У математиці терміни степенів і степенів використовуються, коли число множиться на себе в певну кількість разів. Наприклад, 4 × 4 × 4= 64. Це також можна записати скорочено як 4 ³ = 64. Тут 4 ³ означає, що число 4 помножене на себе втричі, а скорочена форма 4 ³ є експоненціальним виразом. Число 4 є основою числа, тоді як число 3 є показником степеня, і ми читаємо даний експоненціальний вираз як 4, зведене в ступінь 3. У експоненціальному виразі основа є множником, який багаторазово множиться сам на себе, тоді як експонента - це кількість разів, коли фактор з'являється.

Визначення степенів і степенів

Якщо число помножити саме на себе n разів , отриманий вираз відомий як n-й ступінь заданого числа. Існує дуже тонка різниця між показником ступеня та степенем. Експонента — це кількість разів, коли дане число було помножено на саме себе, тоді як ступінь — це значення добутку основного числа, зведеного до експоненти. За допомогою експоненціальної форми чисел ми можемо зручніше виражати надзвичайно великі та малі числа. Наприклад, 100000000 можна виразити як 1 × 10 ⁸ , а 0,0000000000013 можна виразити як 13 × 10 ^-13 . Це полегшує читання чисел, допомагає підтримувати їх точність, а також економить наш час.

Правила обчислення степенів і ступенів

Правила степенів і ступенів пояснюють, як додавати, віднімати, множити та ділити показники степенів, а також як розв’язувати різноманітні математичні рівняння, що включають показники степенів і степені.

Правило 1: Закон добутку степенів

Відповідно до цього закону, коли показники степеня з однаковими основами множаться, показники степеня додаються.

Закон добутку степенів: a ^м × а ^п =a ^{(m+ n)}

Правило 2: Правило частки степенів

Відповідно до цього закону, щоб поділити два показники з однаковими основами, нам потрібно відняти показники.

Правило частки степеня: a ^м /a ^п =a ^(m–n)

Правило 3: Сила влади

Відповідно до цього закону, якщо експоненціальне число звести в інший ступінь, то степені перемножуються.

Сила сили: правило: (а ^м ) ^п =a ^{(m × n)}

Правило 4: Сила правила продукту

Відповідно до цього закону, нам потрібно помножити різні основи і піднести той самий показник до добутку основ.

Сила правила продукту: a ^м × б ^м =(a × b) ^м .

Правило 5: Правило частки

Відповідно до цього закону, нам потрібно розділити різні підстави і піднести той самий показник степеня до частки основ.

Правило частки: a ^м ÷ б ^м =(a/b) ^м

Правило 6: Правило нульового показника

Відповідно до цього закону, якщо значення підстави, зведене в нульовий ступінь, дорівнює 1.

Правило нульового показника: a ⁰ =1

Правило 7: Правило від’ємного показника

Відповідно до цього закону, якщо показник степеня є від’ємним, то можна змінити показник степеня на додатний, взявши величину, зворотну експоненціальному числу.

Правило від’ємного показника: a ^-м = 1/а ^м

Правило 8: Правило дробового показника

Відповідно до цього закону, коли ми маємо дробовий показник, то це призводить до радикалів.

Правило дробового показника: a ^(1/n) = ^п √a

a ^(м/н) = ^п √a ^м

Що означає 10 у ступені 4?

рішення:

Давайте обчислимо значення 10 до 4-го середнього, тобто 10 ⁴

Ми знаємо, що згідно з правилом степеня степеня,

a ^м = a × a × a… m разів

Отже, ми можемо написати 10 ⁴ як 10 × 10 × 10 × 10 = 10000

тому

значення 10 у ступені 4, тобто 10 ⁴ становить 10000.

Зразки завдань

Задача 1: Знайдіть значення 3 ⁶ .

рішення:

Даний вираз дорівнює 3 ⁶ .

Основа даного експоненціального виразу дорівнює 3, а показник степеня дорівнює 6, тобто даний вираз читається як 3 зведене до степеня 6.

Отже, розширивши 3 ⁶ , отримуємо 3 ⁶ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Отже, значення 3 ⁶ становить 729.

Завдання 2: Визначте показник степеня та ступінь для виразу (12) ⁵ .

рішення:

Даний вираз дорівнює 12 ⁵ .

Основа даного експоненціального виразу дорівнює 12, а показник степеня дорівнює 5, тобто даний вираз читається як 12 піднесене до степеня 5.

Проблема 3: Оцінити (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ .

рішення:

Дано: (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷

Ми це знаємо, а ^м × а ^п = а ^{(m + n)}

Отже, (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷ = (2/7) ^(-5+7)

= (2/7) ² = 4/49

Отже, (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ = 4/49

Задача 4: Знайдіть значення x у заданому виразі: 5 ^3x-2 = 625.

рішення:

Дано, 5 ^3x-2 = 625.

5 ^3x-2 = 5 ⁴

Порівнюючи показники аналогічної основи, отримуємо

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Отже, значення x дорівнює 2.

Завдання 5. Знайдіть значення k у заданому виразі: (-2/3) ⁴ 23) ^{- п'ятнадцять} = (23) ^7k+3

рішення:

враховуючи,

(-23) ⁴ 23) ^{- п'ятнадцять} = (23) ^7k+3

23) ⁴ 23) ^{- п'ятнадцять} = (23) ^7k+3 {Оскільки (-x) ⁴ = х ⁴ }

Ми це знаємо, а ^м × а ^п = а ^{(m + n)}

23) ^4-15 = (2/3)7k+3

23) ^{-одинадцять} = (23) ^7k+3

Порівнюючи показники аналогічної основи, отримуємо

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Отже, значення k дорівнює -2.