Soient A, B et C des ensembles, R une relation de A à B et S une relation de B à C. Autrement dit, R est un sous-ensemble de A × B et S est un sous-ensemble de B × C. Alors R et S donnent lieu à une relation de A à C indiquée par R◦S et définie par :

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S  

La relation R◦S est connue pour la composition de R et S ; il est parfois désigné simplement par RS.

Soit R une relation sur un ensemble A, c'est-à-dire que R est une relation d'un ensemble A à lui-même. Alors R◦R, la composition de R avec lui-même, est toujours représentée. De plus, R◦R est parfois noté R ² . De même, R ³ = R ² ◦R = R◦R◦R, et ainsi de suite. Ainsi R ⁿ est défini pour tout n positif.

Exemple 1: Soit X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} et Z = {l, m, n}. Considérons la relation R ₁ de X à Y et R ₂ de Y à Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}  

Trouver la composition de la relation (je) R. ₁ le R ₂ (ii) R. ₁ le R ₁ ^-1

Solution:

(i) La relation de composition R ₁ le R ₂ comme le montre la figure :

R. ₁ le R ₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) La relation de composition R ₁ le R ₁ ^-1 comme le montre la figure :

R. ₁ le R ₁ ^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Composition des relations et des matrices

Il existe une autre façon de trouver R◦S. Laisse moi _R. et M _S désignent respectivement les représentations matricielles des relations R et S. Alors

Exemple

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR  

Solution: Les matrices de la relation R et S sont représentées sur la figure :

(i) Pour obtenir la composition de la relation R et S. Multipliez d’abord M _R. avec M _S pour obtenir la matrice M _R. xM _S comme le montre la figure :

Les entrées non nulles dans la matrice M _R. xM _S indique les éléments liés dans RoS. Donc,

D’où la composition R o S de la relation R et S est

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.  

(ii) Tout d’abord, multipliez la matrice M _R. par lui-même, comme le montre la fig

D’où la composition R o R de la relation R et S est

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}  

(iii) Multipliez la matrice M _S avec M _R. pour obtenir la matrice M _S xM _R. comme le montre la figure :

Les entrées non nulles dans la matrice M _S xM _R. raconte les éléments liés dans S o R.

D’où la composition S o R de la relation S et R est

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.