Formula di somma
In matematica, la somma è l'addizione fondamentale di una sequenza di numeri qualsiasi, chiamati addendi o addendi; il risultato è la loro somma o totale. In matematica numeri, funzioni, vettori, matrici, polinomi e, in generale, elementi di qualsiasi oggetto matematico possono essere associati a un'operazione chiamata addizione/somma, indicata con +.
La somma di una sequenza esplicita è denotata come una successione di addizioni. Ad esempio, la somma di (1, 3, 4, 7) può essere indicata con 1 + 3 + 4 + 7 e il risultato della notazione precedente è 15, ovvero 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Perché l'operazione di addizione è sia associativa che commutativa, non sono necessarie parentesi per elencare la serie/sequenza e il risultato sarà lo stesso indipendentemente dall'ordine degli addendi.
Tabella dei contenuti
- Cos'è la formula di sommatoria?
- Dove utilizzare la formula di sommatoria?
- Proprietà della sommatoria
- Formule di somma standard
- Esempio sulla formula di sommatoria
- Domande frequenti sulla formula di somma
Cos'è la formula di sommatoria?
La notazione sommatoria o sigma (∑) è un metodo utilizzato per scrivere una lunga somma in modo conciso. Questa notazione può essere allegata a qualsiasi formula o funzione.
Per esempio, io=1 ∑ 10 (i) è una notazione sigma dell'addizione della sequenza finita 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 dove il primo elemento è 1 e l'ultimo elemento è 10.
Formule di somma
Dove utilizzare la formula di sommatoria?
La notazione di somma può essere utilizzata in vari campi della matematica:
- Sequenza in serie
- Integrazione
- Probabilità
- Permutazione e combinazione
- Statistiche
Nota: Una sommatoria è una forma breve di addizione ripetitiva. Possiamo anche sostituire la somma con un ciclo di addizione.
Proprietà della sommatoria
Proprietà 1
io=1 ∑ N c = c + c + c + .... + c(n) volte = nc
Ad esempio: trova il valore di io=1 ∑ 4 C.
Utilizzando la proprietà 1 possiamo calcolare direttamente il valore di io=1 ∑ 4 c come 4×c = 4c.
Proprietà 2
c=1 ∑ N kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) volte = k × (1 + … + n) = k c=1 ∑ N C
Ad esempio: trova il valore di io=1 ∑ 4 5i.
Utilizzando le proprietà 2 e 1 possiamo calcolare direttamente il valore di io= 1 ∑ 4 5i come 5× io=1 ∑ 4 io = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Proprietà 3
c=1 ∑ N (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. +(k+n)…. (n) volte = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c=1 ∑ N C
Ad esempio: trova il valore di io=1 ∑ 4 (5+i).
Utilizzando le proprietà 2 e 3 possiamo calcolare direttamente il valore di io=1 ∑ 4 (5+i) come 5×4 + io=1 ∑ 4 io = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
Proprietà 4
k=1 ∑ N (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ N f(k) + k=1 ∑ N g(k)
Ad esempio: Trova il valore di io=1 ∑ 4 (io+io 2 ).
Utilizzando la proprietà 4 possiamo calcolare direttamente il valore di io=1 ∑ 4 (io+io 2 ) COME io=1 ∑ 4 io + io=1 ∑ 4 io 2 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Formule di somma standard
Varie formule di somma sono,
Somma dei primi n numeri naturali: (1+2+3+…+n) = io=1 ∑ N (i) = [n ×(n +1)]/2
Somma dei quadrati dei primi n numeri naturali: (1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 ) = io=1 ∑ N (io 2 ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6
Somma del cubo dei primi n numeri naturali: (1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) = io=1 ∑ N (io 3 ) = [n 2 ×(n+1) 2 )]/4
Somma dei primi n numeri naturali pari: (2+4+…+2n) = io=1 ∑ N (2i) = [n ×(n +1)]
Somma dei primi n numeri naturali dispari: (1+3+…+2n-1) = io=1 ∑ N (2i-1) = n 2
Somma dei quadrati dei primi n numeri naturali pari: (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = io=1 ∑ N (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
Somma dei quadrati dei primi n numeri naturali dispari: (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = io=1 ∑ N (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
Somma del cubo dei primi n numeri naturali pari: (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = io=1 ∑ N (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
Somma del cubo dei primi n numeri naturali dispari: (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = io=1 ∑ N (2i-1) 3 =n 2 (2n 2 - 1)
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Esempio sulla formula di sommatoria
Esempio 1: trova la somma dei primi 10 numeri naturali, utilizzando la formula di somma.
Soluzione:
Utilizzando la formula di somma per la somma di n numero naturale io=1 ∑ N (i) = [n ×(n +1)]/2
Abbiamo la somma dei primi 10 numeri naturali = io=1 ∑ 10 (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55
Esempio 2: Trova la somma dei primi 10 numeri naturali maggiori di 5, utilizzando la formula di somma.
Soluzione:
Secondo la domanda:
Somma di 10 primi numeri naturali maggiori di 5 = io=6 ∑ quindici (io)
= io=1 ∑ quindici (io) - io=1 ∑ 5 (io)
= [15 × 16] / 2 – [5 × 6]/2
= 120 – 15
= 105
Esempio 3: trova la somma della sequenza finita data 1 2 +2 2 +3 2 +…8 2 .
Soluzione:
La sequenza data è 1 2 +2 2 +3 2 +…8 2 , può essere scritto come io=1 ∑ 8 io 2 utilizzando la proprietà/formula della sommatoria
io=1 ∑ 8 io 2 = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
Esempio 4: semplificare c=1 ∑ N kc.
Soluzione:
Data la formula di somma = c=1 ∑ N kc
= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termini)
= k (1 + 2 + 3 +….. + n)
c=1 ∑ N kc = K c=1 ∑ N C
Esempio 5: semplificare e valutare x =1 ∑ N (4+x).
Soluzione:
La somma data è x=1 ∑ N (4+x)
Come lo sappiamo c=1 ∑ N (k+c) = nk + c=1 ∑ N C
La somma data può essere semplificata come,
4n+ x=1 ∑ N (X)
Esempio 6: semplificare x=1 ∑ N (2x+x 2 ).
Soluzione:
La somma data è x=1 ∑ N (2x+x 2 ).
come lo sappiamo k=1 ∑ N (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ N f(k)+ k=1 ∑ N g(k)
data sommatoria può essere semplificata come x=1 ∑ N (2x) + x=1 ∑ N (X 2 ).
Domande frequenti sulla formula di somma
Qual è la formula di somma dei numeri naturali?
La somma dei numeri naturali da 1 a n si trova utilizzando la formula n (n + 1) / 2. Ad esempio, la somma dei primi 100 numeri naturali è 100 (100 + 1) / 2 = 5050.
Cos'è la formula di somma generale?
Formula di somma generale utilizzata per trovare la somma di una sequenza {a 1 , UN 2 , UN 3 ,…,UN N } È, ∑a io = un 1 +a 2 +a 3 +…+a N
Come si usa ∑?
∑ è il simbolo della sommatoria e viene utilizzato per trovare la somma delle serie.
Qual è la formula per la somma n?
La formula per la somma di n numeri naturali è, la formula per la somma di n numeri è [n(n+1)2]
