총 확률의 법칙은 어떤 사건이 일어날 확률을 찾는 데 중요합니다. 어떤 사건이 일어날 확률이 1로 알려지면 불가능한 사건의 확률은 0이 될 가능성이 높습니다. 한계 확률과 상호 연결된 확률 이론의 기본 규칙은 조건부 확률 총 확률의 법칙 또는 총 확률 정리라고 합니다.

여러 사건이 발생한 후에는 모든 가능성의 확률을 알아야 한다는 것이 알려졌습니다. 그만큼 총 확률의 정리 Baye 정리의 핵심 기초이다. 이 기사에서 우리는 다음을 포함하여 총 확률과 관련된 중요한 개념을 논의했습니다. 총 확률의 법칙 , 진술, 증명 및 몇 가지 예.

총 확률의 법칙

n개의 상호 배타적인 사건 A1, A2, ...Ak가 주어지면 확률 합은 1이고 합집합은 사건 공간 E입니다. 그러면 Ai ∩ Aj= NULL입니다. 모든 I는 j와 같지 않습니다.

A1 U A2 U ... U Ak = E 

그런 다음 총 확률 정리 또는 총 확률의 법칙, 이다: 여기서 B는 임의의 사건이고 P(B/Ai)는 A가 이미 발생했다고 가정할 때 B의 조건부 확률입니다.

총 확률 정리 증명

A1, A2, …, Ak를 표본 공간의 분할을 형성하는 분리된 사건으로 가정하고 i = 1, 2, 3….k인 경우 P(Ai)> 0이라고 가정합니다.

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total) 

그런 다음 임의의 사건 B에 대해 다음을 얻습니다.

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK) 

교차점과 연합은 분배적이기 때문입니다. 그러므로,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK) 

이 모든 파티션은 분리되어 있기 때문입니다. 그래서 우리는

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK) 

이것이 분리된 사건의 합집합에 대한 확률의 덧셈 정리입니다. 조건부 확률 사용

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A) 

아니면 곱셈의 법칙에 따라,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A) 

여기서 사건 A와 B는 P(B|A) = P(B)인 경우 독립 사건이라고 합니다. 여기서 P(A)는 Zero(0)와 같지 않습니다.

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 

여기서 P(B|A)는 사건 A가 이미 발생한 경우 사건 B가 발생할 확률을 제공하는 조건부 확률입니다. 따라서,

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k 

위의 규칙을 적용하면,

이것이 총 확률의 법칙 . 총확률의 법칙은 다음과 같이 불린다. 총 확률 정리 또는 대안의 법칙.

메모:

총 확률의 법칙은 사건의 확률을 모르지만 여러 가지 서로 다른 시나리오에서 발생하는 사건과 각 시나리오의 확률을 알 때 사용됩니다.

총 확률 정리의 적용

분모를 평가하는 데 사용됩니다. 베이즈 정리 . n개의 사건 집합에 대한 베이즈 정리는 다음과 같이 정의됩니다.

E를 보자 ₁ , 그리고 ₂ ,…, 그리고 _N 표본 공간 S와 연관된 사건의 집합이 됩니다. 여기서 모든 사건 E는 ₁ , 그리고 ₂ ,…, 그리고 _N 발생 확률이 0이 아닙니다. 모든 이벤트 E ₁ , 그리고 ₂ ,..., E는 S의 분할을 형성합니다. A를 확률을 찾아야 하는 공간 S의 사건이라고 가정하면 베이즈 정리에 따라 다음과 같습니다.

체육 _나 |A) = P(E _나 )P(A|E _나 ) / ∑ P(E _케이 )P(A|E _케이 )

k = 1, 2, 3, …., n인 경우

예

1. 섞인 카드 더미에서 교체용 카드 두 장을 뽑습니다. 두 번째 카드가 왕이 될 확률을 구해보세요.

설명:- A – 첫 번째 카드를 왕으로 얻는 이벤트를 나타냅니다. B – 첫 번째 카드가 왕이 아닌 경우를 나타냅니다. E – 두 번째 카드가 왕인 경우를 나타냅니다. 그러면 두 번째 카드가 왕이 될 확률은 총 확률의 법칙으로 다음과 같이 표현됩니다.

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) 

여기서, P(E)는 두 번째 카드가 왕일 확률, P(A)는 첫 번째 카드가 왕일 확률, P(E|A)는 두 번째 카드가 왕일 확률입니다. 첫 번째 카드가 왕일 확률, P(B)는 첫 번째 카드가 왕이 아닐 확률, P(E|B)는 두 번째 카드가 왕이지만 처음 뽑은 카드가 왕이 아닐 확률입니다. 질문에 따르면:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52 

그러므로,

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230 

총확률의 법칙에 관한 FAQ

Q.1: 총 확률의 용도는 무엇입니까?

답변:

총 확률의 법칙은 관련된 사건의 수에 관계없이 사건의 확률을 계산하는 데 사용됩니다. 새로운 증거가 주어졌을 때 가설의 확률을 업데이트하기 위해 Baye의 정리를 사용합니다.

Q.2: 총 확률은 항상 1인가요?

답변:

모든 사건의 확률의 합은 항상 1이다.

Q.3: 총 확률이 1보다 클 수 있나요?

답변:

아니요, 총 확률은 1보다 클 수 없습니다.