Найменше число, яке ділиться на перші n чисел
Спробуйте на GfG Practice 
Вихід
Дано число п знайти найменше число, яке ділиться на кожне число від 1 до n.
приклади:
Input : n = 4 Output : 12 Explanation : 12 is the smallest numbers divisible by all numbers from 1 to 4 Input : n = 10 Output : 2520 Input : n = 20 Output : 232792560
Якщо уважно спостерігати за років має бути НОК чисел від 1 до n .
Щоб знайти НОК чисел від 1 до n -
- Ініціалізація ans = 1.
- Перебираємо всі числа від i = 1 до i = n.
На i-й ітерації ans = LCM(1 2 …….. i) . Це можна легко зробити, як LCM(1 2 …. i) = LCM(ans i) .
Таким чином, на i-й ітерації ми просто повинні зробити -
ans = LCM(ans i) = ans * i / gcd(ans i) [Using the below property a*b = gcd(ab) * lcm(ab)]C++
Примітка: У коді C++ відповідь швидко перевищує цілочисельний ліміт навіть довгий довгий ліміт.
Нижче представлена реалізація логіки.
Java// C++ program to find smallest number evenly divisible by // all numbers 1 to n #includeusing namespace std ; // Function returns the lcm of first n numbers long long lcm ( long long n ) { long long ans = 1 ; for ( long long i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( __gcd ( ans i )); return ans ; } // Driver program to test the above function int main () { long long n = 20 ; cout < < lcm ( n ); return 0 ; } Python// Java program to find the smallest number evenly divisible by // all numbers 1 to n class GFG { static long gcd ( long a long b ) { if ( a % b != 0 ) return gcd ( b a % b ); else return b ; } // Function returns the lcm of first n numbers static long lcm ( long n ) { long ans = 1 ; for ( long i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( gcd ( ans i )); return ans ; } // Driver program to test the above function public static void main ( String [] args ) { long n = 20 ; System . out . println ( lcm ( n )); } }C## Python program to find the smallest number evenly # divisible by all number 1 to n import math # Returns the lcm of first n numbers def lcm ( n ): ans = 1 for i in range ( 1 n + 1 ): ans = int (( ans * i ) / math . gcd ( ans i )) return ans # main n = 20 print ( lcm ( n ))Javascript// C# program to find smallest number // evenly divisible by // all numbers 1 to n using System ; public class GFG { static long gcd ( long a long b ) { if ( a % b != 0 ) return gcd ( b a % b ); else return b ; } // Function returns the lcm of first n numbers static long lcm ( long n ) { long ans = 1 ; for ( long i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( gcd ( ans i )); return ans ; } // Driver program to test the above function static public void Main (){ long n = 20 ; Console . WriteLine ( lcm ( n )); } //This code is contributed by akt_mit }PHP// Javascript program to find the smallest number evenly divisible by // all numbers 1 to n function gcd ( a b ) { if ( a % b != 0 ) return gcd ( b a % b ); else return b ; } // Function returns the lcm of first n numbers function lcm ( n ) { let ans = 1 ; for ( let i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( gcd ( ans i )); return ans ; } // function call let n = 20 ; console . log ( lcm ( n ));
Вихід232792560Часова складність: O(n log2n) оскільки складність _gcd(ab) у c++ дорівнює log2n, і це виконується n разів у циклі.
Допоміжний простір: O(1)
Наведене вище рішення добре працює для одного введення. Але якщо ми маємо кілька вхідних даних, доцільно використовувати Решето Ератосфена для зберігання всіх простих множників. Перегляньте статтю нижче для підходу на основі сита.Підхід : [Використ Решето Ератосфена ]
Щоб більш ефективно вирішити проблему знаходження найменшого числа, яке ділиться на перші числа 'n', ми можемо використати решето Ератосфена для попереднього обчислення простих чисел до 'n'. Тоді ми можемо використати ці прості числа для більш ефективного обчислення найменшого спільного кратного (НСК), враховуючи найвищі ступені кожного простого числа, які менші або дорівнюють 'n'.
Покроковий підхід:
- Згенеруйте прості числа до n: Використовуйте решето Ератосфена, щоб знайти всі прості числа до «n».
- Обчисліть LCM, використовуючи ці прості числа: Для кожного простого числа визначте найбільший ступінь цього простого числа, який менший або дорівнює 'n'. Помножте ці найвищі потужності разом, щоб отримати LCM
Нижче наведено реалізацію вищезазначеного підходу:
C++ #include #include #include using namespace std ; // Function to generate all prime numbers up to n using the // Sieve of Eratosthenes vector < int > sieve_of_eratosthenes ( int n ) { vector < bool > is_prime ( n + 1 true ); int p = 2 ; while ( p * p <= n ) { if ( is_prime [ p ]) { for ( int i = p * p ; i <= n ; i += p ) { is_prime [ i ] = false ; } } ++ p ; } vector < int > prime_numbers ; for ( int p = 2 ; p <= n ; ++ p ) { if ( is_prime [ p ]) { prime_numbers . push_back ( p ); } } return prime_numbers ; } // Function to find the smallest number divisible by all // numbers from 1 to n long long smallest_multiple ( int n ) { vector < int > primes = sieve_of_eratosthenes ( n ); long long lcm = 1 ; for ( int prime : primes ) { // Calculate the highest power of the prime that is // <= n int power = 1 ; while ( pow ( prime power + 1 ) <= n ) { ++ power ; } lcm *= pow ( prime power ); } return lcm ; } int main () { int n = 20 ; cout < < smallest_multiple ( n ) < < endl ; return 0 ; }
Java import java.util.ArrayList ; import java.util.List ; public class SmallestMultiple { // Function to generate all prime numbers up to n using // the Sieve of Eratosthenes public static List < Integer > sieveOfEratosthenes ( int n ) { boolean [] isPrime = new boolean [ n + 1 ] ; for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++ ) { isPrime [ i ] = true ; } int p = 2 ; while ( p * p <= n ) { if ( isPrime [ p ] ) { for ( int i = p * p ; i <= n ; i += p ) { isPrime [ i ] = false ; } } p ++ ; } List < Integer > primeNumbers = new ArrayList <> (); for ( int i = 2 ; i <= n ; i ++ ) { if ( isPrime [ i ] ) { primeNumbers . add ( i ); } } return primeNumbers ; } // Function to find the smallest number divisible by all // numbers from 1 to n public static long smallestMultiple ( int n ) { List < Integer > primes = sieveOfEratosthenes ( n ); long lcm = 1 ; for ( int prime : primes ) { // Calculate the highest power of the prime that // is <= n int power = 1 ; while ( Math . pow ( prime power + 1 ) <= n ) { power ++ ; } lcm *= Math . pow ( prime power ); } return lcm ; } public static void main ( String [] args ) { int n = 20 ; System . out . println ( smallestMultiple ( n )); } }
Python import math def sieve_of_eratosthenes ( n ): '''Generate all prime numbers up to n.''' is_prime = [ True ] * ( n + 1 ) p = 2 while ( p * p <= n ): if ( is_prime [ p ] == True ): for i in range ( p * p n + 1 p ): is_prime [ i ] = False p += 1 prime_numbers = [ p for p in range ( 2 n + 1 ) if is_prime [ p ]] return prime_numbers def smallest_multiple ( n ): '''Find the smallest number divisible by all numbers from 1 to n.''' primes = sieve_of_eratosthenes ( n ) lcm = 1 for prime in primes : # Calculate the highest power of the prime that is <= n power = 1 while prime ** ( power + 1 ) <= n : power += 1 lcm *= prime ** power return lcm # Example usage: n = 20 print ( smallest_multiple ( n ))
JavaScript // Function to generate all prime numbers up to n using the // Sieve of Eratosthenes function sieveOfEratosthenes ( n ) { let isPrime = new Array ( n + 1 ). fill ( true ); let p = 2 ; while ( p * p <= n ) { if ( isPrime [ p ]) { for ( let i = p * p ; i <= n ; i += p ) { isPrime [ i ] = false ; } } p ++ ; } let primeNumbers = []; for ( let p = 2 ; p <= n ; p ++ ) { if ( isPrime [ p ]) { primeNumbers . push ( p ); } } return primeNumbers ; } // Function to find the smallest number divisible by all // numbers from 1 to n function smallestMultiple ( n ) { let primes = sieveOfEratosthenes ( n ); let lcm = 1 ; for ( let prime of primes ) { // Calculate the highest power of the prime that is // <= n let power = 1 ; while ( Math . pow ( prime power + 1 ) <= n ) { power ++ ; } lcm *= Math . pow ( prime power ); } return lcm ; } // Example usage: let n = 20 ; console . log ( smallestMultiple ( n ));
Вихід
The smallest number divisible by all numbers from 1 to 20 is 232792560
Часова складність: O(nloglogn)
Допоміжний простір: O(n)
