Метод Ньютона Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона або метод Ньютона — це потужна техніка чисельного розв’язування рівнянь. Найчастіше використовується для апроксимації коренів дійсних функцій. Метод Ньютона-Рапсона був розроблений Ісааком Ньютоном і Джозефом Рафсоном, звідси й назва методу Ньютона-Рапсона.
Метод Ньютона Рафсона передбачає ітераційне уточнення початкового припущення, щоб наблизити його до бажаного кореня. Однак цей метод неефективний для обчислення коренів поліномів або рівнянь з вищими степенями, але у випадку рівнянь малого ступеня цей метод дає дуже швидкі результати. У цій статті ми дізнаємося про метод Ньютона Рафсона та кроки для обчислення коренів за допомогою цього методу.
Зміст
- Що таке метод Ньютона Рафсона?
- Формула методу Ньютона Рафсона
- Розрахунок методом Ньютона Рафсона
- Приклад методу Ньютона Рафсона
- Вирішені задачі методу Ньютона Рафсона
Що таке метод Ньютона Рафсона?
Метод Ньютона-Рафсона, який також відомий як метод Ньютона, є ітераційним числовим методом, який використовується для знаходження коренів дійсної функції. Ця формула названа на честь сера Ісаака Ньютона та Джозефа Рафсона, оскільки вони незалежно один від одного зробили внесок у її розробку. Метод Ньютона Рафсона або метод Ньютона — це алгоритм для наближення коренів нулів дійсних функцій, використовуючи припущення для першої ітерації (x 0 ), а потім наближення наступної ітерації (x 1 ), що є близьким до коренів, за такою формулою.
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
де,
- х 0 є початковим значенням x,
- f(x 0 ) – значення рівняння при початковому значенні, а
- f'(x 0 ) це значення похідної першого порядку рівняння або функції при початковому значенні x 0.
Примітка: f'(x 0 ) не має дорівнювати нулю, інакше дробова частина формули зміниться на нескінченність, що означає, що f(x) не має бути сталою функцією.
Формула методу Ньютона Рафсона
У загальному вигляді формула методу Ньютона-Рафсона записується так:
х п = х n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )
Де,
- х n-1 є оціночним (n-1) тис корінь функції,
- f(x n-1 ) це значення рівняння при (n-1) тис розрахунковий корінь, і
- f'(x n-1 ) це значення похідної першого порядку рівняння або функції за x n-1 .
Розрахунок методом Ньютона Рафсона
Припустимо рівняння або функції, корені яких потрібно обчислити як f(x) = 0.
Щоб довести валідність методу Ньютона-Рафсона, слід виконати наступні кроки:
Крок 1: Намалюйте графік f(x) для різних значень x, як показано нижче:
Крок 2: Проводиться дотична до f(x) у точці x 0 . Це початкове значення.
крок 3: Ця дотична буде перетинати вісь X у деякій фіксованій точці (x 1 ,0), якщо перша похідна f(x) не дорівнює нулю, тобто f'(x 0 ) ≠ 0.
крок 4: Оскільки цей метод передбачає ітерацію коренів, цей x 1 вважається наступним наближенням кореня.
крок 5: Тепер кроки з 2 по 4 повторюються, поки ми не досягнемо фактичного кореня x * .
Тепер ми знаємо, що рівняння нахилу будь-якої лінії представлено як y = mx + c,
Де м є нахил прямої і в є точкою перетину прямої x.
Використовуючи ту саму формулу, ми отримуємо
y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )
Тут f(x 0 ) представляє c і f'(x 0 ) представляє нахил дотичної m. Оскільки це рівняння справедливе для кожного значення x, воно має бути справедливим і для x 1 . Таким чином, замінивши х на х 1 і прирівнявши рівняння до нуля, оскільки нам потрібно обчислити корені, ми отримаємо:
0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
Це формула методу Ньютона Рафсона.
Таким чином, метод Ньютона Рафсона був математично доведений і визнаний дійсним.
Збіжність методу Ньютона Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона має тенденцію до збіжності, якщо виконується така умова:
|f(x).f(x)| <|f'(x)| 2
Це означає, що метод збіжний, коли модуль добутку значення функції при x і другої похідної функції при x менший за квадрат модуля першої похідної функції при x. Метод Ньютона-Рафсона має збіжність порядку 2, що означає його квадратичну збіжність.
Примітка:
Метод Ньютона Рафсона недійсний, якщо перша похідна функції дорівнює 0, що означає f'(x) = 0. Це можливо лише тоді, коли дана функція є постійною функцією.
Статті, пов'язані з методом Ньютона Рафсона:
- Метод Ньютона для знаходження коренів
- Різниця між методом Ньютона Рафсона та звичайним методом Фальсі
- Різниця між методом розрізу навпіл і методом Ньютона Рафсона
- Алгоритм пошуку кореня
Приклад методу Ньютона Рафсона
Давайте розглянемо наступний приклад, щоб дізнатися більше про процес знаходження кореня дійсної функції.
Приклад: для початкового значення x 0 = 3, наближено корінь з f(x)=x 3 +3x+1.
рішення:
Дано, х 0 = 3 і f(x) = x 3 +3x+1
f'(x) = 3x 2 +3
f'(x 0 ) = 3(9) + 3 = 30
f(x 0 ) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37
Використання методу Ньютона Рафсона:
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
= 3 – 37/30
= 1,767
Вирішені задачі методу Ньютона Рафсона
Задача 1: Для початкового значення x 0 = 1, наближено корінь з f(x)=x 2 −5x+1.
рішення:
Дано, х 0 = 1 і f(x) = x 2 -5x+1
f'(x) = 2x-5
f'(x 0 ) = 2 – 5 = -3
f(x 0 ) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3
Використання методу Ньютона Рафсона:
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 1 – (-3)/-3
⇒ x 1 = 1 -1
⇒ x 1 = 0
Задача 2: Для початкового значення x 0 = 2, наближено корінь з f(x)=x 3 −6x+1.
рішення:
Дано, х 0 = 2 і f(x) = x 3 -6x+1
f'(x) = 3x 2 – 6
f'(x 0 ) = 3(4) – 6 = 6
f(x 0 ) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3
Використання методу Ньютона Рафсона:
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 2 – (-3)/6
⇒ x 1 = 2 + 1/2
⇒ x 1 = 5/2 = 2,5
Задача 3: Для початкового значення x 0 = 3, наближено корінь з f(x)=x 2 −3.
рішення:
Дано, х 0 = 3 і f(x) = x 2 -3
f'(x) = 2x
f'(x 0 ) = 6
f(x 0 ) = f(3) = 9 – 3 = 6
Використання методу Ньютона Рафсона:
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 3 – 6/6
⇒ x 1 = 2
Задача 4: Знайдіть корінь рівняння f(x) = x 3 – 3 = 0, якщо початкове значення дорівнює 2.
рішення:
Дано x 0 = 2 і f(x) = x 3 - 3
f'(x) = 3x 2
f'(x 0 = 2) = 3 × 4 = 12
f(x 0 ) = 8 – 3 = 5
Використання методу Ньютона Рафсона:
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 2 – 5/12
⇒ x 1 = 1583
Повторне використання методу Ньютона Рафсона:
х 2 = 1,4544
х 3 = 1,4424
х 4 = 1,4422
Отже, корінь рівняння дорівнює приблизно x = 1,442.
Задача 5: Знайдіть корінь рівняння f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, якщо початкове значення дорівнює 3.
рішення:
Дано x 0 = 3 і f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0
f'(x) = 3x 2 - 5
f'(x 0 = 3) = 3 × 9 – 5 = 22
f(x 0 = 3) = 27 – 15 + 3 = 15
Використання методу Ньютона Рафсона:
х 1 = х 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
⇒ x 1 = 3 – 15/22
⇒ x 1 = 2,3181
Знову використовуючи метод Ньютона Рафсона:
х 2 = 1,9705
х 3 = 1,8504
х 4 = 1,8345
х 5 = 1,8342
Отже, корінь рівняння дорівнює приблизно x = 1,834.
Поширені запитання щодо методу Ньютона Рафсона
Q1: Дайте визначення методу Ньютона Рафсона.
відповідь:
Метод Ньютона Рафсона — це чисельний метод наближення коренів будь-якої заданої дійснозначної функції. У цьому методі ми використовували різні ітерації для наближення коренів, і чим більша кількість ітерацій, тим менша похибка в значенні обчисленого кореня.
Q2: У чому перевага методу Ньютона Рафсона?
відповідь:
Перевага методу Ньютона-Рафсона полягає в тому, що він дозволяє дуже ефективно та швидко вгадувати корені рівняння з малим ступенем.
Q3: У чому недолік методу Ньютона Рафсона?
відповідь:
Недоліком методу Ньютона Рафсона є те, що він має тенденцію ставати дуже складним, коли ступінь полінома стає дуже великим.
Q4: Вкажіть будь-яке застосування методу Ньютона Рафсона в реальному житті.
відповідь:
Метод Ньютона Рафсона використовується для аналізу потоку води у водорозподільних мережах у реальному житті.
Q5: На якій теорії ґрунтується метод Ньютона-Рафсона?
відповідь:
Метод Ньютона Рафсона базується на теорії числення та дотичної до кривої.
