Tiesės lygtis plokštumoje pateikiama kaip y = mx + C kur x ir y yra plokštumos koordinatės, m yra tiesės nuolydis, o C yra sankirta. Tačiau linijos konstrukcija neapsiriboja vien plokštuma.

Mes žinome, kad linija yra kelias tarp dviejų taškų. Šie du taškai gali būti bet kur, nesvarbu, ar jie gali būti vienoje plokštumoje, ar erdvėje. Plokštumos atveju tiesės vieta apibūdinama dviem koordinatėmis, išdėstytomis tvarkingoje poroje, pateiktoje kaip (x, y), o erdvės atveju taško vieta apibūdinama trimis koordinatėmis, išreikštomis kaip (x). , y, z).

Šiame straipsnyje sužinosime apie skirtingas linijų lygčių formas 3D erdvėje.

Turinys

• Kas yra tiesės lygtis?
• Tiesių lygtis 3D
• Dekartinė 3D tiesės lygties forma
• 3D tiesių lygties vektorinė forma
• 3D linijų formulės
• Išspręsti 3D tiesės lygties pavyzdžiai

Kas yra tiesės lygtis?

Linijos lygtis yra algebrinis būdas išreikšti tiesę taškų, kuriuos ji jungia, koordinatėmis. Tiesės lygtis visada bus a tiesinė lygtis .

Jei bandysime nubraižyti taškus, gautus iš tiesinės lygties, tai bus a tiesi linija . Standartinė linijos lygtis pateikiama taip:

ax + by + c = 0

kur,

• a ir b yra x ir y koeficientai
• c yra pastovus terminas

Toliau nurodytos kitos linijos lygties formos:

Dabar išmoksime linijos lygtį 3D formatu.

Tiesių lygtis 3D

Tiesiosios linijos lygtis 3D formatu reikalauja dviejų taškų, esančių erdvėje. Kiekvieno taško vieta nurodoma naudojant tris koordinates, išreikštas (x, y, z).

3D linijos lygtis pateikiama dviem formatais, kartezinė forma ir vektorinė forma . Šiame straipsnyje mes išmoksime 3D linijos lygtį Dekarto ir vektoriaus forma, taip pat išmoksime išvesti lygtį. Toliau išvardyti skirtingi linijos lygties atvejai:

• Dekarto linijos forma
  • Linija, einanti per du taškus
  • Linija, einanti per nurodytą tašką ir lygiagreti tam tikram vektoriui
• Vektorinė linijos forma
  • Linija, einanti per du taškus
  • Linija, einanti per nurodytą tašką ir lygiagreti tam tikram vektoriui

Dekartinė 3D tiesės lygties forma

Dekartinė linijos forma pateikiama naudojant dviejų taškų, esančių erdvėje, iš kurios eina linija, koordinates. Čia aptarsime du atvejus, kai tiesė eina per du taškus ir kai tiesė eina per taškus ir yra lygiagreti vektoriui.

1 atvejis: 3D tiesės lygtis stačiakampio formos, einančios per du taškus

Tarkime, kad turime du taškus A ir B, kurių koordinatės pateiktos kaip A(x ₁ , ir ₁ , Su ₁ ) ir B(x ₂ , ir ₂ , Su ₂ ).

Tada 3D tiesės lygtis Dekarto forma pateikiama kaip

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

kur x, y ir z yra stačiakampės koordinatės.

Tiesės, einančios per du taškus, lygties išvedimas

Mes galime išvesti 3D tiesės lygties Dekarto formą, naudodami šiuos nurodytus veiksmus:

• 1 žingsnis: Raskite DR (krypties santykius), paimdami dviejų nurodytų taškų atitinkamų padėties koordinačių skirtumą. l = (x ₂ – x ₁ ), m = (ir ₂ - ir ₁ ), n = (z ₂ - Su ₁ ); čia l, m, n yra DR.
• 2 žingsnis: Pasirinkite vieną iš dviejų nurodytų punktų, tarkime, mes pasirenkame (x ₁ , ir ₁ , Su ₁ ).
• 3 veiksmas: Parašykite reikiamą tiesės, einančios per taškus, lygtį (x ₁ , ir ₁ , Su ₁ ) ir (x ₂ , ir ₂ , Su ₂ ).
• 4 veiksmas: Dekarto formos tiesės 3D lygtis pateikiama kaip L : (x – x ₁ )/l = (y – y ₁ )/m = (z – z ₁ )/n = (x – x ₁ )/(x ₂ – x ₁ ) = (y – y ₁ )/(ir ₂ - ir ₁ ) = (z – z ₁ )/(Su ₂ - Su ₁ )

Kur (X ir Z) yra bet kurio kintamo taško, esančio tiesėje, padėties koordinatės.

Pavyzdys: Jei tiesė eina per du fiksuotus 3-dimensijos taškus, kurių padėties koordinatės yra P (2, 3, 5) ir Q (4, 6, 12), tada jos Dekarto lygtis, naudojant dviejų taškų formą, pateikiama taip:

Sprendimas:

l = (4–2), m = (6–3), n = (12–5)

l = 2, m = 3, n = 7

Taško P pasirinkimas (2, 3, 5)

Reikalinga tiesės lygtis

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

2 atvejis: 3D tiesės lygtis stačiakampiu, einančios per tašką ir lygiagrečios tam tikram vektoriui

Tarkime, kad tiesė eina per tašką P(x ₁ , ir ₁ , Su ₁ ) ir yra lygiagreti vektoriui, pateiktam kaip vec n = ahat i + bhat j + chat k .

Tada linijos lygtis pateikiama kaip

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

čia x, y, z yra stačiakampės koordinatės, o a, b, c – krypties kosinusai.

3D tiesės, einančios per tašką ir lygiagrečios tam tikram vektoriui, stačiakampio lygties išvedimas

Tarkime, kad turime tašką P, kurio padėties vektorius pateiktas kaip vec p nuo kilmės. Tegul tiesė, einanti per P, yra lygiagreti kitam vektoriui vec n . Paimkime tašką R tiesėje, kuri eina per P, tada R padėties vektorius pateikiamas kaip vec r .

Kadangi PR yra lygiagretus vec n ⇒ overline {PR} = lambda vec n

Dabar, jei judėsime tiese PR, bet kurio taško, esančio tiesėje, koordinatės koordinatė bus (x ₁ + λa), (ir ₁ + λb), (z ₁ + λc), kur λ yra parametras, kurio reikšmė svyruoja nuo -∞ iki +∞, priklausomai nuo krypties nuo P, kur judame.

Vadinasi, naujo taško koordinatės bus

x = x ₁ + λa ⇒ λ = x – x ₁ /a

y = y ₁ + λb ⇒ λ = y – y ₁ /b

z = z ₁ + λc ⇒ λ = z – z ₁ /c

Palyginus aukščiau pateiktas tris lygtis, gauname lygtį tiesės as

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Pavyzdys: Raskite tiesės, einančios per tašką (2, 1, 3) ir lygiagrečios vektoriui 3i – 2j + k lygtį

Sprendimas:

Tiesės, einančios per tašką ir lygiagrečios vektoriui, lygtis pateikiama kaip

(x – x ₁ )/a = (y – y ₁ )/b = (z – z ₁ )/c

Iš mūsų klausimo x ₁ = 2 ir ₁ = 1, z ₁ = 3 ir a = 3, b = -2 ir c = k. Vadinasi, reikiama linijos lygtis bus

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1)/-2 = (z – 3)/1

3D tiesių lygties vektorinė forma

3D tiesės lygties vektorinė forma pateikiama naudojant vektorinę lygtį, kuri apima taškų padėties vektorių. Šioje antraštėje mes gausime 3D linijos lygtį vektorine forma dviem atvejais.

1 atvejis: 3D linijos, einančios per du taškus vektorine forma, lygtis

Tarkime, kad turime du taškus A ir B, kurių padėties vektorius pateiktas kaip vec a ir vec b .

Tada L tiesės vektorinė lygtis pateikiama kaip

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

kur (vec b – vec a) yra atstumas tarp dviejų taškų, o λ yra gulintis parametras ant linijos.

3D lygties tiesės, einančios per du taškus vektorine forma, išvedimas

Tarkime, kad turime du taškus A ir B, kurių padėties vektorius pateiktas kaip vec a ir vec b . Dabar mes žinome, kad linija yra atstumas tarp bet kurių dviejų taškų. Taigi, norėdami gauti atstumą, turime atimti du padėties vektorius.

⇒ vec d = vec b – vec a

Dabar žinome, kad bet kuris šios linijos taškas bus pateiktas kaip padėties vektoriaus suma vec a space or space vec b su parametro λ sandauga ir atstumo tarp dviejų taškų padėties vektoriumi t.y. vec d

Vadinasi, vektoriaus formos linijos lygtis bus vec l = vec a + lambda (vec b – vec a) arba vec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Pavyzdys: Raskite 3D linijos, einančios per du taškus, kurių padėties vektoriai pateikti kaip 2i + j – k ir 3i + 4j + k, vektorinę lygtį.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į tai, kad du padėties vektoriai pateikti kaip 2i + j – k ir 3i + 4j + k

Atstumas d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Žinome, kad linijos lygtis yra pateikta kaip vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Vadinasi, linijos lygtis bus vec l = 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

2 atvejis: 3D linijos, einančios per tašką ir lygiagrečios vektoriui, vektorinė forma

Tarkime, kad turime tašką P, kurio padėties vektorius pateiktas kaip vec p . Tegul ši tiesė yra lygiagreti kitai tiesei, kurios padėties vektorius pateiktas kaip vec d .

Tada linijos „l“ vektorinė lygtis pateikiama kaip

vec l = vec p + lambda vec d

kur λ yra parametras, esantis tiesėje.

3D tiesės, einančios per tašką ir lygiagrečios vektoriui, vektorinės formos išvedimas

Apsvarstykite tašką P, kurio padėties vektorius pateiktas kaip vec p . Dabar tarkime, kad ši linija yra lygiagreti vektoriui vec d tada linijos lygtis bus vec l = lambda vec d . Kadangi linija taip pat eina per tašką P, tada tolstant nuo taško P bet kuria tiesės kryptimi, taško padėties vektorius bus tokios formos. vec p + lambda vec d . Vadinasi, linijos lygtis bus vec l = vec p + lambda vec d kur λ yra parametras, esantis tiesėje.

Pavyzdys: Raskite tiesės, einančios per tašką (-1, 3, 2) ir lygiagrečios vektoriui 5i + 7j – 3k, lygties vektorinę formą.

Sprendimas:

Žinome, kad tiesės, einančios per tašką ir lygiagrečios vektoriui, lygties vektorinė forma pateikiama kaip vec l = vec p + lambda vec d

Atsižvelgiant į tai, kad taškas yra (-1, 3, 2), tai taško padėties vektorius bus -i + 3j + 2k, o duotas vektorius yra 5i + 7j – 3k.

Todėl reikiama linijos lygtis bus vec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

3D linijų formulės

Panašūs skaitiniai

• Tiesios linijos lygtis
• Tangentas ir normalus
• Linijos nuolydis

Išspręsti 3D tiesės lygties pavyzdžiai

Praktikuokite tiesių lygtis 3D formatu su šiais išspręstais praktiniais klausimais.

1 pavyzdys: Jei tiesė eina per du fiksuotus 3 dimensijos taškus, kurių padėties vektoriai yra (2 i + 3 j + 5 k) ir (4 i + 6 j + 12 k), tada jos vektorinė lygtis naudojant dviejų taškų formą suteikia

Sprendimas:

{vec {p}} = (4 i + 6 j + 12 k ) – (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}} = (2 i + 3 j + 7 k ) ; čia {vec {p}} yra vektorius, lygiagretus tiesei

Padėties vektoriaus pasirinkimas (2 i + 3 j + 5 k )

Reikalinga tiesės lygtis

L : {vec {r}} = (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

2 pavyzdys: jei tiesė eina per du fiksuotus taškus 3-matėje erdvėje, kurių padėties koordinatės yra (3, 4, -7) ir (1, -1, 6), tada jos vektorinė lygtis naudojant dviejų taškų formą suteikia

Sprendimas:

Duotų taškų padėties vektoriai bus (3 i + 4 j – 7 k) ir (i – j + 6 k)

{vec {p}} = (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}} = (2 i + 5 j – 13 k) ; čia {vec {p}} yra vektorius, lygiagretus tiesei

Padėties vektoriaus pasirinkimas (i – j + 6 k)

Reikalinga tiesės lygtis

L : {vec {r}} = (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

3 pavyzdys: Jei tiesė eina per du fiksuotus 3 dimensijos taškus, kurių padėties vektoriai yra (5 i + 3 j + 7 k) ir (2 i + j - 3 k), tada jos vektorinė lygtis naudojant dviejų taškų formą yra suteikta

Sprendimas:

{vec {p}} = (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}} = (3 i + 2 j + 10 k); čia {vec {p}} yra vektorius, lygiagretus tiesei

Padėties vektoriaus pasirinkimas (2 i + j – 3 k)

Reikalinga tiesės lygtis

L: {vec {r}} = (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10 000)

4 pavyzdys: jei tiesi linija eina per du fiksuotus 3 dimensijos taškus, kurių padėties koordinatės yra A (2, -1, 3) ir B (4, 2, 1), tada jos Dekarto lygtis naudojant dviejų taškų formą suteikia

Sprendimas:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Taško A pasirinkimas (2, -1, 3)

Reikalinga tiesės lygtis

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 arba

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 - z) / 2

5 pavyzdys: Jei tiesė eina per du fiksuotus 3 dimensijos taškus, kurių padėties koordinatės yra X (2, 3, 4) ir Y (5, 3, 10), tada jos Dekarto lygtis, naudojant dviejų taškų formą, pateikiama taip:

Sprendimas:

l = (5–2), m = (3–3), n = (10–4)

l = 3, m = 0, n = 6

Taško X pasirinkimas (2, 3, 4)

Reikalinga tiesės lygtis

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 arba

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Linijos lygtis 3D formatu – DUK

Kas yra tiesės lygtis 3D?

3D tiesės lygtis pateikiama kaip (x – x ₁ )/(x ₂ – x ₁ ) = (y – y ₁ )/(ir ₂ - ir ₁ ) = (z – z ₁ )/(Su ₂ - Su ₁ )

Kas yra 3D tiesės lygties Dekarto forma?

Dekartinė 3D tiesės lygties forma pateikta dviem atvejais

1 atvejis: kai linija kerta du taškus: {frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

2 atvejis: kai tiesė eina per vieną tašką ir yra lygiagreti vektoriui: {frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Kas yra 3D tiesės lygties vektorinė forma?

3D linijos lygties vektorinė forma pateikta dviem atvejais:

1 atvejis: linija, einanti per du taškus: vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

2 atvejis: tiesė eina per tašką ir lygiagreti vektoriui: vec l = vec p + lambda vec d

Kas yra tiesės nuolydžio taško lygtis?

Nuolydžio taškas Tiesės lygtis pateikta kaip y = mx + C, kur m yra nuolydis

Kas yra standartinė linijos lygtis?

Standartinė linijos lygtis yra ax + x + c = 0