순열 및 조합 - 정의, 공식, 예 및 FAQ

순열과 조합은 수학에서 가장 기본적인 개념이며 이러한 개념을 통해 학생들에게 수학의 새로운 분야, 즉 조합론이 소개됩니다. 순열 및 조합은 특정 순서로 개체를 선택하고 하위 집합을 형성하여 개체 그룹을 배열하는 방법입니다.

특정 순서로 데이터 그룹을 정렬하려면 순열 및 조합 공식이 사용됩니다. 특정 그룹에서 데이터나 객체를 선택하는 것을 순열(permutation)이라고 하고, 배열된 순서를 조합(combination)이라고 합니다.

순열 및 조합

이 기사에서는 순열과 조합의 개념과 공식을 연구하고 이를 사용하여 많은 샘플 문제를 해결합니다.

내용의 테이블

순열 의미
조합 의미
순열 및 조합식의 유도
순열과 조합의 차이점
순열과 조합에 대한 해결된 예

순열 의미

순열은 하나씩, 일부 또는 모두를 한 번에 전달되는 제공된 수의 구성 요소에 대한 뚜렷한 해석입니다. 예를 들어 두 개의 구성 요소 A와 B가 있는 경우 AB와 BA라는 두 가지 성능이 있을 수 있습니다.

전체 n개의 구성요소 중 r개의 구성요소가 위치할 때의 순열 수는 다음과 같습니다. ^N 피 _{아르 자형} . 예를 들어 n = 3(A, B, C), r = 2(크기 2의 모든 순열)라고 가정합니다. 그럼 거기에 ^삼 피 ₂ 이러한 순열은 6과 같습니다. 이 6개의 순열은 AB, AC, BA, BC, CA 및 CB입니다. 한 번에 3개씩 촬영한 A, B, C의 6개 순열은 아래 추가된 이미지에 표시됩니다.

순열 의미

순열 공식

순열 공식 선택하는 방법의 수를 찾는 데 사용됩니다. 아르 자형 밖으로 것들 N 특정 순서로 다른 것을 교체하는 것은 허용되지 않으며 다음과 같이 제공됩니다.

순열 공식

순열 공식 설명

우리가 알고 있듯이 순열은 배열 순서가 중요한 n개 중 r개를 배열하는 것입니다(AB와 BA는 서로 다른 순열입니다). 1, 2, 3의 서로 다른 숫자 3개가 있고, 한 번에 2를 취하는 숫자를 치환하고 싶은 사람이 있다면 (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3)이 표시됩니다. ), (3, 1) 및 (3, 2). 즉, 6가지 방법으로 수행할 수 있습니다.

여기서 (1, 2)와 (2, 1)은 서로 다릅니다. 다시 말하지만, 이 3개의 숫자를 한 번에 모두 처리하면 해석은 (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1)이 됩니다. ), (3, 1, 2) 및 (3, 2, 1) 즉 6가지 방법이 있습니다.

일반적으로 r(r)을 사용하여 n개의 별개의 항목을 설정할 수 있습니다. ^일 사물은 나머지 n – (r – 1)개의 사물 중 하나일 수 있습니다.

따라서 한 번에 r을 운반하는 n개의 서로 다른 사물의 전체 순열 수는 n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)]이며 이는 다음과 같이 작성됩니다. ^N 피 _{아르 자형} . 또는 다른 말로 하면,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

조합 의미

이는 한 번에 하나씩, 일부 또는 모두를 운반하는 공유된 수의 구성 요소의 개별 섹션입니다. 예를 들어, 두 개의 구성 요소 A와 B가 있는 경우 두 항목을 선택하는 방법은 둘 다 선택하는 한 가지 방법뿐입니다.

예를 들어 n = 3(A, B, C), r = 2(크기 2의 모든 조합)라고 가정합니다. 그럼 거기에 ^삼 씨 ₂ 이러한 조합은 3과 같습니다. 이 세 가지 조합은 AB, AC 및 BC입니다.

여기서는 콤비네이션 아래에 A, B, C 세 글자 중 두 글자가 표시되어 있으므로 AB와 BA가 동일한 조합을 나타내므로 조합에서 A와 B가 선택되는 순서는 중요하지 않습니다.

조합 의미

메모: 같은 예에서 순열과 조합에 대한 서로 다른 점이 있습니다. 예를 들어, AB와 BA는 두 개의 서로 다른 항목, 즉 두 개의 서로 다른 순열이지만 선택의 경우 AB와 BA는 동일합니다. 즉, 동일한 조합입니다.

조합식

조합 공식은 총 'n'개 구성 요소 중에서 'r' 구성 요소를 선택하는 데 사용되며 다음과 같이 제공됩니다.

조합식

r과 (n-r)에 대해 위의 공식을 사용하면 동일한 결과를 얻습니다. 따라서,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

조합식 설명

반면에 조합은 일종의 팩입니다. 다시 말하지만, 세 개의 숫자 1, 2, 3 중 두 개의 숫자로 세트가 생성된 경우 조합은 (1, 2), (1, 3) 및 (2, 3)입니다.

여기서 (1, 2)와 (2, 1)은 서로 다른 순열과 달리 동일합니다. 이것은 다음과 같이 쓰여 있습니다. ^삼 씨 ₂ . 일반적으로, 한 번에 r개를 취하는 n개의 서로 다른 사물의 조합 수는 다음과 같습니다.

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

순열 및 조합식의 도출

이러한 공식은 동일한 것을 나타내기 때문에 기본 계산 방법을 사용하여 이러한 순열 및 조합 공식을 도출할 수 있습니다. 이 공식의 도출은 다음과 같습니다.

순열 공식 유도

순열은 n개의 개체에서 r개의 서로 다른 개체를 교체 없이 선택하는 것이며 선택 순서가 중요한 경우 계산의 기본 정리와 순열의 정의에 따라 다음을 얻습니다.

P(n,r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

위에서 (n-r)을 곱하고 나누면 됩니다! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .삼. 2. 1, 우리는 얻는다

P (n, r) = [n.(n-1).(n-2)….(nr+1)[(n-r)(n-r-1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P(n,r) = n!/(n−r)!

따라서 P(n, r)에 대한 공식이 도출됩니다.

조합식 도출

조합은 선택 순서가 중요하지 않을 때 n개 항목 중에서 r개 항목을 선택하는 것입니다. 그 공식은 다음과 같이 계산됩니다.

C(n, r) = 총 순열 수/r개의 서로 다른 객체를 배열하는 방법의 수.
[계산의 기본 정리에 의해 우리는 r개의 서로 다른 물체를 r개의 방법으로 배열하는 방법의 수 = r이라는 것을 알고 있습니다!]

C(n,r) = P(n,r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

따라서 조합 공식, 즉 C(n, r)이 도출됩니다.

순열과 조합의 차이점

순열과 조합의 차이점 다음 표를 보면 알 수 있습니다.

순열	콤비네이션
순열에서는 배열 순서가 중요합니다. 예를 들어 AB와 BA는 서로 다른 조합입니다.	조합에서는 배열 순서가 중요하지 않습니다. 예를 들어 AB와 BA는 동일한 조합입니다.
순열은 다른 종류의 것들이 있을 때 사용됩니다. 정렬하거나 배열해야 합니다.	같은 종류의 물건을 묶을 때 사용되는 조합 정렬됩니다.
주어진 세 가지 중에서 두 가지를 바꾸는 것 a, b, c는 ab, ba, bc, cb, ac, ca입니다.	세 가지 주어진 것 중 두 가지의 결합 a, b, c는 ab, bc, ca입니다.
순열의 공식은 다음과 같습니다. ^N 피 _{아르 자형} = n!/(n – r)!	조합의 공식은 다음과 같습니다. ^N 씨 _{아르 자형} = 엔! /{아르 자형! × (n – r)!}

또한 확인하세요.

이항정리
이항 확장
이항확률변수
계산의 기본 정리

순열과 조합에 대한 해결된 예

예시 1: n = 9 및 r = 3의 순열 및 조합 수 찾기 .

해결책:

주어진 경우, n = 9, r = 3

위에 주어진 공식을 사용하면:

순열의 경우:

^N 피 _{아르 자형} = (n!) / (n – r)!

⇒ ^N 피 _{아르 자형} = (9!) / (9 – 3)!

⇒ ^N 피 _{아르 자형} = 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ^N 피 _{아르 자형} = 504

조합의 경우:

^N 씨 _{아르 자형} = n!/r!(n − r)!

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 9!/3!(9 − 3)!

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 9!/3!(6)!

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 84

예 2: 남자 4명, 여자 2명으로 구성된 위원회를 남자 6명, 여자 5명 중에서 선출할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?

해결책:

6명 중 4명을 선택하세요 = ⁶ 씨 ₄ 방법 = 15가지 방법

5명의 여성 중 2명의 여성을 선택하세요 = ⁵ 씨 ₂ 방법 = 10가지 방법

위원회는 다음에서 선택될 수 있습니다. ⁶ 씨 ₄ × ⁵ 씨 ₂ = 150가지 방법.

예 3: 다섯 권의 책을 선반에 몇 가지 방법으로 배열할 수 있나요?

해결책:

이는 책의 순서가 중요하기 때문에 순열 문제입니다.

순열 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

⁵ 피 ₅ = 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

따라서 선반에 5권의 책을 배열하는 방법은 120가지가 있습니다.

예 4: FABLE이라는 단어의 문자를 사용하여 세 글자로 된 단어를 몇 개나 만들 수 있나요?

해결책:

이는 문자의 순서가 중요하기 때문에 순열 문제입니다.

순열 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

⁵ 피 _삼 = 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

따라서 FABLE이라는 단어의 문자를 사용하여 만들 수 있는 세 글자 단어는 60개입니다.

예 5: 5명으로 구성된 위원회는 10명으로 구성된 그룹으로 구성됩니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?

해결책:

멤버의 순서는 중요하지 않기 때문에 조합의 문제입니다.

조합 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

¹⁰ 씨 ₅ = 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒ ¹⁰ 씨 ₅ = (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

따라서 10명으로 구성된 그룹에서 5명으로 구성된 위원회를 구성하는 방법은 252가지가 있습니다.

예 6: 피자 레스토랑에서는 피자에 4가지 토핑을 제공합니다. 고객이 토핑이 정확히 2개인 피자를 주문하려는 경우 이를 수행할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?

해결책:

토핑의 순서는 중요하지 않기 때문에 이것은 조합 문제입니다.

조합 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

⁴ 씨 ₂ = 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

따라서 4가지 토핑 중 정확히 2가지 토핑으로 피자를 주문하는 방법은 6가지가 있습니다.

예 7: LOVE라는 용어의 두 글자를 사용하면 얼마나 많은 단어가 만들어질 수 있습니까?

해결책:

LOVE라는 용어는 4개의 서로 다른 문자로 구성됩니다.

따라서 필요한 단어 수 = ⁴ 피 ₂ = 4! / (4 – 2)!

필요한 단어 수 = 4! / 2! = 24 / 2

⇒ 필요한 단어 수 = 12

예 8: 자음 5개와 모음 3개 중 자음 3개와 모음 2개로 이루어진 단어는 몇 개나 될까요?

해결책:

5개의 자음 중에서 3개의 자음을 선택하는 방법의 수 = ⁵ 씨 _삼

3개 모음 중에서 2개 모음을 선택하는 방법의 수 = ^삼 씨 ₂

2개에서 자음 3개, 3개에서 모음 2개를 선택하는 방법의 수 = ⁵ 씨 _삼 × ^삼 씨 ₂

⇒ 필수 개수 = 10 × 3

= 30

즉, 각 그룹에는 총 5개의 문자(자음 3개, 모음 2개)가 포함되어 30개의 그룹이 있을 수 있습니다.

5개의 글자를 서로 배열하는 방법의 수

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

따라서 필요한 경유 수 = 30 × 120

⇒ 필요경로수 = 3600

예 9: 5개의 항목이 있고 4개를 선택하면 몇 가지 조합을 얻을 수 있습니까?

해결책:

주어진 숫자를 조합식에 대입하고 풀어보세요. n은 세트에 있는 항목 수입니다(이 예에서는 5). r은 선택하는 항목 수입니다(이 예에서는 4).

C(n, r) = n! / 르! (n – r)!

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 120/24

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 5

해결책은 5입니다.

예시10: 자음 6개, 모음 3개 중 표현이 몇 개나 되나요? 자음 2개, 모음 1개로 만들 수 있나요?

해결책:

6개의 자음 중에서 2개의 자음을 선택하는 방법의 수 = ⁶ 씨 ₂

3개 모음 중 1개 모음을 선택하는 방법의 수 = ^삼 씨 ₁

7에서 자음 3개, 4에서 모음 2개를 선택하는 방법의 수.

⇒ 필수 방법 = ⁶ 씨 ₂ × ^삼 씨 ₁

⇒ 필수 방법 = 15 × 3

⇒ 필수 경로 = 45

즉, 각 그룹에는 총 3개의 문자(자음 2개, 모음 1개)가 포함되어 45개의 그룹이 있을 수 있습니다.

3개의 글자를 배열하는 방법의 수 = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ 세 글자를 정렬하는 데 필요한 방법 = 6

따라서 필요한 경유 수 = 45 × 6

⇒ 필수 경로 = 270

예 11: 얼마나 많은 별개의 형태로 'PHONE'이라는 단어의 글자를 모음이 일관되도록 구성할 수 있나요? 같이 와?

해결책:

'PHONE'이라는 단어는 5글자로 이루어져 있습니다. 모음 'O',' E'가 들어 있는데 이 두 모음이 일관되게 함께 와야 합니다. 따라서 이 두 모음은 그룹화되어 하나의 문자로 볼 수 있습니다. 즉, PHN(OE)입니다.

따라서 우리는 총 4개의 문자를 취할 수 있으며 이 모든 문자는 서로 다릅니다.

이 글자들을 정리하는 방법의 수 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ 필수 배열 방법 = 24

2개의 모음(OE)이 모두 구별됩니다.

이러한 모음을 서로 배열하는 방법의 수 = 2! = 2 × 1

⇒ 필수 모음 배열 방법 = 2

따라서 필요한 경유 수 = 24 × 2

⇒ 필수 경로 = 48.