Inverzní goniometrické identity: V matematice jsou inverzní goniometrické funkce také známé jako arcus funkce nebo anti-trigonometrické funkce. Inverzní goniometrické funkce jsou inverzní funkce základních goniometrických funkcí, tj. sinus, kosinus, tečna, kosekans, sečna a kotangens. Používá se k nalezení úhlů s libovolným trigonometrickým poměrem. Inverzní goniometrické funkce se obecně používají v oblastech, jako je geometrie, strojírenství atd. Reprezentace inverzních goniometrických funkcí jsou:

Jestliže a = f(b), pak inverzní funkce je

b = f ^-1 (A)

Příklady inverzních inverzních goniometrických funkcí jsou sin ^-1 x, cos ^-1 x, takže ^-1 x atd.

Obsah

• Doména a rozsah inverzních goniometrických identit
• Vlastnosti inverzních goniometrických funkcí
• Identity inverzní goniometrické funkce
• Ukázkové problémy s inverzními goniometrickými identitami
• Cvičte problémy s inverzními goniometrickými identitami

Doména a rozsah inverzních goniometrických identit

Následující tabulka ukazuje některé goniometrické funkce s jejich doménou a rozsahem.

Vlastnosti inverzních goniometrických funkcí

Následují vlastnosti inverzních goniometrických funkcí:

Vlastnost 1:

1. bez ^-1 (1/x) = kosec ^-1 x, pro x ≥ 1 nebo x ≤ -1
2. cos ^-1 (1/x) = sek ^-1 x, pro x ≥ 1 nebo x ≤ -1
3. tak ^-1 (1/x) = dětská postýlka ^-1 x, pro x> 0

Vlastnost 2:

1. bez ^-1 (-x) = -hřích ^-1 x, pro x ∈ [-1 , 1]
2. tak ^-1 (-x) = -tan ^-1 x, pro x ∈ R
3. cosec ^-1 (-x) = -cosec ^-1 x, pro |x| ≥ 1

Nemovitost 3

1. cos ^-1 (-x) = π – cos ^-1 x, pro x ∈ [-1 , 1]
2. sek ^-1 (-x) = π – sec ^-1 x, pro |x| ≥ 1
3. dětská postýlka ^-1 (-x) = π – postýlka ^-1 x, pro x ∈ R

Nemovitost 4

1. bez ^-1 x + cos ^-1 x = π/2, pro x ∈ [-1,1]
2. tak ^-1 x + dětská postýlka ^-1 x = π/2, pro x ∈ R
3. cosec ^-1 x + sec ^-1 x = π/2, pro |x| ≥ 1

Nemovitost 5

1. tak ^-1 x + tak ^-1 y = tak ^-1 ( x + y )/(1 – xy), pro xy <1
2. tak ^-1 x – tedy ^-1 y = tak ^-1 (x – y)/(1 + xy), pro xy> -1
3. tak ^-1 x + tak ^-1 y = π + tan ^-1 (x + y)/(1 – xy), pro xy>1; x, y> 0

Nemovitost 6

1. 2tan ^-1 x = hřích ^-1 (2x)/(1 + x ² ), pro |x| ≤ 1
2. 2tan ^-1 x = cos ^-1 (1-x ² )/(1 + x ² ), pro x ≥ 0
3. 2tan ^-1 x = tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ), pro -1

Identity inverzní goniometrické funkce

Následují identity inverzních goniometrických funkcí:

1. bez ^-1 (sin x) = x za předpokladu -π/2 ≤ x ≤ π/2
2. cos ^-1 (cos x) = x za předpokladu 0 ≤ x ≤ π
3. tak ^-1 (tan x) = x za předpokladu -π/2
4. bez ^-1 x) = x za předpokladu -1 ≤ x ≤ 1
5. cos (cos ^-1 x) = x za předpokladu -1 ≤ x ≤ 1
6. tak tak ^-1 x) = x za předpokladu x ∈ R
7. cosec (cosec ^-1 x) = x za předpokladu -1 ≤ x ≤ ∞ nebo -∞
8. sec (sek ^-1 x) = x za předpokladu 1 ≤ x ≤ ∞ nebo -∞
9. dětská postýlka (dětská postýlka ^-1 x) = x za předpokladu -∞
10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
13. 2cos ^-1 x = cos ^-1 (2x ² - 1)
14. 2sin ^-1 x = hřích ^-1 2x√(1 – x ² )
15. 3sin ^-1 x = hřích ^-1 (3x - 4x ³ )
16. 3cos ^-1 x = cos ^-1 (4x ³ – 3x)
17. 3tan ^-1 x = tak ^-1 ((3x – x ³ /1 – 3x ² ))
18. bez ^-1 x + hřích ^-1 y = bez ^-1 { x√(1 – y ² ) + y√(1 – x ² )}
19. bez ^-1 x – hřích ^-1 y = bez ^-1 { x√(1 – y ² ) – y√(1 – x ² )}
20. cos ^-1 x + cos ^-1 y = cos ^-1 [xy – √{(1 – x ² ) (1 – a ² )}]
21. cos ^-1 x – cos ^-1 y = cos ^-1 [xy + √{(1 – x ² ) (1 – a ² )}
22. tak ^-1 x + tak ^-1 y = tak ^-1 (x + y/1 – xy)
23. tak ^-1 x – tak ^-1 y = tak ^-1 (x – y/1 + xy)
24. tak ^-1 x + tak ^-1 a +tan ^-1 z = tak ^-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Lidé také vidí:

• Trigonometrie v matematice | Tabulka, vzorce, identity
• Seznam všech goniometrických identit
• Inverzní goniometrické funkce
• Grafy inverzních goniometrických funkcí

Ukázkové problémy s inverzními goniometrickými identitami

Otázka 1: Zkuste bez ^-1 x = sek ^-1 1/√ (1-x ² )

Řešení:

Nechte bez ^-1 x = y

⇒ sin y = x , (protože sin y = kolmice/hypotenza ⇒ cos y = √(1- kolmice ² )/hypotenze)

⇒ cos y = √(1 – x ² ), zde přepona = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x ² )

⇒ y = sec ^-1 1/√ (1 – x ² )

⇒ bez ^-1 x = sek ^-1 1/√ (1 – x ² )

Tedy dokázáno.

Otázka 2: Zkuste to ^-1 x = kosec ^-1 √ (1 + x ² )/X

Řešení:

Nech to tak ^-1 x = y

⇒ tan y = x, kolmice = x a základna = 1

⇒ sin y = x/√(x ² + 1) , (protože přepona = √ (kolmice ² + základna ² ))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x ² + 1)/x

⇒ y = kosec ^-1 √ (x ² + 1)/x

⇒ tak ^-1 x = kosec ^-1 √ (x ² + 1)/x

Tedy dokázáno.

Otázka 3: Ohodnoťte se jako ^-1 X)

Řešení:

Nechte cos ^-1 x = y

⇒ cos y = x , základ = x a přepona = 1 tedy sin y = √(1 – x ² )/1

⇒ tan y = hřích y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x ² )/X

⇒ y = tak ^-1 √ (1 – x ² )/X

⇒ cos ^-1 x = tak ^-1 √ (1 – x ² )/X

Proto tan(cos ^-1 x) = tan(tan ^-1 √ (1 – x ² )/x ) = √(1 – x ² )/X.

Otázka 4: tak ^-1 √(hřích x) + postýlka ^-1 √(hřích x) = y. Najděte cos a.

Řešení:

To opálení známe ^-1 x + dětská postýlka ^-1 x = /2 tedy porovnáním této identity s rovnicí uvedenou v otázce dostaneme y = π/2

Tedy cos y = cos π/2 = 0.

Otázka 5: tak ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan ^-1 x, x> 0. Řešte pro x.

Řešení:

tak ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan ^-1 X

⇒ 2tan ^-1 (1 – x)/(1 + x) = tan ^-1 x … (1)

To víme, 2tan ^-1 x = tak ^-1 2x/(1 – x ² ).

Proto lze LHS rovnice (1) zapsat jako

tak ^-1 [ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)] ² }]

= tak ^-1 [ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x) ² – (1 – x) ² }]

= tak ^-1 [ 2(1 – x ² )/(4x)]

= tak ^-1 (1-x ² )/(2x)

Protože, LHS = RHS tedy

tak ^-1 (1-x ² )/(2x) = opálení ^-1 X

⇒ (1 – x ² )/2x = x

⇒ 1 – x ² = 2x ²

⇒ 3x ² = 1

⇒ x = ± 1/√3

Protože x musí být větší než 0, je přijatelná odpověď x = 1/√3.

Otázka 6: Zkuste to ^-1 √x = (1/2) cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

Řešení:

Nech to tak ^-1 √x = y

⇒ tan y = √x

⇒ tak ² y = x

Proto,

RHS = (1/2) cos ^-1 (1 - tak ² y)/(1 + tan ² a)

= (1/2) cos ^-1 (cos ² a bez ² y)/(cos ² a + bez ² a)

= (1/2) cos ^-1 (cos ² a bez ² a)

= (1/2) cos ^-1 (což 2 roky)

= (1/2) (2 roky)

= a

= tak ^-1 √x

= LHS

Tedy dokázáno.

Otázka 7: tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + dětská postýlka ^-1 (1-x ² )/(2x) = π/2, -1