Формула підсумовування
У математиці підсумовування - це основне додавання послідовності будь-яких чисел, які називаються доданками або доданками; результатом є їх сума або підсумок. У математиці числа, функції, вектори, матриці, поліноми та, загалом, елементи будь-якого математичного об’єкта можуть бути пов’язані з операцією, яка називається додаванням/підсумовуванням і позначається як +.
Підсумовування явної послідовності позначається як послідовність додавання. Наприклад, підсумовування (1, 3, 4, 7) можна позначити як 1 + 3 + 4 + 7, а результат для наведеного вище позначення дорівнює 15, тобто 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Оскільки операція додавання є асоціативною та комутативною, немає потреби в дужках під час перерахування ряду/послідовності, і результат буде однаковим незалежно від порядку доданків.
Зміст
- Що таке формула підсумовування?
- Де використовувати формулу підсумовування?
- Властивості сумації
- Стандартні формули підсумовування
- Приклад формули підсумовування
- Поширені запитання щодо формули підсумовування
Що таке формула підсумовування?
Підсумовування або сигма (∑) запис — це метод, який використовується для стислого запису довгої суми. Це позначення можна приєднати до будь-якої формули чи функції.
Наприклад, i=1 ∑ 10 (i) є сигма-нотацією додавання кінцевої послідовності 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, де перший елемент дорівнює 1, а останній – 10.
Формули підсумовування
Де використовувати формулу підсумовування?
Сумаційний запис можна використовувати в різних областях математики:
- Послідовність в серії
- Інтеграція
- Ймовірність
- Перестановка та комбінування
- Статистика
Примітка: Підсумовування — це коротка форма повторюваного додавання. Ми також можемо замінити підсумовування циклом додавання.
Властивості сумації
Властивість 1
i=1 ∑ п c = c + c + c + …. + c (n) разів = nc
Наприклад: Знайдіть значення i=1 ∑ 4 в.
Використовуючи властивість 1, ми можемо безпосередньо обчислити значення i=1 ∑ 4 c як 4×c = 4c.
Властивість 2
c=1 ∑ п kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) разів = k × (1 + … + n) = k c=1 ∑ п в
Наприклад: Знайдіть значення i=1 ∑ 4 5і.
Використовуючи властивості 2 і 1, ми можемо безпосередньо обчислити значення i= 1 ∑ 4 5i як 5 × i=1 ∑ 4 i = 5 × (1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Властивість 3
c=1 ∑ п (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) разів = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c=1 ∑ п в
Наприклад: Знайдіть значення i=1 ∑ 4 (5+і).
Використовуючи властивості 2 і 3, ми можемо безпосередньо обчислити значення i=1 ∑ 4 (5+i) як 5×4 + i=1 ∑ 4 i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
Властивість 4
k=1 ∑ п (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ п f(k) + k=1 ∑ п g(k)
Наприклад: Знайти значення i=1 ∑ 4 (я + я 2 ).
Використовуючи властивість 4, ми можемо безпосередньо обчислити значення i=1 ∑ 4 (я + я 2 ) як i=1 ∑ 4 я + i=1 ∑ 4 i 2 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Стандартні формули підсумовування
Різні формули підсумовування:
Сума перших n натуральних чисел: (1+2+3+…+n) = i=1 ∑ п (i) = [n × (n +1)]/2
Сума квадратів перших n натуральних чисел: (1 2 +2 2 +3 2 +…+н 2 ) = i=1 ∑ п (я 2 ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6
Сума кубів перших n натуральних чисел: (1 3 +2 3 +3 3 +…+н 3 ) = i=1 ∑ п (я 3 ) = [н 2 ×(n +1) 2 )]/4
Сума перших n парних натуральних чисел: (2+4+…+2n) = i=1 ∑ п (2i) = [n × (n +1)]
Сума перших n непарних натуральних чисел: (1+3+…+2n-1) = i=1 ∑ п (2i-1) = n 2
Сума квадратів перших n парних натуральних чисел: (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = i=1 ∑ п (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
Сума квадратів перших n непарних натуральних чисел: (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = i=1 ∑ п (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
Сума куба перших n парних натуральних чисел: (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = i=1 ∑ п (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
Сума куба перших n непарних натуральних чисел: (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = i=1 ∑ п (2i-1) 3 = n 2 (2н 2 - 1)
Схожі статті:
- Сума натуральних чисел
- Сума в математиці
- Арифметичні операції
- Арифметична прогресія та геометрична прогресія
Приклад формули підсумовування
Приклад 1: Знайдіть суму перших 10 натуральних чисел, використовуючи формулу підсумовування.
рішення:
Використання формули підсумовування суми n натурального числа i=1 ∑ п (i) = [n × (n +1)]/2
Маємо суму перших 10 натуральних чисел = i=1 ∑ 10 (i) = [10 × (10 +1)]/2 = 55
Приклад 2: Знайдіть суму 10 перших натуральних чисел, більших за 5, використовуючи формулу підсумовування.
рішення:
Відповідно до запитання:
Сума 10 перших натуральних чисел, більших за 5 = i=6 ∑ п'ятнадцять (і)
= i=1 ∑ п'ятнадцять (i) – i=1 ∑ 5 (і)
= [15 × 16] / 2 – [5 × 6]/2
= 120 – 15
= 105
Приклад 3: Знайдіть суму заданої кінцевої послідовності 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 .
рішення:
Дана послідовність дорівнює 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 , це можна записати як i=1 ∑ 8 i 2 використовуючи властивість/ формулу підсумовування
i=1 ∑ 8 i 2 = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
Приклад 4: Спрощення c=1 ∑ п kc.
рішення:
Дана формула підсумовування = c=1 ∑ п kc
= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n термінів)
= k (1+2+3+…..+n)
c=1 ∑ п kc = k c=1 ∑ п в
Приклад 5: спростіть і обчисліть x =1 ∑ п (4+x).
рішення:
Дане підсумовування є х=1 ∑ п (4+x)
Як ми це знаємо c=1 ∑ п (k+c) = nk + c=1 ∑ п в
Дане підсумовування можна спростити так:
4n + х=1 ∑ п (x)
Приклад 6: Спрощення х=1 ∑ п (2x+x 2 ).
рішення:
Дане підсумовування є х=1 ∑ п (2x+x 2 ).
як ми це знаємо k=1 ∑ п (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ п f(k) + k=1 ∑ п g(k)
дане підсумовування можна спростити як х=1 ∑ п (2x) + х=1 ∑ п (х 2 ).
Поширені запитання щодо формули підсумовування
Що таке формула підсумовування натуральних чисел?
Сума натуральних чисел від 1 до n обчислюється за формулою n (n + 1) / 2. Наприклад, сума перших 100 натуральних чисел дорівнює 100 (100 + 1) / 2 = 5050.
Що таке загальна формула підсумовування?
Загальна формула підсумовування, яка використовується для знаходження суми послідовності {a 1 , а 2 , а 3 ,…,а п } це, ∑a i = а 1 + а 2 + а 3 + … + а п
Як ви використовуєте ∑?
∑ є символом підсумовування і використовується для знаходження суми рядів.
Що таке формула підсумовування n?
Формула суми n натуральних чисел є, Сума n чисел формула є [n(n+1)2]
