LÒGICA PROPOSICIONAL

La lògica proposicional és una branca de les matemàtiques que estudia les relacions lògiques entre proposicions (o enunciats, oracions, assercions) considerades com un tot i connectades mitjançant connectius lògics.

En aquest article, hem tractat amb detall la lògica proposicional i temes relacionats.

Taula de contingut

Què és la lògica?
Lògica proposicional
Taula de la Veritat

1. Negació
2. Conjunció
3. Disjunció
4. Exclusiu O
5. Implicació
6. Implicació bicondicional o doble

Què és la lògica?

La lògica és la base de tot raonament matemàtic i de tot raonament automatitzat. Les regles de la lògica especifiquen el significat dels enunciats matemàtics. Aquestes regles ens ajuden a entendre i raonar amb afirmacions com ara:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Que en anglès simple vol dir Hi ha un nombre enter que no és la suma de dos quadrats .

Importància de la lògica matemàtica

Les regles de la lògica donen un significat precís als enunciats matemàtics. Aquestes regles s'utilitzen per distingir entre arguments matemàtics vàlids i no vàlids. A banda de la seva importància en la comprensió del raonament matemàtic, la lògica té nombroses aplicacions en Informàtica, que van des del disseny de circuits digitals fins a la construcció de programes informàtics i la verificació de la correcció dels programes.

Què és una proposició? Una proposició és el bloc bàsic de la lògica. Es defineix com una oració declarativa que és vertader o fals, però no totes dues. El Valor de Veritat d'una proposició és Vertader (indicat com a T) si és un enunciat vertader, i Fals (indicat com a F) si és un enunciat fals. Per exemple,

El sol surt per l'est i es pon per l'oest.
1 + 1 = 2
'b' és una vocal.

Totes les frases anteriors són proposicions, on les dues primeres són vàlides (vertader) i la tercera no és vàlida (fals). Algunes frases que no tenen un valor de veritat o poden tenir més d'un valor de veritat no són proposicions. Per exemple,

Quina hora es?
Sortir i jugar
x + 1 = 2

Les frases anteriors no són proposicions ja que les dues primeres no tenen un valor de veritat, i la tercera pot ser vertadera o falsa. Per representar proposicions, variables proposicionals s'utilitzen. Per convenció, aquestes variables es representen amb alfabets petits com ara p,:q,:r,:s . L'àrea de la lògica que tracta les proposicions s'anomena càlcul proposicional o lògica proposicional . També inclou la producció de noves propostes utilitzant les existents. Les proposicions construïdes amb una o més proposicions s'anomenen proposicions compostes . Les proposicions es combinen utilitzant Connexions lògiques o Operadors lògics .

Lògica proposicional

Taula de la Veritat

Com que necessitem conèixer el valor de veritat d'una proposició en tots els escenaris possibles, considerem totes les combinacions possibles de les proposicions que s'uneixen per connectives lògiques per formar la proposició composta donada. Aquesta compilació de tots els escenaris possibles en format tabular s'anomena a taula de veritat . Connections lògiques més habituals-

1. Negació

Si p és una proposició, després la negació de p es denota per eg p , que quan es tradueix a l'anglès simple significa- No és el cas que pàg o simplement no pàg . El valor de veritat de -p és el contrari del valor de veritat de pàg . La taula de la veritat -p és:

pàg	¬p
T	F
F	T

Exemple, Negació de Avui plou, és No és el cas que avui plou o simplement avui no plou.

2. Conjunció

Per a dues proposicions qualsevol p i q , la seva conjunció es denota per pwedge q , que significa p i q . La conjunció pwedge q és cert quan tots dos p i q són vertaderes, en cas contrari falses. La taula de la veritat pwedge q és:

pàg	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Exemple, Conjunció de les proposicions p – Avui és divendres i q —Avui plou, pwedge q és Avui és divendres i avui plou. Aquesta proposició és certa només els divendres plujosos i és falsa en qualsevol altre dia plujós o els divendres en què no plou.

3. Disjunció

Per a dues proposicions qualsevol p i q , la seva disjunció es denota per pvee q , que significa p o q . La disjunció pvee q és cert quan tampoc p o q és vertader, en cas contrari és fals. La taula de la veritat pvee q és:

pàg	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Exemple, Disjunció de les proposicions p – Avui és divendres i q —Avui plou, pvee q és Avui és divendres o avui plou. Aquesta proposició és certa en qualsevol dia que sigui un divendres o un dia plujós (inclosos els divendres plujosos) i és falsa en qualsevol dia que no sigui divendres quan tampoc no plou.

4. Exclusiu O

Per a dues proposicions qualsevol p i q , la seva exclusiva o es denota per poplus q , que vol dir qualsevol p o q però no tots dos. L'exclusiu o poplus q és cert quan tampoc p o q és Vertader i Fals quan tots dos són certs o tots dos són falsos. La taula de la veritat poplus q és:

pàg	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Exemple, Exclusiu o de les proposicions p – Avui és divendres i q —Avui plou, poplus q és O avui és divendres o avui plou, però no tots dos. Aquesta proposició és certa en qualsevol dia que sigui un divendres o un dia plujós (sense incloure els divendres plujosos) i és falsa en qualsevol dia que no sigui divendres quan no plou o divendres plujós.

5. Implicació

Per a dues proposicions qualsevol p i q , la declaració si p aleshores q s'anomena implicació i es denota per p ightarrow q . En la implicació p ightarrow q , p s'anomena el hipòtesi o antecedent o premissa i q s'anomena el conclusió o conseqüència . La implicació és p ightarrow q també s'anomena a enunciat condicional . La implicació és falsa quan p és cert i q és fals en cas contrari és veritat. La taula de la veritat p ightarrow q és:

pàg	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Un es podria preguntar per què p ightarrow q cert quan p és fals. Això és perquè la implicació garanteix que quan p i q són certes, llavors la implicació és certa. Però la implicació no garanteix res quan la premissa p és fals. No hi ha manera de saber si la implicació és falsa o no p no va passar. Aquesta situació és similar a l'Innocent fins a la posició de culpabilitat provada, el que significa que la implicació p ightarrow q es considera vertader fins que no es demostri que és fals. Ja que no podem anomenar la implicació p ightarrow q fals quan p és fals, la nostra única alternativa és dir-ho vertader.

Això es desprèn del Principi d'explosió que diu: Una afirmació falsa implica qualsevol cosa Les declaracions condicionals tenen un paper molt important en el raonament matemàtic, per tant, s'utilitza una varietat de terminologia per expressar p ightarrow q , alguns dels quals s'enumeren a continuació.

Si p, aleshores qp és suficient per a qq quan pa la condició necessària per a p és qp només si qq tret que ≠pq segueixi de p

Exemple, Si és divendres, avui plou és una proposta que és de la forma p ightarrow q . La proposició anterior és certa si no és divendres (la premissa és falsa) o si és divendres i plou, i és falsa quan és divendres però no plou.

6. Implicació bicondicional o doble

Per a dues proposicions qualsevol p i q , la declaració p si i només si (iff) q s'anomena bicondicional i es denota per pleftrightarrow q . La declaració pleftrightarrow q també s'anomena a bi-implicació . pleftrightarrow q té el mateix valor de veritat que (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) La implicació és certa quan p i q tenen els mateixos valors de veritat, i és fals en cas contrari. La taula de la veritat pleftrightarrow q és:

pàg	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Algunes altres maneres habituals d'expressar-se pleftrightarrow q són:

p és necessari i suficient per a qif p llavors q, i a la inversa si q

Per exemple, avui plou si i només si avui és divendres. és una proposició que és de la forma pleftrightarrow q . La proposició anterior és certa si no és divendres i no plou o si és divendres i plou, i és falsa quan no és divendres o no plou. Exercici:

1) Considereu les afirmacions següents: