Vzorec inverzní tečny
V trigonometrii se úhly hodnotí s ohledem na základní goniometrické funkce trigonometrie, kterými jsou sinus, kosinus, tangens, kotangens, sečna a kosekans. Tyto goniometrické funkce mají své vlastní goniometrické poměry pod různými úhly, které se používají v goniometrických operacích. Tyto funkce mají také své inverze, které jsou známé jako arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec a arccosec.
Daný článek je studiem inverzní tečny nebo arktanu. Zahrnuje vysvětlení a odvození inverzní tečny, vzorec inverzní tečny pro vyhodnocení úhlů a některé ukázkové problémy.
Co je inverzní tangens?
Inverzní tečna je funkcí trigonometrie, která je inverzní tečna trigonometrické funkce. Je také známý jako arctan jako předpona „-arc“ znamená inverzní v trigonometrii. Inverzní tečna je označena tan -1 X.
Funkce inverzní tečna se používá k určení hodnoty úhlu poměrem (kolmice/základna).
Uvažujme úhel θ a tangens úhlu se rovná x. Pak dá inverzní funkci tečny.
As, x = tanθ
=> θ = tan -1 X
Matematicky je inverzní tečna odvozena z poměru kolmice k základně.
Uvažujme pravoúhlý trojúhelník PQR.
V pravoúhlém trojúhelníku bude funkce tečny PQR
=>tan θ = kolmice/základna
θ = tan -1 (p/b)
Vzorec inverzní tečny
Podobně jako tangens je goniometrická funkce, je inverzní tangens inverzní goniometrickou funkcí tečny. Hodnoty pro tyto inverzní funkce jsou odvozeny z odpovídajícího inverzního tangensového vzorce, který může být vyjádřen ve stupních nebo radiánech.
Seznam některých vzorců inverzní tečny je uveden níže:
- θ = arctan (kolmice/základna)
- arctan(-x) = -arctan(x) pro všechna x∈ R
- tan(arctan x) = x, pro všechna reálná čísla
- arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x); pokud x>0
(Nebo)
- arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) -π ; pokud x <0
- sin(arktan x) = x/ √(1+x2)
- cos(arktan x) = 1/ √(1+x2)
- arctan(x) =
- arctan(x) =
V trigonometrii existuje také samostatná sada vzorců inverzní tečny vzhledem k π.
- π/4 = 4 arctan(1/5) – arctan(1/239)
- π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
- π/4 = 2 arctan(1/2) – arctan(1/7)
- π/4 = 2 arktan(1/3) + arktan(1/7)
- π/4 = 8 arctanů (1/10) – 4 arctanů (1/515) – arctanů (1/239)
- π/4 = 3 arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)
Souhrnná tabulka inverzní tečny
Existují některé nastavené standardní hodnoty pro inverzní tečnu ve stupních i v radiánech. Tyto hodnoty jsou pevné nebo odvozené, aby bylo vyhodnocování úhlů v rámci dané funkce ještě pohodlnější. Níže uvedená tabulka tedy uvádí tyto hodnoty inverzní tečny ve stupních a v radiánech.
| X | Tak -1 (X) Stupeň | Tak -1 (X) Radian |
|---|---|---|
| -∞ | -90° | -p/2 |
| -3 | -71,565° | -1,2490 |
| -2 | -63,435° | -1,1071 |
| -√3 | -60° | -p/3 |
| -1 | -45° | -p/4 |
| -1/√3 | -30° | -p/6 |
| -1/2 | -26,565° | -0,4636 |
| 0 | 0° | 0 |
| 1/2 | 26,565° | 0,4636 |
| 1/√3 | 30° | p/6 |
| 1 | 45° | p/4 |
| √3 | 60° | p/3 |
| 2 | 63,435° | 1,1071 |
| 3 | 71,565° | 1,2490 |
| ∞ | 90° | p/2 |
Ukázkové problémy
Problém 1. Zhodnoťte sami sebe -1 (0,577).
Řešení:
Hodnota 0,577 se rovná tan30°.
=>0,577=hnědá (30°)
Pak,
=> tak -1 (0,577) = tak -1 (30°)
=>30°
Úloha 2. Jaká je převrácená hodnota tan60°?
Řešení:
Hodnota tan60° se rovná 1,732.
=>tan60°=1,732
Pak,
tak -1 (60°) = tak -1 (1 732)
=>1,732
Úloha 3. Jaká je převrácená hodnota tan45°?
Řešení:
Hodnota tan45° se rovná 1.
=>tan45°=1
Pak,
tak -1 (45°) = tak -1 (1)
=>1
Úloha 4. Jaká je převrácená hodnota tan30°?
Řešení:
Hodnota tan30° se rovná 0,577
=>tan60°=0,577
Pak,
tan-1(30°)=tan-1(0,577)
=>0,577
Úloha 5. Jaká je převrácená hodnota tan90°?
Řešení:
Hodnota tan90° se rovná 0.
=>tan60°=1,732
Pak,
tak -1 (90°) = tak -1 (0)
=>0
