pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void main ( String [] args ) { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); System . out . print ( 'Probability of ' + k ); System . out . print ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); System . out . println ( ' times where probability of each head is ' + p ); System . out . println ( ' is = ' + probability ); } } /* This code is contributed by Mr. Somesh Awasthi */C## Python3 program to compute Binomial # Probability # function to calculate nCr i.e. # number of ways to choose r out # of n objects def nCr ( n r ): # Since nCr is same as nC(n-r) # To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ): r = n - r ; answer = 1 ; for i in range ( 1 r + 1 ): answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; return answer ; # function to calculate binomial r.v. # probability def binomialProbability ( n k p ): return ( nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k )); # Driver code n = 10 ; k = 5 ; p = 1.0 / 3 ; probability = binomialProbability ( n k p ); print ( 'Probability of' k 'heads when a coin is tossed' end = ' ' ); print ( n 'times where probability of each head is' round ( p 6 )); print ( 'is = ' round ( probability 6 )); # This code is contributed by mitsJavaScript// C# program to compute Binomial // Probability. using System ; class GFG { // function to calculate nCr // i.e. number of ways to // choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as // nC(n-r) To decrease // number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial // r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . Pow ( p k ) * ( float ) Math . Pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void Main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); Console . Write ( 'Probability of ' + k ); Console . Write ( ' heads when a coin ' + 'is tossed ' + n ); Console . Write ( ' times where ' + 'probability of each head is ' + p ); Console . Write ( ' is = ' + probability ); } } // This code is contributed by nitin mittal.PHP< script > // Javascript program to compute Binomial Probability // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects function nCr ( n r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; let answer = 1 ; for ( let i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability function binomialProbability ( n k p ) { return nCr ( n k ) * Math . pow ( p k ) * Math . pow ( 1 - p n - k ); } // driver program let n = 10 ; let k = 5 ; let p = 1.0 / 3 ; let probability = binomialProbability ( n k p ); document . write ( 'Probability of ' + k ); document . write ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); document . write ( ' times where probability of each head is ' + p ); document . write ( ' is = ' + probability ); // This code is contributed by code_hunt. < /script>Uitgang:
Probability of 5 heads when a coin is tossed 10 times where probability of each head is 0.333333
is = 0.136565Quiz maken
