Teiginių logika – tai matematikos šaka, tirianti loginius ryšius tarp teiginių (arba teiginių, sakinių, teiginių), paimtų į visumą ir sujungtų loginiais ryšiais.

Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarėme teiginių logiką ir susijusias temas.

Turinys

• Kas yra Logika?
• Teiginių logika
• Tiesos lentelė
• 1. Neigimas
• 2. Jungtis
• 3. Disjunkcija
• 4. Išskirtinis Or
• 5. Potekstė
• 6. Dvi sąlyginė arba dviguba reikšmė

Kas yra Logika?

Logika yra visų matematinių samprotavimų ir visų automatizuotų samprotavimų pagrindas. Logikos taisyklės nurodo matematinių teiginių reikšmę. Šios taisyklės padeda suprasti ir pagrįsti tokiais teiginiais kaip:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Kas paprasta anglų kalba reiškia Egzistuoja sveikasis skaičius, kuris nėra dviejų kvadratų suma .

Matematinės logikos svarba

Logikos taisyklės suteikia tikslią reikšmę matematiniams teiginiams. Šios taisyklės naudojamos atskirti galiojančius ir neteisingus matematinius argumentus. Be svarbos suprasti matematinius samprotavimus, logika turi daugybę pritaikymų kompiuterių moksle, pradedant skaitmeninių grandinių projektavimu ir baigiant kompiuterių programų konstravimu ir programų teisingumo patikrinimu.

Teiginių logika

Kas yra Pasiūlymas? Pasiūlymas yra pagrindinis logikos blokas. Jis apibrėžiamas kaip deklaratyvus sakinys, kuris yra teisingas arba klaidingas, bet ne abu. The Tiesos Vertė teiginys yra teisingas (žymimas T), jei jis yra teisingas, ir klaidingas (žymimas kaip F), jei jis yra klaidingas. Pavyzdžiui,

1. Saulė teka Rytuose ir leidžiasi Vakaruose.
2. 1 + 1 = 2
3. „b“ yra balsis.

Visi aukščiau pateikti sakiniai yra teiginiai, kur pirmieji du yra Galiojantis (Tiesa), o trečiasis yra Neteisingas (Klaidingas). Kai kurie sakiniai, kurie neturi tiesos reikšmės arba gali turėti daugiau nei vieną tiesos reikšmę, nėra teiginiai. Pavyzdžiui,

1. Kiek dabar valandų?
2. Išeik ir Žaisk
3. x + 1 = 2

Pirmiau pateikti sakiniai nėra teiginiai, nes pirmieji du neturi tiesos reikšmės, o trečiasis gali būti teisingas arba klaidingas. Norėdami atstovauti pasiūlymus, teiginių kintamieji yra naudojami. Pagal susitarimą šie kintamieji vaizduojami mažomis abėcėlėmis, pvz p,:q,:r,:s . Vadinama logikos sritis, kurioje nagrinėjami teiginiai teiginių skaičiavimas arba teiginių logika . Tai taip pat apima naujų pasiūlymų kūrimą naudojant esamus. Teiginiai, sukurti naudojant vieną ar daugiau teiginių, vadinami sudėtiniai teiginiai . Pasiūlymai derinami kartu naudojant Loginiai ryšiai arba Loginiai operatoriai .

Teiginių logika

Tiesos lentelė

Kadangi turime žinoti teiginio tiesos reikšmę visais įmanomais scenarijais, mes atsižvelgiame į visas galimas teiginių, kurios yra sujungtos loginėmis jungtimis, derinius, kad sudarytų duotą sudėtinį teiginį. Šis visų galimų scenarijų rinkinys lentelės formatu vadinamas a tiesos lentelė . Dažniausios loginės jungtys -

1. Neigimas

Jeigu p yra teiginys, tada neigimas p žymimas eg p , kuri išvertus į paprastą anglų kalbą reiškia- Taip nėra p arba tiesiog ne p . Tiesos vertė -p yra priešinga tiesos vertei p . Tiesos lentelė -p yra:

Pavyzdys, Neigimas Šiandien lyja, šiandien nėra taip, kad lyja arba tiesiog šiandien nelyja.

2. Jungtis

Bet kokiems dviem pasiūlymams p ir q , jų jungtis žymima pwedge q , tai reiškia p ir q . Jungtis pwedge q yra tiesa, kai abu p ir q yra tiesa, kitu atveju klaidinga. Tiesos lentelė pwedge q yra:

Pavyzdys, Teiginių jungtis p – Šiandien penktadienis ir q - Šiandien lyja, pwedge q yra Šiandien penktadienis, o šiandien lyja. Šis teiginys galioja tik lietingą penktadienį ir yra klaidingas bet kurią kitą lietingą dieną arba penktadienį, kai nelyja.

3. Disjunkcija

Bet kokiems dviem pasiūlymams p ir q , jų disjunkcija žymima pvee q , tai reiškia p arba q . Disjunkcija pvee q yra Tiesa, kai arba p arba q yra tiesa, kitaip klaidinga. Tiesos lentelė pvee q yra:

Pavyzdys, Teiginių disjunkcija p – Šiandien penktadienis ir q - Šiandien lyja, pvee q yra Šiandien penktadienis arba šiandien lyja. Šis teiginys galioja bet kurią dieną, kuri yra penktadienis arba lietinga diena (įskaitant lietingą penktadienį), ir yra klaidinga bet kurią dieną, išskyrus penktadienį, kai taip pat nelyja.

4. Išskirtinis Or

Bet kokiems dviem pasiūlymams p ir q , jų išskirtinis arba žymimas poplus q , o tai reiškia arba p arba q bet ne abu. Išskirtinis arba poplus q yra Tiesa, kai arba p arba q yra tiesa, ir klaidinga, kai abu yra teisingi arba abu yra klaidingi. Tiesos lentelė poplus q yra:

Pavyzdys, Išskirtinis arba iš pasiūlymų p – Šiandien penktadienis ir q - Šiandien lyja, poplus q yra Arba šiandien yra penktadienis, arba šiandien lyja, bet ne abu. Šis teiginys galioja bet kurią dieną, kuri yra penktadienis arba lietinga diena (neįskaitant lietingų penktadienių), ir yra klaidinga bet kurią dieną, išskyrus penktadienį, kai nelyja, arba lietingą penktadienį.

5. Potekstė

Bet kokiems dviem pasiūlymams p ir q , pareiškimas, jei p tada q vadinama implikacija ir ji žymima p ightarrow q . Potekste p ightarrow q , p vadinamas hipotezė arba pirmtakas arba prielaida ir q vadinamas išvada arba pasekmė . Potekstė yra p ightarrow q taip pat vadinamas a sąlyginis teiginys . Potekstė yra klaidinga, kai p yra tiesa ir q yra klaidinga, kitaip tai tiesa. Tiesos lentelė p ightarrow q yra:

Gali kilti klausimas, kodėl taip yra p ightarrow q tiesa kada p yra klaidinga. Taip yra todėl, kad potekstė garantuoja, kad kada p ir q yra teisingi, tada implikacija yra teisinga. Bet implikacija nieko negarantuoja, kai prielaida p yra klaidinga. Nėra jokio būdo žinoti, ar potekstė yra klaidinga, ar ne p neįvyko. Ši situacija yra panaši į Nekalto, kol neįrodyta, kalto poziciją, o tai reiškia, kad tai reiškia p ightarrow q laikoma tiesa, kol neįrodyta, kad ji klaidinga. Kadangi implikacijos vadinti negalime p ightarrow q netikra kada p yra klaidinga, vienintelė mūsų alternatyva yra vadinti tai tiesa.

Tai išplaukia iš Sprogimo principas kuriame sakoma: Klaidingas teiginys reiškia bet ką. Sąlyginiai teiginiai vaidina labai svarbų vaidmenį matematiniame samprotavime, todėl reikšti naudojama įvairi terminija p ightarrow q , kai kurie iš jų išvardyti toliau.

Jei p, tada qp pakanka qq, kai pa būtina sąlyga p yra qp tik jei qq, nebent ≠pq išplaukia iš p

Pavyzdys, Jei penktadienis, tai šiandien lyja, tai yra tokios formos pasiūlymas p ightarrow q . Aukščiau pateiktas teiginys yra teisingas, jei tai ne penktadienis (prielaida klaidinga) arba jei yra penktadienis ir lyja, ir jis yra klaidingas, kai penktadienis, bet nelyja.

6. Dvi sąlyginė arba dviguba reikšmė

Bet kokiems dviem pasiūlymams p ir q , pareiškimas p jei ir tik jei (jei) q vadinamas dvisąlyginiu ir jis žymimas pleftrightarrow q . Pareiškimas pleftrightarrow q taip pat vadinamas a dviprasmiška . pleftrightarrow q turi tokią pat tiesos vertę kaip (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Tai tiesa, kai p ir q turi tas pačias tiesos vertybes, o kitu atveju yra klaidinga. Tiesos lentelė pleftrightarrow q yra:

Kai kurie kiti įprasti išraiškos būdai pleftrightarrow q yra:

p yra būtinas ir pakankamas qif p, tada q, ir atvirkščiai, jei q

Pavyzdžiui, šiandien lyja tada ir tik tada, kai šiandien yra penktadienis. yra pasiūlymas, kurio forma pleftrightarrow q . Aukščiau pateiktas teiginys yra teisingas, jei ne penktadienis ir nelyja arba jei penktadienis ir lyja, ir jis yra klaidingas, kai ne penktadienis arba nelyja. Pratimas:

1) Apsvarstykite šiuos teiginius:

• P: Geri mobilieji telefonai nėra pigūs.
• Klausimas: Pigūs mobilieji telefonai nėra geri.
• L: P reiškia Q
• M: Q reiškia P
• N: P yra lygiavertis Q

Kuris iš šių teiginių apie L, M ir N yra TEISINGAS? (2014 m. vartai)

(A) Tik L yra TRUE.

(B) Tik M yra TRUE.

(C) Tik N yra TRUE.

(D) L, M ir N yra TRUE.

Dėl sprendimo žr VARTAI | GATE-CS-2014-(Set-3) | 11 klausimas

2) Kuris iš šių nelygu p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Dėl sprendimo žr VARTAI | GATE-CS-2015 (1 rinkinys) | 65 klausimas