עץ אינדקס בינארי: עדכון טווח ושאילתות טווח
נתון מערך arr[0..N-1]. יש לבצע את הפעולות הבאות.
- update(l r val) : הוסף 'val' לכל האלמנטים במערך מ-[l r].
- getRangeSum(l r) : מצא את סכום כל האלמנטים במערך מ-[l r].
בתחילה כל האלמנטים במערך הם 0. שאילתות יכולות להיות בכל סדר כלומר יכולים להיות עדכונים רבים לפני סכום הטווח.
דוּגמָה:
קֶלֶט: N = 5 // {0 0 0 0 0}
שאילתות: עדכון: l = 0 r = 4 val = 2
עדכון: l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4תְפוּקָה: סכום רכיבי הטווח [2 4] הוא 12
הֶסבֵּר: מערך לאחר העדכון הראשון הופך ל-{2 2 2 2 2}
מערך לאחר עדכון שני הופך ל-{2 2 2 5 5}
גישה נאיבית: כדי לפתור את הבעיה בצע את הרעיון הבא:
ב- פוסט קודם דנו בפתרונות עדכון טווח ושאילתות נקודות באמצעות BIT.
rangeUpdate(l r val): אנו מוסיפים 'val' לאלמנט באינדקס 'l'. אנו מפחיתים 'val' מהאלמנט באינדקס 'r+1'.
getElement(index) [או getSum()]: אנו מחזירים סכום של אלמנטים מ-0 לאינדקס שניתן להשיג במהירות באמצעות BIT.
אנו יכולים לחשב rangeSum() באמצעות שאילתות getSum() .
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)פתרון פשוט הוא להשתמש בפתרונות הנדונים ב- פוסט קודם . שאילתת עדכון הטווח זהה. ניתן להשיג שאילתת סכום טווח על ידי ביצוע שאילתת קבל עבור כל הרכיבים בטווח.
גישה יעילה: כדי לפתור את הבעיה בצע את הרעיון הבא:
אנו מקבלים סכום טווח באמצעות סכומי קידומת. איך לוודא שהעדכון נעשה בצורה כזו שסכום הקידומת יכול להיעשות במהירות? שקול מצב שבו סכום הקידומת [0 k] (כאשר 0 <= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- מקרה 1 : 0 < k < l
- שאילתת העדכון לא תשפיע על שאילתת הסכום.
- מקרה 2 :ל <= k <= r
- שקול דוגמה: הוסף 2 לטווח [2 4] המערך המתקבל יהיה: 0 0 2 2 2
אם k = 3 הסכום מ- [0 k] = 4איך להגיע לתוצאה הזו?
פשוט הוסף את ה-Val מ-l ה' אינדקס ל-k ה' מַדָד. הסכום מוגדל ב-'val*(k) - val*(l-1)' לאחר שאילתת העדכון.
- מקרה 3 : k > ר
- למקרה זה עלינו להוסיף 'val' מ-l ה' אינדקס ל-r ה' מַדָד. הסכום מוגדל ב-'val*r – val*(l-1)' עקב שאילתת עדכון.
תצפיות:
מקרה 1: פשוט מכיוון שהסכום יישאר כפי שהיה לפני העדכון.
מקרה 2: הסכום הוגדל ב-val*k - val*(l-1). אנחנו יכולים למצוא 'val' זה דומה למציאת ה-i ה' אלמנט ב מאמר עדכון טווח ומאמר שאילתת נקודות . אז אנחנו שומרים BIT אחד עבור עדכון טווח ושאילתות נקודות BIT זה יעזור למצוא את הערך ב-k ה' מַדָד. כעת מחושב val * k כיצד לטפל במונח נוסף val*(l-1)?
על מנת לטפל במונח הנוסף הזה אנו שומרים על BIT נוסף (BIT2). עדכן val * (l-1) ב-l ה' אינדקס כך שכאשר השאילתה getSum מבוצעת ב-BIT2 תיתן את התוצאה כ-val*(l-1).
מקרה 3: הסכום במקרה 3 הוגדל ב-'val*r - val *(l-1)' ניתן לקבל את הערך של מונח זה באמצעות BIT2. במקום חיבור אנו מפחיתים 'val*(l-1) - val*r' מכיוון שאנו יכולים לקבל את הערך הזה מ-BIT2 על ידי הוספת val*(l-1) כפי שעשינו במקרה 2 והפחתת val*r בכל פעולת עדכון.
עדכון שאילתה
עדכון (BITree1 l val)
עדכון (BITree1 r+1 -val)
UpdateBIT2(BITree2 l val*(l-1))
UpdateBIT2(BITree2 r+1 -val*r)סכום טווח
getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)
בצע את השלבים הבאים כדי לפתור את הבעיה:
- צור את שני עצי האינדקס הבינאריים באמצעות הפונקציה הנתונה constructBITree()
- כדי למצוא את הסכום בטווח נתון קרא את הפונקציה rangeSum() עם פרמטרים כטווח הנתון ועצים באינדקס בינארי
- קרא לסכום פונקציה שיחזיר סכום בטווח [0 X]
- החזר סכום(R) - סכום(L-1)
- בתוך הפונקציה הזו קוראים לפונקציה getSum() שתחזיר את סכום המערך מ-[0 X]
- החזר getSum(Tree1 x) * x - getSum(tree2 x)
- בתוך הפונקציה getSum() צור סכום שלם השווה לאפס והגדל את האינדקס ב-1
- בעוד שהמדד גדול מאפס, הגדל את הסכום בעץ[מדד]
- הקטן את האינדקס ב-(index & (-index)) כדי להעביר את האינדקס לצומת האב בעץ
- סכום החזר
- הדפס את הסכום בטווח הנתון
להלן יישום הגישה לעיל:
C++ // C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include using namespace std ; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 []) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 []) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } int * constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int * BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver code int main () { int n = 5 ; // Construct two BIT int * BITTree1 * BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 r = 4 ; cout < < 'Sum of elements from [' < < l < < '' < < r < < '] is ' ; cout < < rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) < < ' n ' ; return 0 ; }
Java // Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.* ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ] ; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ] ; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function public static void main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; System . out . print ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); System . out . print ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
Python3 # Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum ( BITree : list index : int ) -> int : summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0 : # Add current element of BITree to sum summ += BITree [ index ] # Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit ( BITTree : list n : int index : int val : int ) -> None : # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n : # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree [ index ] += val # Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ) # Returns the sum of array from [0 x] def summation ( x : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ) def updateRange ( BITTree1 : list BITTree2 : list n : int val : int l : int r : int ) -> None : # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit ( BITTree1 n l val ) updateBit ( BITTree1 n r + 1 - val ) # Update BIT2 updateBit ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )) updateBit ( BITTree2 n r + 1 - val * r ) def rangeSum ( l : int r : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation ( r BITTree1 BITTree2 ) - summation ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ) # Driver Code if __name__ == '__main__' : n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print ( 'Sum of elements from [ %d %d ] is %d ' % ( l r rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ))) # This code is contributed by # sanjeev2552
C# // C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int [] BITree int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int [] BITree int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of // parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int [] BITTree1 int [] BITTree2 int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Code public static void Main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; Console . Write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); Console . Write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
JavaScript < script > // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum ( BITree index ) { let sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT ( BITree n index val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum ( x BITTree1 BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } function updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } function rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } function constructBITree ( n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array ( n + 1 ); for ( let i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function let n = 5 ; // Contwo BIT let BITTree1 ; let BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; document . write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); document . write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + '
' ); // This code is contributed by rag2127 < /script>
תְפוּקָה
Sum of elements from [14] is 50
מורכבות זמן : O(q * log(N)) כאשר q הוא מספר השאילתות.
מרחב עזר: עַל)
