Les formules demi-angle sont utilisées pour trouver diverses valeurs d'angles trigonométriques telles que 15°, 75° et autres, elles sont également utilisées pour résoudre divers problèmes trigonométriques.

Plusieurs rapports et identités trigonométriques aident à résoudre les problèmes de trigonométrie. Les valeurs des angles trigonométriques 0°, 30°, 45°, 60°, 90° et 180° pour sin, cos, tan, cosec, sec et cot sont déterminées à l'aide d'une table trigonométrique. Les formules de demi-angle sont largement utilisées en mathématiques, apprenons-les en détail dans cet article.

Table des matières

• Formules demi-angle
• Identités demi-angle
• Dérivation de formules demi-angle à l'aide de formules à double angle
• Formule demi-angle pour la dérivation du cos
• Formule demi-angle pour la dérivation du péché
• Formule demi-angle pour la dérivation du bronzage
• Exemples résolus sur les formules de demi-angle

Formules demi-angle

Pour trouver les valeurs des angles en dehors des valeurs bien connues de 0°, 30°, 45°, 60°, 90° et 180°. Les demi-angles sont dérivés de formules à double angle et sont répertoriés ci-dessous pour sin, cos et tan :

• péché (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2] ^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2] ^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ péché x

Identités trigonométriques des formules à double angle sont utiles pour la dérivation de formules à demi-angle.

Formules demi-angle

Identités demi-angle

Identités demi-angle pour certains populaires fonctions trigonométriques sont,

• Formule demi-angle du péché,

péché A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Formule demi-angle de Cos,

cosA/2 = ±√[(1 + cosA) / 2]

• Formule demi-angle de bronzage,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = péché A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / péché A

Dérivation de formules demi-angle à l'aide de formules à double angle

Les formules demi-angle sont dérivées à l'aide de formules à double angle. Avant d'apprendre les formules de demi-angle, nous devons nous renseigner sur le double angle dans Trigonométrie , les formules à double angle les plus couramment utilisées en trigonométrie sont :

• péché 2x = 2 péché x cos x
• cos 2x = cos ² x – péché ² X
  = 1 – 2 sans ² X
  = 2 cos ² x – 1
• bronzage 2x = 2 bronzage x / (1 – bronzage ² X)

En remplaçant maintenant x par x/2 des deux côtés dans les formules ci-dessus, nous obtenons

• péché x = 2 péché(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos ² (x/2) – sans ² (x/2)
  = 1 – 2 sans ² (x/2)
  = 2 cos ² (x/2) – 1
• bronzage A = 2 bronzage (x/2) / [1 – bronzage ² (x/2)]

Formule demi-angle pour la dérivation du cos

On utilise cos2x = 2cos ² x – 1 pour trouver la formule du demi-angle pour Cos

Mettez x = 2y dans la formule ci-dessus

cos (2)(y/2) = 2cos ² (an/2) – 1

cosy = 2cos ² (an/2) – 1

1 + cosy = 2cos ² (et/2)

2cos ² (y/2) = 1 + confortable

parce que ² (y/2) = (1+ confortable)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ confortable)/2}

Formule demi-angle pour la dérivation du péché

On utilise cos 2x = 1 – 2sin ² x pour trouver la formule du demi-angle pour le péché

Mettez x = 2y dans la formule ci-dessus

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin ² (et/2)

cosy = 1 – 2sin ² (et/2)

2péché ² (y/2) = 1 – confortable

sans ² (y/2) = (1 – confortable)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – confortable)/2}

Formule demi-angle pour la dérivation du bronzage

On sait que tan x = sin x / cos x tel que,

tan(x/2) = péché(x/2) / cos(x/2)

Mettre les valeurs du demi-angle pour sin et cos. On a,

bronzage(x/2) = ± [(√(1 – confortable)/2 ) / (√(1+ confortable)/2 )]

bronzage(x/2) = ± [√(1 – confortable)/(1+ confortable) ]

Rationaliser le dénominateur

bronzage(x/2) = ± (√(1 – confortable)(1 – confortable)/(1+ confortable)(1 – confortable))

bronzage(x/2) = ± (√(1 – confortable) ² /(1 – car ² et))

bronzage(x/2) = ± [√{(1 – confortable) ² /( sans ² et)}]

bronzage(x/2) = (1 – confortable)/(seau)

Vérifiez également

• Applications réelles de la trigonométrie
• Sans formules Cos

Exemples résolus sur les formules de demi-angle

Exemple 1 : Déterminer la valeur de sin 15°

Solution:

Nous savons que la formule du demi-angle du sinus est donnée par :

péché x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2) ^1/2

La valeur du sinus 15° peut être trouvée en remplaçant x par 30° dans la formule ci-dessus

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2) ^1/2

péché 15° = ± ((1 – 0,866)/ 2) ^1/2

péché 15° = ± (0,134/ 2) ^1/2

péché 15° = ± (0,067) ^1/2

péché 15° = ± 0,2588

Exemple 2 : Déterminer la valeur de sin 22,5 °

Solution:

Nous savons que la formule du demi-angle du sinus est donnée par :

péché x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2) ^1/2

La valeur du sinus 15° peut être trouvée en remplaçant x par 45° dans la formule ci-dessus

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2) ^1/2

péché 22,5° = ± ((1 – 0,707)/ 2) ^1/2

péché 22,5° = ± (0,293/ 2) ^1/2

péché 22,5° = ± (0,146) ^1/2

péché 22,5° = ± 0,382

Exemple 3 : Déterminer la valeur de tan 15°

Solution:

Nous savons que la formule du demi-angle du sinus est donnée par :

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ péché x

La valeur de tan 15° peut être trouvée en remplaçant x par 30° dans la formule ci-dessus

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

tan 15° = ± (1 – 0,866)/ sin 30

beige 15° = ± (0,134)/ 0,5

beige 15° = ± 0,268

Exemple 4 : Déterminer la valeur de tan 22,5°

Solution:

Nous savons que la formule du demi-angle du sinus est donnée par :

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ péché x

La valeur de tan 22,5° peut être trouvée en remplaçant x par 45° dans la formule ci-dessus

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (1 – 0,707)/ sin 45°

beige 22,5° = ± (0,293)/ 0,707

beige 22,5° = ± 0,414

Exemple 5 : Déterminer la valeur de cos 15°

Solution:

Nous savons que la formule du demi-angle du sinus est donnée par :

cosx/2 = ± ((1 + cosx)/ 2) ^1/2

La valeur du sinus 15° peut être trouvée en remplaçant x par 30° dans la formule ci-dessus

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2) ^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2) ^1/2

cos 15° = ± (1,866/ 2) ^1/2

cos 15° = ± (0,933) ^1/2

cos 15° = ± 0,965

Exemple 6 : Déterminer la valeur de cos 22,5°

Solution:

Nous savons que la formule du demi-angle du sinus est donnée par :

cosx/2 = ± ((1 + cosx)/ 2) ^1/2

La valeur du sinus 15° peut être trouvée en remplaçant x par 45° dans la formule ci-dessus

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2) ^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2) ^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/ 2) ^1/2

cos 22,5° = ± ( 0,853 ) ^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

FAQ sur la formule demi-angle

A quoi servent les formules demi-angle ?

Les formules demi-angle sont utilisées pour trouver les rapports trigonométriques de la moitié des angles standards tels que 15°, 22,5° et autres. Ils sont également utilisés pour résoudre des équations trigonométriques complexes et sont nécessaires à la résolution d’équations intégrales et différentielles.

Qu'est-ce que la formule demi-angle pour le péché ?

La formule du demi-angle pour le péché est

péché A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

De plus, pour tout triangle dont les côtés a, b et c et le demi-périmètre sont s, alors

péché A/2 = √[(s – b) (s – c) / avant JC]

Qu'est-ce que la formule du demi-angle pour le cosinus ?

La formule du demi-angle pour cos est

cosA/2 = ±√[(1 + cosA)/2]

De plus, pour tout triangle dont les côtés a, b et c et le demi-périmètre sont s, alors

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Quelle est la formule de cos je ?

Pour tout triangle rectangle, avec un angle θ, la formule utilisée pour calculer le cosinus de l'angle (θ) est

Cos(θ) = adjacent / hypotenuse