アルクタン
アルクタン は正接関数の逆関数として定義されます。 Arctan(x) はtanとして表されます -1 （バツ）。 6 つの三角関数があり、6 つすべての関数の逆関数は次のように抑制されます。 -1 x、cos -1 ×、だから -1 x、コ秒 -1 x、秒 -1 ×、ベビーベッド -1 バツ。
Arctan (タン) -1 x) は 1 / tan x と似ていません。黄褐色 -1 x はtan x の逆数であり、1/tan x はtan x の逆数です。黄褐色 -1 x はさまざまな三角方程式を解くために使用されます。この記事では、arctan関数の公式、グラフ、性質などを詳しく見ていきます。
目次
アルクタンとは何ですか？
アルカタンはその逆です 三角関数 タン×。直角三角形の垂線と底辺の比を三角関数といい、その逆関数をとればarctan関数が得られます。これは次のように説明されます。
タン(π/4) = 1
⇒ π/4 = タン -1 (1)…(Arctan関数です)
角度 θ の直角三角形がある場合、tan θ は垂直/底辺であるため、arctan 関数は次のようになります。
θ = タン -1 (垂直/底辺)
もっと詳しく知る、 逆三角関数
アルクタンフォーミュラとは何ですか?
タンジェントは三角関数であり、直角三角形では、タンジェント関数は垂線と底辺の比 (垂線/底辺) に等しくなります。
Arctan は、タンジェントの逆関数への参照です。象徴的に、arctan は Tan で表されます。 -1 三角方程式の x 。
Arctan 式の定義
上で説明したように、arctan の基本公式は、arctan (垂直/底辺) = θ で与えられます。ここで、θ は直角三角形の斜辺と底辺の間の角度です。この arctan の公式を使用して、角度 θ の値を度またはラジアンで求めます。
角度 θ の正接が x に等しいと仮定します。
x = タンθ ⇒ θ = タン -1 バツ
角度BCAをθとする直角三角形ABCを考えます。辺ABは垂直(p)、辺BCは底辺(b)です。さて、私たちが勉強したように、接線は底辺に対して垂直に等しいです。
つまり Tanθ = 垂直/底辺 = p/b
そして、上の式を使うと、
θ = タン -1 (p/b)
Arctan のアイデンティティ
さまざまな三角方程式を解くために使用されるさまざまな Arctan 恒等式があります。重要なアークタンのアイデンティティのいくつかを以下に示します。
- arctan(-x) = -arctan(x)、すべての x ∈ R
- Tan(arctan x) = x、すべての実数 x の場合
- arctan (tan x) = x、x ∈ (-π/2、π/2) の場合
- arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x) (x> 0 の場合)
- arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π (x <0 の場合)
- sin(arctan x) = x/ √(1+x 2 )
- cos(arctan x) = 1/ √(1+x 2 )
- arctan(x) = 2arctan {x/(1 + √(1+x) 2 ))}
- arctan(x) = ∫ ○ バツ 1/√(1+z 2 )dz
Arctan フォーミュラを適用するには?
Arctan 公式は、さまざまな三角関数の問題を解く際に使用され、以下に追加した例でも同様に説明されています。
例： 直角三角形 PQR では、三角形の高さが √3 単位、三角形の底辺が 1 単位であるとします。角度を見つけてください。
角度（θ）を求めるには
θ = arctan (垂直/高さ)
θ = 逆正接 (√3/1)
θ＝60°
Arctan のドメインと範囲
Tan (x) を含むすべての三角関数には多対 1 の関係があります。ただし、関数の逆関数は、1 対 1 の関係がある場合にのみ存在できます。このため、tan x の領域を制限する必要があります。制限しないと逆関数は存在できません。言い換えれば、必要な値は 1 つだけなので、三角関数は主分岐に制限する必要があります。
- arctan x のドメインは 実数
- arctan (x) の範囲は次のとおりです。 (-p/2、p/2)
三角関数の定義域と範囲は、それぞれ逆三角関数の範囲と定義域に変換されることがわかっています。したがって、tan の領域は次のように言えます。 -1 x はすべて実数で、範囲は (-π/2, π/2) です。
注目すべき興味深い事実は、arctan 関数を複素数に拡張できることです。この場合、arctan の定義域はすべて複素数になります。
Arctan (x) のプロパティ
Arctan x プロパティは、さまざまな三角方程式を解くために使用されます。三角関数を学ぶためには、さまざまな三角関数の特性を学習する必要があります。この記事では、arctan 関数の重要なプロパティのいくつかを以下に示します。
- まあまあ -1 x) = x
- それで -1 (-x) = -tan -1 バツ
- それで -1 (1/x) = 簡易ベッド -1 x、x> 0の場合
- それで -1 × + それで -1 y = そう -1 [(x + y)/(1 – xy)]、xy <1 の場合
- それで -1 × – それで -1 y = そう -1 [(x – y)/(1 + xy)]、xy> -1 の場合
- それで -1 × + ベビーベッド -1 x = π/2
- それで -1 (tan x) = x [x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2)、n ∈ Z} の場合]
- それで -1 (tan x) = x [x が π/2 の奇数倍ではない場合。それ以外の場合、黄褐色 -1 (tan x) は定義されていません。]
- 2だから -1 x = 罪 -1 (2x / (1+x 2 ))、|x| の場合≤ 1
- 2だから -1 x = cos -1 ((1-x 2 ) / (1+x 2 ))、x ≥ 0 の場合
- 2だから -1 x = Tan-1(2x / (1-x 2 ))、-1の場合
Arctan テーブル
度で表される角度はラジアンに変換することもできます。これを行うには、度の値に π/180° の係数を掛けます。さらに、arctan 関数は実数を入力として受け取り、対応する一意の角度値を出力します。以下の表は、いくつかの実数の逆正接角の値を詳しく示しています。これらは、arctan グラフをプロットするときにも使用できます。
上で学習したように、arctan の値は度またはラジアンで導き出すことができます。したがって、以下の表は arctan の推定値を示しています。
| バツ | arctan(x) (度単位) | Arctan(x) (ラジアン単位) |
|---|---|---|
| -∞ | -90° | -p/2 |
| -√3 | -60° | -p/3 |
| -1 | -45° | -p/4 |
| -1/√3 | -30° | -p/6 |
| 0 | 0° | 0 |
| 1/√3 | 30° | p/6 |
| 1 | 45° | p/4 |
| √3 | 60° | p/3 |
| ∞ | 90° | p/2 |
Arctan グラフ
Arctan 関数のグラフは無限グラフです。 arctan の定義域は R (実数) で、Arctan 関数の範囲は (-π/2, π/2) です。 Arctan 関数のグラフについては、以下の図で説明します。
グラフは、関数 y = Tan の既知の点の値を使用して作成されます。 -1 （バツ）
- x = ∞ ⇒ y = π/2
- x = √3 ⇒ y = π/3
- x = 1/√3 ⇒ y = π/6
- x = 0 ⇒ y = 0
- x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
- x = -√3 ⇒ y = -π/3
- x = -∞ ⇒ y = -π/2
アルクタン×デリバティブ
arctanの導関数は数学を勉強する上で非常に重要です。 arctan 関数の導関数は、次の概念を使用して計算されます。
y = arctan x (let)…(1)
両面日焼けを取る
Tan y = Tan (arctan x) [tan (arctan x) = x であることがわかっています]
タン y = x
両側を微分する（連鎖律を使用）
秒 2 y × dy/dx = 1
dy/dx = 1 / 秒 2 そして
dy/dx = 1 / (1 + Tan 2 y) {使用中、秒 2 y = 1 + タン 2 そして}
d / dx (arctan x) = 1 / (1 + x 2 )
アークタン・インテグラル
arctan の積分は、逆正接関数の逆微分として定義されます。 Arctan x の統合は、以下の概念を使用して導出されます。
f(x) = タンを考えてみましょう -1 x、および g(x) = 1
∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx であることがわかっています。
f(x) と g(x) の値を上記の式に代入すると、次のようになります。
∫たん -1 x dx = x タン -1 x – 1/2 ln |1+x 2 | +C
どこ C は積分定数です
アークタン 0
0 の逆正接は 0 です。tan とも言えます。 -1 (x) = 0。したがって、Arctan(0) = 0
アークタン2
2 の逆正接は 63.435 です。タン、とも言えます。 -1 (2) = 63.435。したがって、Arctan(2) = 63.435 となります。
アークタン インフィニティ
arctan 無限大は lim として与えられます。 ×→∞ それで -1 x = π/2。
また、チェックしてください
Arctan の例
例 1: 自分自身を評価する -1 (1)。
解決：
それで -1 (1)
値 1 は次のように書くこともできます。
1 = タン(45°)
今、
それで -1 (1) = それで -1 (tan 45°) = 45°
例 2: 自分自身を評価する -1 (1,732)。
解決：
それで -1 (1,732)
1.732 の値は次のように書くこともできます。
1.732 = タン(60°)
今、
それで -1 (1.732) = それで -1 (タン60°) = 60°
例 3: そう解決します -1 × + それで -1 1/x
解決：
- 私たちはそれを知っています、タン -1 × + それで -1 y = そう -1 [(x + y)/(1 – xy)]
= それで -1 × + それで -1 1/x
= それで -1 [(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]
= それで -1 [(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]
= それで -1 [(x + 1/x)/(1 – 1)]
= それで -1 [(x + 1/x)/(0)]
= それで -1 [∞]
= π/2
例 4: Tan の導関数を求める -1 √x
解決：
私たちはそれを知っています、d/dx (タン -1 x) = 1 / (1 + x 2 )
⇒ d/dx (つまり -1 √x)
使用する 連鎖法則
= 1 / (1 + [√x] 2 )
= 1 / (1+x) × d/dx(1/√x)
= 1/(1+x) × 1/2√x
= √x/{2x(x+1)}
したがって、d/dx の導関数 (tan -1 √x) は √x/{2x(x+1)} です
Arctan の練習問題
Q1. Tan の導関数を求めます -1 (2x 2 + 3)
Q2.タンの積分を求めます -1 √x
Q3.自分をそう評価してください -1 (10)
Q4.そう解決してください -1 (x) + 黄褐色 -1 （バツ 2 )
Arctan-FAQ
1. Arctan とは何ですか?
正接関数の逆関数は Arctan と呼ばれます。 arctan x または Tan として表されます。 -1 バツ。 arctan の値を決定するために使用される式は次のとおりです。 θ = タン -1 （バツ）
2. Arctan の導関数を見つけます。
arctan の導関数は、 d/dx (arctan x) = 1 / (1 + x 2 )
3. Arctan 関数は Tan 関数の逆ですか?
はい、arctan 関数は Tan 関数の逆関数です。 x = Tan より、tan x = y の場合 -1 そして
4. Arctan は Cot に似ていますか?
いいえ、arctan は簡易ベッドとは異なります。 cot は、tan 関数の逆数です。つまり、tan x = 1/cot x ですが、Arctan は Tan 関数の逆関数です。 arctan x = Tan -1 バツ
5. 無限のアークタンとは何ですか?
すでに、tan (π/2) の値 = ∞ であることがわかっています。 Arctan は Tan の逆関数なので、arctan(∞) = π/2 と言えます。
6. Arctan と Tan -1 同じ？
はい、アークタンとタンです -1 Arctan はタンの別名です。 -1 （バツ）
7. Arctan (1) 円周率が 4 を超えるのはなぜですか?
罪の価値 -1 (π/4) は 1/√2 で cos の値です -1 (π/4) は 1/√2 であり、それがわかっています。 -1 (π/4) は sin- 1 (π/4)/cos -1 (π/4) であり、arcsin と arccos の値が等しい場合、arctan (1) の値は π/4 になります。
