Най-големият плюс или „+“, образуван от всички единици в двоична квадратна матрица
Като се има предвид ан n × n двоична матрица заедно с състоящ се от 0s и 1s . Вашата задача е да намерите размера на най-големия "+" форма, която може да се формира само с помощта на 1s .
А "+" формата се състои от централна клетка с четири рамена, простиращи се във всичките четири посоки ( нагоре надолу наляво и надясно ), оставайки в границите на матрицата. Размерът на a "+" се определя като общ брой клетки оформяйки го, включително центъра и всички ръце.
Задачата е да върнете максимален размер на всеки валиден "+" в заедно с . Ако не "+" може да се формира връщане .
Примери:
вход: с = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ]
Изход: 9
Обяснение: „+“ с дължина на ръката 2 (2 клетки във всяка посока + 1 център) може да се формира в центъра на постелката.
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 10
Общ размер = (2 × 4) + 1 = 9вход: с = [ [0 1 1] [0 0 1] [1 1 1] ]
Изход: 1
Обяснение: „+“ с дължина на ръката 0 (0 клетки във всяка посока + 1 център) може да се формира с всяка от 1-ците.вход: с = [ [0] ]
Изход:
Обяснение: не Може да се образува знак „+“.
[Наивен подход] - Считайте всяка точка за център - O(n^4) време и O(n^4) пространство
Преминете през клетките на матрицата една по една. Разгледайте всяка пресечена точка като център на плюс и намерете размера на +. За всеки елемент преминаваме наляво надясно долу и нагоре. Най-лошият случай в това решение се случва, когато имаме всички единици.
[Очакван подход] - Предварително изчислени 4 масива - O(n^2) време и O(n^2) пространство
The идея е да се поддържат четири спомагателни матрици отляво[][] отдясно[][] отгоре[][] отдолу[][] за съхраняване на последователни 1 във всяка посока. За всяка клетка (i j) във входната матрица съхраняваме информацията по-долу в тези четири матрици -
- ляво (i j) съхранява максимален брой последователни 1 до наляво на клетка (i j), включително клетка (i j).
- надясно (i j) съхранява максимален брой последователни 1 до точно на клетка (i j), включително клетка (i j).
- отгоре (i j) съхранява максимален брой последователни 1 в отгоре на клетка (i j), включително клетка (i j).
- дъно (i j) съхранява максимален брой последователни 1 в отдолу на клетка (i j), включително клетка (i j).
След изчисляване на стойността за всяка клетка от горните матрици най-големият'+' ще се формира от клетка на входна матрица, която има максимална стойност, като се вземе предвид минимумът от ( отляво (i j) отдясно (i j) отгоре (i j) отдолу (i j) )
Можем да използваме Динамично програмиране за да изчислим общия брой последователни 1 във всяка посока:
ако mat(i j) == 1
ляво(i j) = ляво(i j - 1) + 1иначе ляво (i j) = 0
ако mat(i j) == 1
иначе top(i j) = 0;
ако mat(i j) == 1
bottom(i j) = bottom(i + 1 j) + 1;иначе дъно (i j) = 0;
ако mat(i j) == 1
дясно(i j) = дясно(i j + 1) + 1;иначе право(i j) = 0;
По-долу е изпълнението на горния подход:
C++ // C++ program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming #include using namespace std ; int findLargestPlus ( vector < vector < int >> & mat ) { int n = mat . size (); vector < vector < int >> left ( n vector < int > ( n 0 )); vector < vector < int >> right ( n vector < int > ( n 0 )); vector < vector < int >> top ( n vector < int > ( n 0 )); vector < vector < int >> bottom ( n vector < int > ( n 0 )); // Fill left and top matrices for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { left [ i ][ j ] = ( j == 0 ) ? 1 : left [ i ][ j - 1 ] + 1 ; top [ i ][ j ] = ( i == 0 ) ? 1 : top [ i - 1 ][ j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( int i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( int j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { right [ i ][ j ] = ( j == n - 1 ) ? 1 : right [ i ][ j + 1 ] + 1 ; bottom [ i ][ j ] = ( i == n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 ; } } } int maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { int armLength = min ({ left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ]}); maxPlusSize = max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } int main () { // Hardcoded input matrix vector < vector < int >> mat = { { 0 1 1 0 1 } { 0 0 1 1 1 } { 1 1 1 1 1 } { 1 1 1 0 1 } { 0 1 1 1 0 } }; cout < < findLargestPlus ( mat ) < < endl ; return 0 ; }
Java // Java program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming class GfG { static int findLargestPlus ( int [][] mat ) { int n = mat . length ; int [][] left = new int [ n ][ n ] ; int [][] right = new int [ n ][ n ] ; int [][] top = new int [ n ][ n ] ; int [][] bottom = new int [ n ][ n ] ; // Fill left and top matrices for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { left [ i ][ j ] = ( j == 0 ) ? 1 : left [ i ][ j - 1 ] + 1 ; top [ i ][ j ] = ( i == 0 ) ? 1 : top [ i - 1 ][ j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( int i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( int j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { right [ i ][ j ] = ( j == n - 1 ) ? 1 : right [ i ][ j + 1 ] + 1 ; bottom [ i ][ j ] = ( i == n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 ; } } } int maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] == 1 ) { int armLength = Math . min ( Math . min ( left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] ) Math . min ( top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ] )); maxPlusSize = Math . max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } public static void main ( String [] args ) { // Hardcoded input matrix int [][] mat = { { 0 1 1 0 1 } { 0 0 1 1 1 } { 1 1 1 1 1 } { 1 1 1 0 1 } { 0 1 1 1 0 } }; System . out . println ( findLargestPlus ( mat )); } }
Python # Python program to find the largest '+' in a binary matrix # using Dynamic Programming def findLargestPlus ( mat ): n = len ( mat ) left = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] right = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] top = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] bottom = [[ 0 ] * n for i in range ( n )] # Fill left and top matrices for i in range ( n ): for j in range ( n ): if mat [ i ][ j ] == 1 : left [ i ][ j ] = 1 if j == 0 else left [ i ][ j - 1 ] + 1 top [ i ][ j ] = 1 if i == 0 else top [ i - 1 ][ j ] + 1 # Fill right and bottom matrices for i in range ( n - 1 - 1 - 1 ): for j in range ( n - 1 - 1 - 1 ): if mat [ i ][ j ] == 1 : right [ i ][ j ] = 1 if j == n - 1 else right [ i ][ j + 1 ] + 1 bottom [ i ][ j ] = 1 if i == n - 1 else bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 maxPlusSize = 0 # Compute the maximum '+' size for i in range ( n ): for j in range ( n ): if mat [ i ][ j ] == 1 : armLength = min ( left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ]) maxPlusSize = max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ) return maxPlusSize if __name__ == '__main__' : # Hardcoded input matrix mat = [ [ 0 1 1 0 1 ] [ 0 0 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 0 1 ] [ 0 1 1 1 0 ] ] print ( findLargestPlus ( mat ))
C# // C# program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming using System ; class GfG { static int FindLargestPlus ( int [] mat ) { int n = mat . GetLength ( 0 ); int [] left = new int [ n n ]; int [] right = new int [ n n ]; int [] top = new int [ n n ]; int [] bottom = new int [ n n ]; // Fill left and top matrices for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i j ] == 1 ) { left [ i j ] = ( j == 0 ) ? 1 : left [ i j - 1 ] + 1 ; top [ i j ] = ( i == 0 ) ? 1 : top [ i - 1 j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( int i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( int j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i j ] == 1 ) { right [ i j ] = ( j == n - 1 ) ? 1 : right [ i j + 1 ] + 1 ; bottom [ i j ] = ( i == n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 j ] + 1 ; } } } int maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i j ] == 1 ) { int armLength = Math . Min ( Math . Min ( left [ i j ] right [ i j ]) Math . Min ( top [ i j ] bottom [ i j ])); maxPlusSize = Math . Max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } public static void Main () { // Hardcoded input matrix int [] mat = { { 0 1 1 0 1 } { 0 0 1 1 1 } { 1 1 1 1 1 } { 1 1 1 0 1 } { 0 1 1 1 0 } }; Console . WriteLine ( FindLargestPlus ( mat )); } }
JavaScript // JavaScript program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming function findLargestPlus ( mat ) { let n = mat . length ; let left = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); let right = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); let top = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); let bottom = Array . from ({ length : n } () => Array ( n ). fill ( 0 )); // Fill left and top matrices for ( let i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( let j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] === 1 ) { left [ i ][ j ] = ( j === 0 ) ? 1 : left [ i ][ j - 1 ] + 1 ; top [ i ][ j ] = ( i === 0 ) ? 1 : top [ i - 1 ][ j ] + 1 ; } } } // Fill right and bottom matrices for ( let i = n - 1 ; i >= 0 ; i -- ) { for ( let j = n - 1 ; j >= 0 ; j -- ) { if ( mat [ i ][ j ] === 1 ) { right [ i ][ j ] = ( j === n - 1 ) ? 1 : right [ i ][ j + 1 ] + 1 ; bottom [ i ][ j ] = ( i === n - 1 ) ? 1 : bottom [ i + 1 ][ j ] + 1 ; } } } let maxPlusSize = 0 ; // Compute the maximum '+' size for ( let i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( let j = 0 ; j < n ; j ++ ) { if ( mat [ i ][ j ] === 1 ) { let armLength = Math . min ( left [ i ][ j ] right [ i ][ j ] top [ i ][ j ] bottom [ i ][ j ]); maxPlusSize = Math . max ( maxPlusSize ( 4 * ( armLength - 1 )) + 1 ); } } } return maxPlusSize ; } // Hardcoded input matrix let mat = [ [ 0 1 1 0 1 ] [ 0 0 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 0 1 ] [ 0 1 1 1 0 ] ]; console . log ( findLargestPlus ( mat ));
Изход
9
Времева сложност: O(n²) поради четири преминавания за изчисляване на насочените матрици и едно последно преминаване за определяне на най-големия „+“. Всяко преминаване отнема O(n²) време, което води до обща сложност от O(n²).
Пространствена сложност: O(n²) поради четири спомагателни матрици (ляво дясно горе долу), които заемат O(n²) допълнително пространство.
