Стандартна форма квадратного рівняння сокира ² + bx + c = 0 , де a, b і c — константи, а x — змінна. Стандартна форма — це звичайний спосіб представлення будь-якого позначення або рівняння. Квадратні рівняння також можуть бути представлені в інших формах, як,

• Форма вершини: a(x – h) ² + k = 0
• Форма перехоплення: a(x – p)(x – q) = 0

Стандартна форма квадратного рівняння

У цій статті ми детально дізнаємося про стандартну форму квадратного рівняння, змінимо її на стандартну форму квадратного рівняння та інші.

Стандартна форма квадратного рівняння

Стандартна форма квадратного рівняння

Квадратні рівняння є рівняннями другого ступеня з однією змінною, а стандартна форма квадратних рівнянь наводиться так:

сокира ² + bx + c = 0

Де,

• а, б, і в є цілими числами
• a ≠ 0
• «a» — це коефіцієнт при x ²
• «b» — це коефіцієнт при x
• «c» — константа

Приклади стандартної форми квадратного рівняння

Різні приклади квадратного рівняння в стандартній формі:

• 11x ² – 13x + 18 = 0
• (-14/3)x ² + 2/3x – 1/4 = 0
• (-√12)x ² – 8x = 0
• -3x ² +9 = 0

Загальний вигляд квадратного рівняння

Загальна форма квадратного рівняння подібна до стандартної форми квадратного рівняння. Загальний вигляд квадратного рівняння такий, ax ² + bx + c = 0, де a, b і c є Реальні числа і a ≠ 0 .

Вивчайте більше

• Квадратична функція
• Стандартне рівняння параболи

Перетворення квадратних рівнянь на стандартну форму

Перетворення квадратних рівнянь у стандартну форму

Крок 1: Переставте рівняння так, щоб члени були в порядку зменшення ступеня (від найвищого до найменшого).

Крок 2: Комбінуйте будь-які подібні доданки, тобто додавайте та віднімайте подібні доданки.

крок 3: Переконайтеся, що коефіцієнт «a» від x ² термін позитивний. Якщо воно від’ємне, помножте все рівняння на -1.

крок 4: Якщо є якийсь відсутній термін, тобто термін із x, додайте для нього 0.x.

Приклад перетворення квадратних рівнянь у стандартний вигляд

Давайте розберемо концепцію перетворення квадратних рівнянь у стандартну форму на наступному прикладі:

Приклад: перетворіть наступне лінійне рівняння в стандартну форму: 2x ² – 5x = 2x – 3

Крок 1: Переставте рівняння.

2x ² – 5x – 2x + 3 = 0

Крок 2: Об’єднайте будь-які подібні терміни.

2x ² – 7x + 3 = 0

крок 3: Коефіцієнт провідного члена вже позитивний, тому не потрібно множити на -1.

крок 4: Немає відсутніх термінів п.

Таким чином, 2x ² – 7x + 3 = 0 є стандартною формою даного рівняння.

Перетворення стандартної форми квадратного рівняння у вершинну форму

Ми знаємо, що стандартною формою квадратного рівняння є ax ² + bx + c = 0 і форма вершини є a(x – h) ² + k = 0 (де (h, k) — вершина квадратичної функції.

Тепер ми можемо легко перетворити стандартну форму у форму вершини, порівнюючи ці два рівняння, як,

сокира ² + bx + c = a (x – h) ² + k

⇒ сокира ² + bx + c = a (x ² – 2xh + h ² ) + k

⇒ сокира ² + bx + c = ax ² – 2ahx + (ах ² + k)

Порівнюючи коефіцієнти x з обох сторін,

b = -2ah

⇒ h = -b/2a … (1)

Порівнюючи константи з обох сторін,

c = ah ² + k

⇒ c = a (-b/2a) ² + k (З (1))

⇒ c = b ² /(4a) + k

⇒ k = c – (b ² /4a)

⇒ k = (4ac – b ² ) / (4a)

Тепер формули h = -b/2a і k = (4ac – b ² ) /(4a) використовуються для перетворення стандартної у вершинну форму.

Приклад перетворення стандартної форми у вершинну форму

Розглянемо квадратне рівняння 3x ² – 6x + 4 = 0. Порівняйте це з ax ² + bx + c = 0, ми отримуємо a = 3, b = -6 і c = 4. Тепер для форми вершини ми знайшли h і k

h = -b/2a

⇒ h = -(-6) / (2.3) = 1

⇒ k = (4ac – b ² ) / (4a)

⇒ k = (4.3.4 – (-6) ² ) / (4,3)

⇒ k = (48 – 36) / 12 = 1

Підставляючи a = 3, h = 1 і k = 1, вершинна форма a(x – h) ² + k = 0 є,

3(x – 1) ² +1 = 0

Перетворення вершинної форми на стандартну форму

Ми можемо легко перетворити вершинну форму квадратного рівняння в стандартну форму, просто розв’язуючи (x – h) ² = (x – h) (x – h) і спрощення.

Розглянемо наведений вище приклад 2(x – 1) ² + 1 = 0 і перетворити його назад у стандартний вигляд.

3(x – 1) ² +1 = 0 (Вершина форми)

⇒ 3(x ² – x – x + 1) + 1 = 0

⇒ 3(x ² – 2x + 1) + 1 = 0

⇒ 3 рази ² – 6x + 3 + 1 = 0

⇒ 3 рази ² – 6x + 4 = 0… (і) (Стандартна форма)

Рівняння (і) є шуканою стандартною формою квадратичної форми.

Перетворення стандартної форми квадратного рівняння у форму відрізка

Ми знаємо, що стандартною формою квадратного рівняння є ax ² + bx + c = 0 і форма вершини є a(x – p)(x – q) = 0 де (p, 0) і (q, 0) – точки перетину x і y відповідно.

Тепер ми можемо легко перетворити стандартну форму у форму перехоплення за допомогою розв’язування квадратних рівнянь оскільки p і q є коренями квадратного рівняння.

Приклад перетворення стандартної форми на форму перехоплення

Розглянемо квадратне рівняння 3x ² – 8x + 4 = 0. Порівняйте це з ax ² + bx + c = 0, ми отримуємо a = 3, b = -8 і c = 4. Тепер знаходимо корені квадратного рівняння як

3x ² – 8x + 4 = 0

⇒ 3 рази ² – (6+2)x + 4 = 0

⇒ 3 рази ² – 6x – 2x + 4 = 0

⇒ 3x(x – 2) -2(x – 2) = 0

⇒ (3x -2)(x – 2) = 0

⇒ (3x -2) = 0 і (x – 2) = 0

⇒ x = 2/3 і x = 2

Таким чином, форма перетину квадратного рівняння є,

a(x – p)(x – q) = 0

⇒ 3(x – 2/3)(x – 2) = 0

⇒ (3x -2)(x – 2) = 0

Перетворення Intercept Form на стандартну форму

Ми можемо легко перетворити вершинну форму квадратного рівняння в стандартну форму, просто розв’язавши (x – p)(x – q) = 0 і спростивши.

Давайте розглянемо наведений вище приклад (3x -2)(x – 2) = 0 і перетворимо його назад у стандартну форму.

(3x -2)(x – 2) = 0 (Форма перехоплення)

⇒ 3 рази ² – 6x – 2x + 4 = 0

⇒ 3 рази ² – 8x + 4 = 0… (і) (Стандартна форма)

Рівняння (і) є шуканою стандартною формою квадратичної форми.

Детальніше

• Квадратична формула
• Корені квадратних рівнянь
• Зв’язок між нулями та коефіцієнтами полінома

Приклади квадратних рівнянь у стандартній формі

Приклад 1: Перетворіть дане квадратне рівняння 2x – 9 = 7x ² в стандартній формі.

рішення:

Дано квадратне рівняння,

2x – 9 = 7x ²

Стандартною формою квадратного рівняння є ax ² + bx + c = 0

⇒ 2x = 7x ² + 9

⇒ 7 разів ² – 2x + 9 = 0

Отже, стандартна форма заданого рівняння дорівнює 7x ² – 2x + 9 = 0.

Приклад 2: Перетворіть дане квадратне рівняння (2x/7)-1 = 2x ² в стандартній формі.

рішення:

Дано рівняння,

(2x/7) – 1 = 2x ²

⇒ (2x-7(1))/7 = 2x ²

⇒ (2x-7)/7 = 2x ²

⇒ 2x – 7 = 7(2x ² )

⇒ 2x – 7 = 14x ²

⇒ 14x ² – 2x + 7 = 0

Отже, стандартна форма даного рівняння дорівнює 14x ² – 2x + 7 = 0

Приклад 3: Перетворіть задане рівняння (2x ³ /x) + 4 = 2x у стандартній формі.

рішення:

Дано рівняння,

(2 рази ³ /x) + 4 = 2x

Один із x у x ³ скасовується х у знаменнику, утворюючи х ²

⇒ 2 рази ² + 4 = 2х

⇒ 2 рази ² – 2x + 4 = 0

Наведене вище рівняння далі спрощується, щоб отримати x ² – x + 2 = 0

Отже, стандартна форма заданого рівняння – це x ² – x + 2 = 0

Приклад 4: Перетворіть дане квадратне рівняння в стандартну форму (3/x) – 2x = 5.

рішення:

Задане рівняння: (3/x) – 2x = 5

⇒ (3-2x(x))/x = 5

⇒ (3-2 рази ² )/x = 5

⇒ 3-2 рази ² = 5x

⇒ 2 рази ² + 5x – 3 = 0

Отже, стандартна форма даного квадратного рівняння дорівнює 2x ² + 5x – 3 = 0.

Практичні запитання зі стандартної форми квадратного рівняння

Q1. Перетворіть таке квадратне рівняння зі стандартного у вершинний вигляд: x ² – 4x + 1 = 0.

Q2. Перетворіть наступне квадратне рівняння зі стандартної форми на відрізок: 2x ² + 9x + 24 = 0.

Q3. Перетворіть наступне квадратне рівняння зі стандартного на вершинне: -4x ² – 12x + 16 = 0.

Q4. Перетворіть наступне квадратне рівняння зі стандартної форми на відрізок: 11x ² + 8x + * = 0.

Стандартна форма квадратного рівняння – поширені запитання

Що таке формула стандартної форми?

Формула стандартної форми — це поширений спосіб представлення будь-якої нотації чи рівняння, оскільки стандартну форму приймає велика група людей як стандартну.

Що таке формула стандартної форми для лінійних рівнянь?

Стандартна форма лінійного рівняння з двома змінними x і y задається так:

ax + by = c

Де а, б, і в є цілими числами.

Що таке стандартна форма квадратного рівняння?

Стандартна форма квадратного рівняння задається так:

сокира ² + bx + c = 0

Де,

• а, б, і в є цілими числами і
• a ≠ 0 .

Що таке формула стандартної форми для поліномів?

Формула стандартної форми для полінома n ступеня:

a ₁ х ^п + а ₂ х ^n-1 + а ₃ х ^n-2 +. . . + а _п x + c = 0

Де,

• a ₁ , а ₂ , а ₃ , … а _п є коефіцієнтами
• п є степенем рівняння
• х є залежною змінною
• в є постійним числовим терміном

Які є приклади квадратних рівнянь у стандартній формі?

Різні приклади квадратних рівнянь у стандартній формі:

• 3x ² – 4x + 2 = 0
• х ² – 11x + (11/2) = 0
• -x ² + 11 = 0 і т.д

Як записати квадратне рівняння в стандартній формі?

Квадратне рівняння в стандартній формі записується як ax ² + bx + c = 0.

Що таке стандартна форма квадратного рівняння з прикладами?

Стандартна форма квадратного рівняння: ax2 + bx + c = 0. Деякі з прикладів квадратних рівнянь:

• 2x ² + 5x – 11 = 0
• 3x ² + 11x – 6 = 0 і т.д.