曲線下の面積
曲線の下の面積は、曲線と座標軸で囲まれた面積です。非常に小さな長方形を取得し、その合計を取得することによって計算されます。無限に小さな長方形を取得した場合、その合計は、そのように形成された関数の制限を取得することによって計算されます。
区間 [a, b] で定義された特定の関数 f(x) について、「a」から「b」までの f(x) の曲線の下の面積 (A) は次の式で与えられます。 A = ∫ ある b f(x)dx 。曲線の下の面積は、区間 [a, b] にわたる関数の絶対値を取得し、その範囲にわたって合計することによって計算されます。
この記事では、曲線下面積、その応用、例などについて詳しく学びます。
目次
曲線下面積とは何ですか?
曲線下の面積は、x 軸と指定された境界条件を持つ任意の曲線で囲まれた面積です。つまり、関数 y = f(x)、x 軸、および直線 x = a、x = b で囲まれた面積です。場合によっては、曲線が x 軸とそれぞれ 1 回または 2 回交差するため、境界条件が 1 つだけ存在するか、まったく存在しないことがあります。
曲線下の面積は、ライマン和などのさまざまな方法を使用して計算できます。 定積分 また、三角形、長方形、台形などの基本的な形状を使用して面積を近似することもできます。
詳細を読む: 数学における微積分
曲線下の面積の計算
曲線の下の面積を計算するには、次のような方法を使用できます。
- ライマン和の使用
- 定積分の使用
- 近似の使用
次のように、これらの方法を詳しく調べてみましょう。
ライマン和の使用
ライマン・サムス は、指定された関数のグラフを小さな長方形に分割し、各長方形の面積を合計することによって計算されます。指定された間隔を細分して考慮する長方形の数が増えるほど、このアプローチで計算される面積がより正確になります。それにもかかわらず、考慮する部分間隔が増えるほど、計算は難しくなります。
Reimann Sum は、さらに次の 3 つのカテゴリに分類できます。
- 左ライマン・スム
- 右ライマン・スム
- 中間点ライマン和
ライマン和を使用した面積は次のように与えられます。
old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}
どこ、
- f(x 私 ) で積分される関数の値です。 私 番目 サンプルポイント
- Δx = (b-a)/n は各部分間隔の幅です。
- ある そして b は積分の限界であり、
- n は部分間隔の数です
- ∑ i=1 から n までのすべての項の合計を表し、
例: 関数 f(x) = x の曲線の下の面積を求めます。 2 限界 x = 0 と x = 2 の間。
解決：
x = 0 と x = 2 の間のこの関数の曲線の下の面積を求めます。n = 4 部分区間の左ライマン和を使用して面積を近似します。
4 つの部分区間を使用して曲線の下の面積を計算してみましょう。
したがって、部分区間の幅、Δx = (2-0)/4 = 0.5
4 つのサブインターバルはすべて次のとおりです。
a = 0 = x 0
1 2 3 4 = 2 = b バツ 0 = 0、× 1 = 0.5、× 2 = 1、× 3 = 1.5、× 4 = 2
これで、これらの x 値で関数を評価して、各四角形の高さを見つけることができます。
f(x 0 ) = (0) 2 = 0
f(x 1 ) = (0.5) 2 = 0.25
f(x 2 ) = (1) 2 = 1
f(x 3 ) = (1.5) 2 = 2.25
f(x 4 ) = (2) 2 = 4
曲線の下の面積は、これらの高さによって形成される長方形の面積を合計することで近似できます。
A ≈ Δx[f(x 0 ) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 )] = 0.5[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 1.25
したがって、 f(x) = x の曲線の下の面積 2 x = 0 と x = 2 の間の値は、4 つの部分区間を持つ左ライマン和を使用して近似すると、約 1.25 になります。
定積分の使用
定積分はライマン和とほぼ同じですが、ここでは部分区間の数が無限大に近づきます。関数が区間 [a, b] に対して与えられた場合、定積分は次のように定義されます。
定積分では、ライマン和とは異なり、曲線の下の正確な面積が得られます。定積分は、関数の逆導関数を求め、それを積分の極限で評価することによって計算されます。
X軸に関する面積
以下の図に示す曲線は、y = f(x) を使用して表されます。 X 軸に関して曲線の下の面積を計算する必要があります。 X 軸上の曲線の境界値はそれぞれ a と b です。 x 軸に関するこの曲線の下の面積 A は、点 x = a と x = b の間で計算されます。次の曲線を考えてみましょう。
X 軸に対する曲線下の面積の式は、次の式で与えられます。
どこ、
- あ 曲線下の面積です
- そして または f(x) は曲線の方程式です
- ああ、 そして b 面積を計算する必要がある x 値または積分限界です。
Y軸を基準とした面積
上の画像に示されている曲線は、x = f(y) を使用して表されます。 Y 軸を基準にして曲線の下の面積を計算する必要があります。 Y 軸上の曲線の境界値はそれぞれ a と b です。点 y = a と y = b の間の Y 軸に関するこの曲線の下の面積 A。次の曲線を考えてみましょう。
y 軸を基準とした曲線下の面積の式は次のように与えられます。
どこ、
- あ 曲線下の面積です
- バツ または f(y) は曲線の方程式です
- a、b y 切片です
もっと詳しく知る、 2 つの曲線の間の領域
曲線下の面積の概算
曲線下の面積を近似するには、長方形や台形などの単純な幾何学的形状を使用して曲線下の面積を推定します。この方法は、関数の統合が難しい場合、または関数の逆導関数を見つけることができない場合に役立ちます。近似の精度は、使用される形状のサイズと数によって異なります。
曲線下の面積の計算
特定の記事で説明されている概念を使用して、さまざまな曲線の面積を簡単に計算できます。ここで、いくつかの一般的な曲線の曲線下面積の計算例をいくつか考えてみましょう。
曲線下の面積: 放物線
標準放物線は、x 軸または y 軸のいずれかによって 2 つの対称部分に分割されることがわかっています。放物線を取るとします 2 = 4ax であり、その面積は x = 0 から x = a まで計算されます。必要に応じて、その面積を 2 倍にして、両方の象限の放物線の面積を見つけます。
面積を計算すると、
そして 2 = 4ax
y = √(4ax)
A = 2∫ 0 ある y.dx
A = 2∫ 0 ある √(4ax).dx
A = 4√(a)∫ 0 ある √(x).dx
A = 4√(a){2/3.a 3/2 }
A = 8/3a 2
したがって、x = 0 から x = a までの放物線の下の面積は次のようになります。 8/3a 2 平方単位
曲線下の面積: 円
円は、円周が中心から常に等しい距離にある閉じた曲線です。その面積は、最初に第 1 象限の面積を計算し、次に 4 つの象限すべてについて 4 を乗じることによって計算されます。
円 x を取るとします。 2 +と 2 = a 2 そして、その面積は、第 1 象限の x = 0 から x = a まで計算されます。必要に応じて、その面積を 4 倍にして円の面積を求めます。
面積を計算すると、
バツ 2 +と 2 = a 2
y = √(a 2 - バツ 2 ).dx
A = 4∫ 0 ある y.dx
A = 4∫ 0 ある √(a 2 - バツ 2 ).dx
A = 4[x/2√(a 2 - バツ 2 ) + a 2 /2なし -1 (x/a)] ある 0
A = 4[{(a/2).0 + a 2 /2.なし -1 } – 0]
A = 4(a 2 /2)(p/2)
A = πa 2
したがって、円の下の面積は、 パ 2 平方単位
曲線の下の領域: 楕円
円は閉じた曲線です。その面積は、最初に第 1 象限の面積を計算し、次に 4 つの象限すべてについて 4 を乗じることによって計算されます。
円 (x/a) を取るとします。 2 + (y/b) 2 = 1 の場合、その面積は第 1 象限の x = 0 から x = a まで計算されます。必要に応じて、その面積を 4 倍にして楕円の面積を求めます。
面積を計算すると、
(x/a) 2 + (y/b) 2 = 1
y = b/a√(a 2 - バツ 2 ).dx
A = 4∫ 0 ある y.dx
A = 4b/a∫ 0 ある √(a 2 - バツ 2 ).dx
A = 4b/a[x/2√(a 2 - バツ 2 ) + a 2 /2なし -1 (x/a)] ある 0
A = 4b/a[{(a/2).0 + a 2 /2.なし -1 } – 0]
A = 4b/a(a 2 /2)(p/2)
A = πab
したがって、楕円の下の領域は、 πab 正方形のユニット。
曲線下面積の公式
曲線下面積のさまざまなタイプの計算式を以下に示します。
| エリアの種類 | 面積の公式 |
|---|---|
| リーマンス和を使用した面積 | |
| y 軸に関する面積 | |
| X軸に対する面積 | |
| 放物線の下の領域 | 2∫ ある b √(4ax).dx |
| 円の下の領域 | 4∫ ある b √(a 2 - バツ 2 ).dx |
| 楕円の下の領域 | 4b/a∫ ある b √(a 2 - バツ 2 ).dx |
また、読んでください
- 積分
- 定積分としての面積
曲線下面積のサンプル例
例 1: 曲線 y の下の面積を求める 2 = 12x と X 軸。
解決：
与えられた曲線方程式は y です 2 = 12x
これは a = 3 の放物線の方程式なので、y 2 = 4(3)(x)
必要な面積のグラフを以下に示します。
X 軸は、上の放物線を 2 つの等しい部分に分割します。したがって、第 1 象限の面積を見つけて、それに 2 を乗じて必要な面積を得ることができます。
したがって、必要な領域は次のように見つけることができます。
A = 2int_{a}^{b}ydx ⇒
A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx ⇒
A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3 ⇒
A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3 ⇒
A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27} ⇒ A = 24平方ユニット
例 2: 曲線 x = y の下の面積を計算します。 3 – 点 y = 3 と y = 4 の間の 9。
解決：
与えられた曲線の方程式は x = y です 3 – 9
境界点は (0, 3) と (0, 4) です。
曲線の方程式は x = f(y) の形式であり、点も Y 軸上にあるため、次の式を使用します。
A = int_{a}^{b}x.dy ⇒
A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy ⇒
A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3 ⇒
A = (64-36)-(frac{81}{4}-27) ⇒
A = 28+frac{27}{4} ⇒ A = 139/4平方ユニット
例 3: 曲線 y = x の下の面積を計算します。 2 – 点 x = 5 と x = 10 の間の 7。
解決：
与えられた曲線は y = x です 2 −7 であり、境界点は (5, 0) と (10, 0) です。
したがって、曲線の下の面積は次の式で求められます。
A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx ⇒
A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10} ⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)
⇒ A = 790/3 – 23/3
⇒ A = 770/3平方ユニット
例 4: 放物線で囲まれた領域を求める 2 = 4ax および第 1 象限の線 x = a。
解決：
指定された曲線と線は次のように描画できます。
さて、曲線の方程式は y です 2 = 4ax
境界点は (0, 0) と (a, 0) になります。
したがって、X 軸に関する面積は次のように計算できます。
A=int_{0}^{a}ydx ⇒
A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx ⇒
A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a ⇒
A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a ⇒
A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2} ⇒
A=frac{4a^2}{3} sq. units
例 5: 円 x でカバーされる領域を求めます。 2 +と 2 = 第 1 象限では 25。
解決：
与えられた場合、x 2 +と 2 = 25
曲線は次のように描画できます。
上図では必要な領域を網掛けで示しています。方程式から、円の半径が 5 単位であることがわかります。
として、× 2 +と 2 = 25
y = sqrt{25-x^2} 面積を見つけるには、次を使用します。
A = int_{a}^{b}ydx ⇒
A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx ⇒
A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5 ⇒
A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0] ⇒
A = frac{25}{2}×frac{pi}{2} ⇒ A = 25 π/4 平方単位
曲線下面積に関する FAQ
曲線の下の領域を定義します。
曲線、軸、境界点で囲まれた領域を曲線下領域と呼びます。座標軸と積分式を使用して、曲線の下の領域が 2 次元領域として求められます。
曲線の下の面積を計算するにはどうすればよいですか?
曲線の下の領域を見つけるには、次の 3 つの方法があります。
- ライマン・サムス 曲線をより小さな長方形に分割し、それらの領域を追加する必要があります。部分間隔の数は結果の精度に影響します。
- 定積分 ライマン和と似ていますが、正確な結果を得るために無限の数の部分区間を使用します。
- 近似方法 既知の幾何学的形状を使用して、曲線の下の領域を近似します。
定積分とライマン和の違いは何ですか?
定積分とライマン和の主な違いは、定積分は特定の曲線の下の正確な面積を表すのに対し、ライマン和は面積の近似値を表し、和の精度は選択したパーティション サイズに依存することです。
曲線下面積が負になることはありますか?
曲線が軸の下にある場合、または座標軸の負の象限にある場合、曲線の下の領域は負になります。この場合も、従来のアプローチを使用して曲線の下の面積が計算され、その後、解が変調されます。答えが負の場合でも、答えの負の符号ではなく、面積の値だけが考慮されます。
統計における曲線下面積は何を表しますか?
曲線下面積 (ROC) は、定量的診断テストの精度の尺度です。
曲線下の面積の符号をどのように解釈しますか?
面積の符号は、曲線の下の面積が x 軸の上か x 軸の下であることを示します。面積が正の場合、曲線の下の面積は x 軸の上にあり、負の場合、曲線の下の面積は x 軸の下になります。
曲線下面積はどのように近似されるのでしょうか?
領域を小さな長方形に分割することにより、曲線の下の面積を大まかに推定できます。そして、これらの長方形の面積を加算することによって、曲線の下の面積を得ることができます。
