Формули половинного кута використовуються для знаходження різних значень тригонометричних кутів, наприклад для 15°, 75° та інших, вони також використовуються для вирішення різних тригонометричних задач.

Кілька тригонометричних співвідношень і тотожностей допомагають розв'язувати задачі тригонометрії. Значення тригонометричних кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90° і 180° для sin, cos, tan, cosec, sec і cot визначають за допомогою таблиці тригонометрії. Формули півкута широко використовуються в математиці, давайте детально про них дізнаємося в цій статті.

Зміст

• Формули півкута
• Тотожності половинного кута
• Виведення формул половини кута за допомогою формул подвійного кута
• Формула півкута для виведення Cos
• Формула півкута для виведення Sin
• Формула півкута для виведення tan
• Розв’язані приклади на формули половини кута

Формули півкута

Для знаходження значень кутів, крім добре відомих значень 0°, 30°, 45°, 60°, 90° і 180°. Половини кутів виводяться з формул подвійних кутів і наведені нижче для sin, cos і tan:

• sin (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2] ^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2] ^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sin x

Тригонометричні тотожності формули подвійного кута корисні для виведення формул півкута.

Формули половинного кута

Тотожності половинного кута

Напівкутні тотожності для деяких популярних тригонометричні функції є,

• Формула півкута Sin,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Формула половини кута Cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Формула половини кута Тан,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = sin A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sin A

Виведення формул половини кута за допомогою формул подвійного кута

Формули півкута виводяться за допомогою формул подвійного кута. Перш ніж вивчати формули півкута, ми повинні дізнатися про подвійний кут Тригонометрія , найбільш часто використовувані формули подвійного кута в тригонометрії:

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos ² x – sin ² x
  = 1 – 2 без ² x
  = 2 cos ² х – 1
• tan 2x = 2 tan x / (1 – tan ² x)

Тепер замінивши x на x/2 з обох сторін у наведених вище формулах, ми отримаємо

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos ² (x/2) – без ² (x/2)
  = 1 – 2 без ² (x/2)
  = 2 cos ² (x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan ² (x/2)]

Формула півкута для виведення Cos

Ми використовуємо cos2x = 2cos ² x – 1 для знаходження формули півкута для Cos

Покладіть x = 2y у наведену вище формулу

cos (2)(y/2) = 2cos ² (y/2) – 1

cos y = 2cos ² (y/2) – 1

1 + cos y = 2cos ² (і/2)

2cos ² (y/2) = 1 + затишно

cos ² (y/2) = (1+ затишно)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ cosy)/2}

Формула півкута для виведення Sin

Ми використовуємо cos 2x = 1 – 2sin ² x для знаходження формули півкута для Sin

Покладіть x = 2y у наведену вище формулу

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin ² (і/2)

cos y = 1 – 2sin ² (і/2)

2гріх ² (y/2) = 1 – затишно

без ² (y/2) = (1 – затишно)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – затишно)/2}

Формула півкута для виведення tan

Ми знаємо, що tan x = sin x / cos x так що,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Підставляючи значення півкута для sin і cos. Ми отримуємо,

tan(x/2) = ± [(√(1 – затишно)/2 ) / (√(1+ затишно)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – затишно)/(1+ затишно) ]

Раціоналізація знаменника

tan(x/2) = ± (√(1 – затишно)(1 – затишно)/(1+ затишно)(1 – затишно))

tan(x/2) = ± (√(1 – затишно) ² /(1 – cos ² і))

tan(x/2) = ± [√{(1 – затишно) ² /( без ² і)}]

tan(x/2) = (1 – затишно)/( відро)

Також перевірте

• Застосування тригонометрії в реальному житті
• Без формул Cos

Розв’язані приклади на формули половини кута

Приклад 1: Визначити значення sin 15°

рішення:

Ми знаємо, що формула для півкута синуса визначається так:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2) ^1/2

Значення синуса 15° можна знайти, замінивши x на 30° у наведеній вище формулі

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2) ^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0,866)/ 2) ^1/2

sin 15° = ± (0,134/2) ^1/2

sin 15° = ± (0,067) ^1/2

sin 15° = ± 0,2588

Приклад 2: Визначити значення sin 22.5 °

рішення:

Ми знаємо, що формула для півкута синуса визначається так:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2) ^1/2

Значення синуса 15° можна знайти, замінивши x на 45° у наведеній вище формулі

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2) ^1/2

sin 22,5° = ± ((1 – 0,707)/ 2) ^1/2

sin 22,5° = ± (0,293/2) ^1/2

sin 22,5° = ± (0,146) ^1/2

sin 22,5° = ± 0,382

Приклад 3: Визначити значення tan 15°

рішення:

Ми знаємо, що формула для півкута синуса визначається так:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Значення tan 15° можна знайти, замінивши x на 30° у наведеній вище формулі

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

tan 15° = ± (1 – 0,866)/sin 30

tan 15° = ± (0,134)/0,5

tan 15° = ± 0,268

Приклад 4: Визначити значення tan 22,5°

рішення:

Ми знаємо, що формула для півкута синуса визначається так:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Значення tan 22,5° можна знайти, замінивши x на 45° у наведеній вище формулі

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (1 – 0,707)/sin 45°

tan 22,5° = ± (0,293)/0,707

tan 22,5° = ± 0,414

Приклад 5: Визначити значення cos 15°

рішення:

Ми знаємо, що формула для півкута синуса визначається так:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2) ^1/2

Значення синуса 15° можна знайти, замінивши x на 30° у наведеній вище формулі

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2) ^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2) ^1/2

cos 15° = ± (1,866/2) ^1/2

cos 15° = ± (0,933) ^1/2

cos 15° = ± 0,965

Приклад 6: Визначити значення cos 22,5°

рішення:

Ми знаємо, що формула для півкута синуса визначається так:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2) ^1/2

Значення синуса 15° можна знайти, замінивши x на 45° у наведеній вище формулі

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2) ^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2) ^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/2) ^1/2

cos 22,5° = ± (0,853) ^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Поширені запитання щодо формули півкута

Для чого корисні формули півкута?

Формули півкута використовуються для знаходження тригонометричних співвідношень половини стандартних кутів, таких як 15°, 22,5° та інші. Вони також використовуються для розв’язування складних тригонометричних рівнянь і необхідні для розв’язування інтегралів і диференціальних рівнянь.

Що таке формула половини кута для Sin?

Формула півкута для гріха є

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Крім того, для будь-якого трикутника зі сторонами a, b і c і півпериметром буде s, тоді

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Що таке формула половини кута для косинуса?

Формула півкута для cos

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Крім того, для будь-якого трикутника зі сторонами a, b і c і півпериметром буде s, тоді

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Яка формула для cos i ?

Для будь-якого прямокутного трикутника з кутом θ формула, яка використовується для обчислення косинуса кута (θ):

Cos(θ) = прилегла/гіпотенуза