Integrace goniometrických funkcí
Integrace je proces sčítání malých hodnot funkce v oblasti limit. Je to pravý opak diferenciace. Integrace je také známá jako anti-derivace. V tomto článku níže jsme vysvětlili integraci goniometrických funkcí.
Níže je uveden příklad integrace dané funkce.
např., Uvažujme funkci, f(y) = y 2 .
Tato funkce může být integrována jako:
∫y 2 ty =
frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C
Nicméně, an neurčitý integrál je funkce, která přebírá anti-derivaci jiné funkce. Je reprezentován jako integrální symbol (∫), funkce a derivace funkce na konci. Neurčitý integrál je jednodušší způsob, jak symbolizovat anti-derivát.
Pojďme se naučit, co je integrace matematicky, integrace funkce f(x) je dána F(x) a je reprezentována:
∫f(x)dx = F(x) + C
Zde R.H.S. rovnice znamená integrál f(x) vzhledem k x, F(x) se nazývá anti-derivační nebo primitivní, f(x) se nazývá integrand, dx se nazývá integrační činidlo, C se nazývá integrační konstanta nebo libovolná konstanta a x je proměnná integrace.
Některé důležité integrály goniometrických funkcí
Následuje seznam některých důležitých vzorců neurčitých integrálů na základu goniometrické funkce mít na paměti takto:
- ∫ sin x dx = -cos x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C
- ∫ sec 2 x dx = tan x + C
- ∫ kosec 2 x dx = -dětská postýlka x + C
- ∫ sek x tan x dx = sek x + C
- ∫ cosec x postýlka x dx = -cosec x + C
- ∫ tan x dx = ln | sek x | +C
- ∫ dětská postýlka x dx = ln | hřích x | + C
- ∫ sec x dx = ln | sek x + tan x | + C
- ∫ cosec x dx = ln | cosec x – dětská postýlka x | + C
Kde dx je derivace x, C je integrační konstanta a ln představuje logaritmus funkce uvnitř modulu (| |).
Obecně se problémy neurčitých integrálů na základě goniometrických funkcí řeší substituční metodou. Pojďme tedy diskutovat více o integraci metodou substituce takto:
Integrace substitucí
V této metodě integrace substitucí , jakýkoli daný integrál se převede na jednoduchou formu integrálu nahrazením nezávislé proměnné jinými. Podívejme se na příklad pro lepší pochopení.
Příklad: Zjednodušte ∫ 3x 2 hřích (x 3 ) dx.
Odpovědět:
Nechť I = ∫ 3x 2 hřích (x 3 ) dx.
Abychom daný integrál vyhodnotili, nahraďme libovolnou proměnnou novou proměnnou jako:
Nechte x 3 být t pro daný integrál.
Potom dt = 3x 2 dx
Proto,
I = ∫ 3x 2 hřích (x 3 ) dx = ∫ sin (x 3 ) (3x 2 dx)
Nyní dosaďte t za x 3 a dt pro 3x 2 dx ve výše uvedeném integrálu.
I = ∫ sin (t) (dt)
Jako ∫ sin x dx = -cos x + C, tedy
I = -cos t + C
Opět dosaďte zpět x 3 pro t ve výrazu jako:
I = ∫ 3x 2 hřích (x 3 ) dx = -cos x 3 + C
Což je požadovaný integrál.
Obecná forma integrace substitucí je tedy:
∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx
kde t = g(x)
Obvykle je metoda integrace substitucí mimořádně užitečná, když provádíme substituci za funkci, jejíž derivace je také přítomna v integrandu. Tím se funkce zjednoduší a pak lze k integraci funkce použít základní vzorce integrace.
V kalkulu je integrace substituční metodou také známá jako pravidlo obráceného řetězce nebo U-substituční metoda. Tuto metodu můžeme použít k nalezení integrální hodnoty, když je nastavena ve speciálním formuláři. To znamená, že daný integrál má tvar:
Přečtěte si více,
- Počet v matematice
- Integrály
- Integrální počet
- Diferenciace spouštěcích funkcí
- Goniometrické rovnice
Ukázkové úlohy integrace goniometrických funkcí
Úloha 1: Určete integrál následující funkce: f(x) = cos 3 X.
Řešení:
Uvažujme integrál dané funkce jako,
I = ∫ cos 3 x dx
Může být přepsán jako:
I = ∫ (cos x) (cos 2 x) dx
Použití trigonometrie identity; cos 2 x = 1 – hřích 2 x, dostáváme
I = ∫ (cos x) (1 – hřích 2 x) dx
⇒ I = ∫ cos x – cos x sin 2 x dx
⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin 2 x dx
Jako ∫ cos x dx = sin x + C,
Tedy I = hřích x – ∫ hřích 2 x cos x dx . . . (1)
Nechť, hřích x = t
⇒ cos x dx = dt.
Dosaďte t za sin x a dt za cos x dx ve druhém členu výše uvedeného integrálu.
I = hřích x – ∫ t 2 dt
⇒ I = hřích x – t 3 /3 + C
Opět dosaďte zpět sin x za t ve výrazu.
Proto ∫ cos 3 x dx = hřích x – hřích 3 x / 3 + C.
Úloha 2: Jestliže f(x) = sin 2 (x) cos 3 (x) pak určete ∫ sin 2 (x) cos 3 (x) dx.
Řešení:
Uvažujme integrál dané funkce jako,
I = ∫sin 2 (x) cos 3 (x) dx
Použití trigonometrie identity; cos 2 x = 1 – hřích 2 x, dostáváme
I = ∫sin 2 x (1 – hřích 2 x) cos x dx
Nechť potom sin x = t,
⇒ dt = cos x dx
Dosaďte je do výše uvedeného integrálu jako,
I = ∫ t 2 (1 – t 2 ) dt
⇒ I = ∫ t 2 – t 4 dt
⇒ I = t 3 / 3 – t 5 / 5 + C
Dosaďte zpět hodnotu t ve výše uvedeném integrálu jako,
Tedy já = hřích 3 x / 3 – bez 5 x / 5 + C.
Úloha 3: Nechť f(x) = sin 4 (x) pak najděte ∫ f(x)dx. tj. ∫ hřích 4 (x) dx.
Řešení:
Uvažujme integrál dané funkce jako,
I = ∫sin 4 (x) dx
⇒ I = ∫ (bez 2 (X)) 2 dx
Používání identity trigonometrie; hřích 2 (x) = (1 – cos (2x)) / 2, dostaneme
I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2} 2 dx
⇒ I = (1/4) × ∫ (1+kos 2 (2x)- 2 cos2x) dx
⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos 2 (2x) dx – 2 ∫ cos2x dx
⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]
⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + hřích 4x / 8 – hřích 2x ] + C
⇒ I = 3x / 8 + hřích 4x / 32 – hřích 2x / 4 + C
Proto ∫ hřích 4 (x) dx = 3x / 8 + hřích 4x / 32 – hřích 2x / 4 + C
Problém 4: Najděte integraci
Řešení:
Uvažujme integrál dané funkce jako,
I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx Nechť t = opálení -1 X . . . (1)
Nyní rozlišujte obě strany s ohledem na x:
dt = 1 / (1+x 2 ) dx
Daný integrál tedy bude:
I = ∫ e t dt
⇒ I = e t + C . . . (2)
Dosaďte hodnotu (1) do (2) takto:
⇒
I = e^{tan^{-1}x} + C Což je požadovaná integrace pro danou funkci.
Úloha 5: Najděte integrál funkce f (x) definované jako,
f(x) = 2x cos (x 2 – 5) dx
Řešení:
Uvažujme integrál dané funkce jako,
I = ∫ 2x cos (x 2 – 5) dx
Nechte (x 2 – 5) = t . . . (1)
Nyní rozlišujte obě strany vzhledem k x jako,
2x dx = dt
Dosazením těchto hodnot do výše uvedeného integrálu
I = ∫ cos (t) dt
⇒ I = sin t + C . . . (2)
Dosaďte hodnotovou rovnici (1) do rovnice (2) jako,
⇒ I = hřích (x 2 – 5) + C
Toto je požadovaná integrace pro danou funkci.
Úloha 6: Určete hodnotu daného neurčitého integrálu, I = ∫ cot (3x +5) dx.
Řešení:
Daný integrál lze zapsat jako,
I = ∫ postýlka (3x +5) dx
⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx
Nechť, t = hřích (3x + 5)
⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx
⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3
Tím pádem,
I = ∫ dt / 3 sin t
⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C
Nahraďte t sin (3x+5) ve výše uvedeném výrazu.
I = (1 / 3) ln | hřích (3x+5) | + C
Toto je požadovaná integrace pro danou funkci.
Integrace goniometrických funkcí – FAQ
Co je integrace goniometrické funkce?
Integrace goniometrických funkcí, jak název napovídá, je proces výpočtu integrace nebo primitivní funkce goniometrických funkcí. Toto je obrácený proces derivace goniometrických funkcí.
Co jsou základní goniometrické funkce?
Základní goniometrické funkce jsou:
- sinus (bez),
- kosinus (cos),
- tečna (tan),
- kotangens (loket),
- secant (sec) a
- kosekant (csc).
Jak integrujete funkce sinus (sin) a kosinus (cos)?
Pro integraci funkcí sinus a kosinus můžeme použít následující vzorce:
- ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
- ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
Kde C je konstantou integrace.
Jaká je integrace tangens (tan) trigonometrické funkce?
Integrál funkce tangens je dán takto:
∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C
Kde,
- ln představuje přirozený logaritmus a
- C je konstantou integrace.
Jak najít integrál sečnové (sec) trigonometrické funkce?
Integrál sečenské funkce je dán takto:
∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
Kde,
- ln představuje přirozený logaritmus a
- C je konstantou integrace.
Co je integrace kotangens (cot) trigonometrické funkce?
Integrál funkce kotangens lze vypočítat pomocí následujícího vzorce:
∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
Kde,
- ln představuje přirozený logaritmus a
- C je konstantou integrace.
Jak najít integrál funkce kosekant (cosec)?
Integrál funkce kosekans je dán takto:
∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – dětská postýlka x | + C
Kde,
- ln představuje přirozený logaritmus a
- C je konstantou integrace.
