Ранг матриці визначається як розмірність векторного простору, утвореного його стовпцями. Ранг матриці є дуже важливим поняттям у галузі лінійної алгебри, оскільки воно допомагає нам знати, чи можемо ми знайти розв’язок системи рівнянь чи ні. Ранг матриці також допомагає нам знати розмірність її векторного простору.

У цій статті детально розглядається концепція рангу матриці, включаючи її визначення, як обчислити ранг матриці, а також нульовість і її зв’язок із рангом. Ми також навчимося розв’язувати деякі задачі на основі рангу матриці. Отже, спершу почнемо з визначення рангу матриці.

Зміст

• Що таке ранг матриці?
• Як обчислити ранг матриці?
• Властивості рангу матриці
• Приклади рангу матриці
• поширені запитання

Що таке ранг матриці?

Ранг матриці — фундаментальна концепція лінійної алгебри, яка вимірює максимальну кількість лінійно незалежних рядків або стовпців у будь-якій матриці. Іншими словами, він повідомляє вам, скільки рядків або стовпців матриці не є корисними та вносять внесок у загальну інформацію чи розмірність матриці. Давайте визначимо ранг матриці.

Ранг визначення матриці

Ранг матриці визначається як кількість лінійно незалежних рядків у a матриця .

Він позначається через ρ(A), де A — будь-яка матриця. Таким чином, кількість рядків матриці є обмеженням рангу матриці, що означає, що ранг матриці не може перевищувати загальну кількість рядків у матриці.

Наприклад, якщо матриця має порядок 3×3, то максимальний ранг матриці може бути 3.

Примітка: Якщо матриця містить усі рядки з нульовими елементами, то ранг матриці дорівнює нулю.

Недійсність матриці

У даній матриці кількість векторів у нуль-просторі називається нуль-простором матриці або її також можна визначити як розмірність нуль-простору даної матриці.

Загальна кількість стовпців у матриці = ранг + нуль

Докладніше про Теорема про нульність рангу .

Як обчислити ранг матриці?

Існує 3 методи, за допомогою яких можна отримати ранг будь-якої даної матриці. Це такі методи:

• Другий метод
• Використання Echelon Form
• Використання нормальної форми

Розглянемо ці способи докладніше.

Другий метод

Попередні умови: Мінори Матриці

Щоб знайти ранг матриці за допомогою мінорного методу, необхідно виконати наступні кроки:

• Обчисліть визначник матриці (скажімо A). Якщо det(A) ≠ 0, то ранг матриці A = порядок матриці A.
• Якщо det(A) = 0, то ранг матриці дорівнює порядку максимально можливого ненульового мінора матриці.

Давайте розберемося, як знайти ранг матриці за допомогою мінорного методу.

Приклад: знайти ранг матриці egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} використовуючи мінорний метод.

Дано A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Крок 1: обчисліть визначник A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Оскільки det(A) ≠ 0, ρ(A) = порядок A = 3

Використання Echelon Form

Другий метод стає дуже виснажливим, якщо порядок матриці дуже великий. Тож у цьому випадку ми перетворюємо матрицю у форму Echelon. Матриця, яка знаходиться в верхня трикутна форма або нижня трикутна форма вважається у формі ешелону. Матрицю можна перетворити на форму Echelon за допомогою елементарні операції з рядками . Для обчислення рангу матриці за допомогою форми Echelon виконуються наступні кроки:

• Перетворіть дану матрицю в її ешелонну форму.
• Кількість ненульових рядків, отриманих у формі Echelon матриці, є рангом матриці.

Давайте розберемося, як знайти ранг матриці за допомогою мінорного методу.

Приклад: знайти ранг матриці egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} з використанням методу Echelon form.

Дано A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Крок 1. Перетворіть A на ешелонну форму

Застосувати Р ₂ = Р ₂ – 4Р ₁

Застосувати Р ₃ = Р ₃ – 7р ₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Застосувати Р ₃ = Р ₃ – 2Р ₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Оскільки матриця A тепер має нижню трикутну форму, вона має форму ешелону.

• Крок 2: кількість ненульових рядків у A = 2. Таким чином ρ(A) = 2

Використання нормальної форми

Матриця називається нормальною формою, якщо її можна привести до виду egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Ось я _r являє собою одиничну матрицю порядку r. Якщо матрицю можна перетворити в її нормальну форму, то ранг матриці називається r.

Давайте розберемося, як знайти ранг матриці за допомогою мінорного методу.

Приклад: знайти ранг матриці old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} використовуючи метод нормальної форми.

Дано A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Застосувати Р ₂ = Р ₂ – Р ₁ , Р ₃ = Р ₃ – 2Р ₁ і Р ₄ = Р ₄ – 3Р ₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Застосувати Р ₁ = Р ₁ – 2Р ₂ і Р ₄ = Р ₄ – Р ₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Застосувати Р ₁ = Р ₁ + Р ₃ і Р ₂ = Р ₂ – Р ₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Застосувати C ₄ → C ₄ -2C ₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Таким чином, A можна записати як egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Отже, ρ(A) = 3

Властивості рангу матриці

Властивості рангу матриці наступні:

• Ранг матриці дорівнює порядку матриці, якщо це неособлива матриця.
• Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків, якщо вона має ешелонну форму.
• Ранг матриці дорівнює порядку одиничної матриці в ній, якщо вона знаходиться в нормальній формі.
• Ранг матриці
• Ранг матриці
• Ранг одиничної матриці дорівнює порядку одиничної матриці.
• Ранг нульової матриці або нульової матриці дорівнює нулю.

Детальніше,

• Типи матриць
• Транспонування матриці
• Обернена матриця

Приклади рангу матриці

І приклад 1: Знайдіть ранг матриці old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} використовуючи мінорний метод.

рішення:

Дано A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Крок 1: обчисліть визначник A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Оскільки det(A) ≠ 0, ρ(A) = порядок A = 3

Приклад 2. Знайти ранг матриці old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} використовуючи мінорний метод.

рішення:

Дано A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Крок 1: обчисліть визначник A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Оскільки det(A) ≠ 0, ρ(A) = порядок A = 3

Приклад 3. Знайти ранг матриці old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} з використанням методу Echelon form.

рішення:

Дано A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Крок 1. Перетворіть A на ешелонну форму

Застосувати Р ₂ = Р ₂ – 4Р ₁

Застосувати Р ₃ = Р ₃ – 7р ₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Застосувати Р ₃ = Р ₃ – 2Р ₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Оскільки матриця A тепер має нижню трикутну форму, вона має форму ешелону.

Крок 2: кількість ненульових рядків у A = 2. Таким чином ρ(A) = 2

Приклад 4. Знайти ранг матриці old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} з використанням методу Echelon form.

рішення:

Дано A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Крок 1. Перетворіть A на ешелонну форму

Застосувати Р ₂ = Р ₂ – 4Р ₁

Застосувати Р ₃ = Р ₃ – 7р ₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Застосувати Р ₃ = Р ₃ – 2Р ₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Оскільки матриця A тепер має нижню трикутну форму, вона має форму ешелону.

Крок 2: кількість ненульових рядків у A = 2. Таким чином ρ(A) = 2

Приклад 5. Знайти ранг матриці old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} використовуючи метод нормальної форми.

рішення:

Дано A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Застосувати Р ₂ = Р ₂ – Р ₁ , Р ₃ = Р ₃ – 2Р ₁ і Р ₄ = Р ₄ – 3Р ₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Застосувати Р ₁ = Р ₁ – 2Р ₂ і R4 = R ₄ – Р ₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Застосувати Р ₁ = Р ₁ + Р ₃ і Р ₂ = Р ₂ – Р ₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Застосувати C ₄ → C ₄ -2C ₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Застосувати Р ₁ = Р ₁ /2, Р ₂ = Р ₂ /2, Р ₃ = Р ₃ /2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Таким чином, A можна записати як egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Отже, ρ(A) = 3

Рейтинг матриці – поширені запитання

Визначте ранг матриці.

Ранг матриці визначається як кількість лінійно незалежних рядків у матриці. Він позначається через ρ(A), де A — будь-яка матриця.

Як знайти ранг матриці?

Ранг матриці можна обчислити різними методами, такими як:

• Другий метод
• Використання Echelon Form
• Використання нормальної форми

Який ранг матриці, якщо визначник матриці не дорівнює нулю?

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює порядку матриці.

Коли кажуть, що Матриця має форму Ешелону?

Матриця, яка має верхню трикутну форму або нижню трикутну форму, називається ешелонною.

Що таке нормальна форма матриці?

Матриця називається нормальною формою, якщо її можна записати у вигляді egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} де я _r є одиничною матрицею порядку «r».

Що таке ранг нульової матриці?

Ранг нульової матриці дорівнює нулю.

Що таке ранг матриці ідентифікації?

Ранг одиничної матриці дорівнює порядку матриці.

Який зв’язок між недійсністю та рангом матриці?

Зв'язок між нульністю та рангом матриці такий:

Загальна кількість стовпців у матриці = ранг + нуль