Ефективно проектувати вставку, видалити та медіани на знімальному майданчику
Дано порожній набір спочатку та ряд запитів на ньому, можливо, з наступних типів:
- Вставити "X" робиться за допомогою оновлення (1 0 10^6 x 1). Зауважте, що корінь дерева проходить індекс запуску пропускається як 0 і кінцевий індекс як 10^6, так що всі діапазони, які мають x, оновлюються.
- Видалити "x" робиться за допомогою оновлення (1 0 10^6 x -1). Зауважте, що корінь дерева проходить індекс запуску пропускається як 0 і кінцевий індекс як 10^6, так що всі діапазони, які мають x, оновлюються.
Приклад:
Input : Insert 1 Insert 4 Insert 7 Median Output : The first three queries should insert 1 4 and 7 into an empty set. The fourth query should return 4 (median of 1 4 7).
Для мети експозиції ми припускаємо наступне, але ці припущення не є обмеженнями методу, обговореним тут:
1. У будь -якому випадку всі елементи відрізняються, що жодне з них не відбувається більше одного разу.
2. "Середня" запит здійснюється лише тоді, коли в наборі є непарна кількість елементів.
3. Елементи в діапазоні встановлених від 1 до +10^6.
Метод 1 (наївний)
У наївній реалізації ми можемо зробити перші два запити в O (1), але останній запит у O (max_elem), де max_elem є максимальним елементом усіх часів (включаючи видалені елементи).
Припустимо масив рахувати [] (розміру 10^6 + 1) для підтримки кількості кожного елемента в підмножині. Далі наведено прості та само пояснювальні алгоритми для 3 запитів:
Вставте x Query:
count[x]++; if (x > max_elem) max_elem = x; n++;
Видалити x запит:
if (count[x] > 0) count[x]--; n--;
Середній запит:
sum = 0; i = 0; while( sum <= n / 2 ) { i++; sum += count[i]; } median = i; return median; Ілюстрація кількості масиву [], що представляє набір {1 4 7 8 9} Середній елемент - "7":
"Середній" запит має намір знайти (N + 1)/2 -й "1" в масиві в цьому випадку 3 -й "1"; Тепер ми робимо те саме, використовуючи сегментне дерево.
Метод 2 (використання Сегментне дерево )
Ми робимо a сегментне дерево Для зберігання суми інтервалів, де інтервал [A B] являє собою кількість елементів, присутніх у наборі, який зараз знаходиться в діапазоні [A B]. Наприклад, якщо ми розглянемо наведений вище приклад запиту (3 7) повертає 2 запит (4 4) повертає 1 запит (5 5) повертається 0.
Вставки та видалення запитів прості, і обидва можуть бути реалізовані за допомогою оновлення функції (int x int diff) (додає "diff" при індексі "x")
Алгоритм
// adds ‘diff’ at index ‘x’ update(node a b x diff) // If leaf node If a == b and a == x segmentTree[node] += diff // If non-leaf node and x lies in its range If x is in [a b] // Update children recursively update(2*node a (a + b)/2 x diff) update(2*node + 1 (a + b)/2 + 1 b x diff) // Update node segmentTree[node] = segmentTree[2 * node] + segmentTree[2 * node + 1]
Наведена вище рекурсивна функція працює O (log (max_elem)) (У цьому випадку max_elem - 10^6) і використовується як для введення, так і для видалення з наступними дзвінками:
Тепер функція для пошуку індексу з KTH "1", де "K" в цьому випадку завжди буде (N + 1) / 2 Це буде багато працювати, як двійковий пошук, ви можете вважати це рекурсивною функцією бінарного пошуку на дереві сегмента.
Візьмемо приклад, щоб зрозуміти, що наш набір наразі має елементи {1 4 7 8 9} і, отже, представлений наступним деревом сегмента.
Якщо ми перебуваємо на вузлі, що не є лодкою, ми впевнені, що в ньому є обидва діти, ми бачимо, чи є ліва дитина більше або рівна кількість як «k», якщо так, ми впевнені, що наш індекс лежить у лівій субдреї, інакше, якщо ліва підстрея має менше кількості 1, ніж k, то ми впевнені, що наш індекс лежить у правій субдрію. Ми робимо це рекурсивно, щоб досягти нашого індексу, і звідти повертаємо його.
Алгоритм
1.findKth(node a b k) 2. If a != b 3. If segmentTree[ 2 * node ] >= k 4. return findKth(2*node a (a + b)/2 k) 5. else 6. return findKth(2*node + 1 (a + b)/2 + 1 b k - segmentTree[ 2 * node ]) 7. else 8. return a
Наведена вище рекурсивна функція працює O (log (max_elem)) .
// A C++ program to implement insert delete and // median queries using segment tree #include #define maxn 3000005 #define max_elem 1000000 using namespace std ; // A global array to store segment tree. // Note: Since it is global all elements are 0. int segmentTree [ maxn ]; // Update 'node' and its children in segment tree. // Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and // 'b' are starting and ending indexes of range stored // in current node. // 'diff' is the value to be added to value 'x'. void update ( int node int a int b int x int diff ) { // If current node is a leaf node if ( a == b && a == x ) { // add 'diff' and return segmentTree [ node ] += diff ; return ; } // If current node is non-leaf and 'x' is in its // range if ( x >= a && x <= b ) { // update both sub-trees left and right update ( node * 2 a ( a + b ) / 2 x diff ); update ( node * 2 + 1 ( a + b ) / 2 + 1 b x diff ); // Finally update current node segmentTree [ node ] = segmentTree [ node * 2 ] + segmentTree [ node * 2 + 1 ]; } } // Returns k'th node in segment tree int findKth ( int node int a int b int k ) { // non-leaf node will definitely have both // children; left and right if ( a != b ) { // If kth element lies in the left subtree if ( segmentTree [ node * 2 ] >= k ) return findKth ( node * 2 a ( a + b ) / 2 k ); // If kth one lies in the right subtree return findKth ( node * 2 + 1 ( a + b ) / 2 + 1 b k - segmentTree [ node * 2 ]); } // if at a leaf node return the index it stores // information about return ( segmentTree [ node ]) ? a : -1 ; } // insert x in the set void insert ( int x ) { update ( 1 0 max_elem x 1 ); } // delete x from the set void delete ( int x ) { update ( 1 0 max_elem x -1 ); } // returns median element of the set with odd // cardinality only int median () { int k = ( segmentTree [ 1 ] + 1 ) / 2 ; return findKth ( 1 0 max_elem k ); } // Driver code int main () { insert ( 1 ); insert ( 4 ); insert ( 7 ); cout < < 'Median for the set {147} = ' < < median () < < endl ; insert ( 8 ); insert ( 9 ); cout < < 'Median for the set {14789} = ' < < median () < < endl ; delete ( 1 ); delete ( 8 ); cout < < 'Median for the set {479} = ' < < median () < < endl ; return 0 ; }
Java // A Java program to implement insert delete and // median queries using segment tree import java.io.* ; class GFG { public static int maxn = 3000005 ; public static int max_elem = 1000000 ; // A global array to store segment tree. // Note: Since it is global all elements are 0. public static int [] segmentTree = new int [ maxn ] ; // Update 'node' and its children in segment tree. // Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and // 'b' are starting and ending indexes of range stored // in current node. // 'diff' is the value to be added to value 'x'. public static void update ( int node int a int b int x int diff ) { // If current node is a leaf node if ( a == b && a == x ) { // Add 'diff' and return segmentTree [ node ] += diff ; return ; } // If current node is non-leaf and 'x' // is in its range if ( x >= a && x <= b ) { // Update both sub-trees left and right update ( node * 2 a ( a + b ) / 2 x diff ); update ( node * 2 + 1 ( a + b ) / 2 + 1 b x diff ); // Finally update current node segmentTree [ node ] = segmentTree [ node * 2 ] + segmentTree [ node * 2 + 1 ] ; } } // Returns k'th node in segment tree public static int findKth ( int node int a int b int k ) { // Non-leaf node will definitely have both // children; left and right if ( a != b ) { // If kth element lies in the left subtree if ( segmentTree [ node * 2 ] >= k ) { return findKth ( node * 2 a ( a + b ) / 2 k ); } // If kth one lies in the right subtree return findKth ( node * 2 + 1 ( a + b ) / 2 + 1 b k - segmentTree [ node * 2 ] ); } // If at a leaf node return the index it stores // information about return ( segmentTree [ node ] != 0 ) ? a : - 1 ; } // Insert x in the set public static void insert ( int x ) { update ( 1 0 max_elem x 1 ); } // Delete x from the set public static void delete ( int x ) { update ( 1 0 max_elem x - 1 ); } // Returns median element of the set // with odd cardinality only public static int median () { int k = ( segmentTree [ 1 ] + 1 ) / 2 ; return findKth ( 1 0 max_elem k ); } // Driver code public static void main ( String [] args ) { insert ( 1 ); insert ( 4 ); insert ( 7 ); System . out . println ( 'Median for the set {147} = ' + median ()); insert ( 8 ); insert ( 9 ); System . out . println ( 'Median for the set {14789} = ' + median ()); delete ( 1 ); delete ( 8 ); System . out . println ( 'Median for the set {479} = ' + median ()); } } // This code is contributed by avanitrachhadiya2155
Python3 # A Python3 program to implement insert delete and # median queries using segment tree maxn = 3000005 max_elem = 1000000 # A global array to store segment tree. # Note: Since it is global all elements are 0. segmentTree = [ 0 for i in range ( maxn )] # Update 'node' and its children in segment tree. # Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and # 'b' are starting and ending indexes of range stored # in current node. # 'diff' is the value to be added to value 'x'. def update ( node a b x diff ): global segmentTree # If current node is a leaf node if ( a == b and a == x ): # add 'diff' and return segmentTree [ node ] += diff return # If current node is non-leaf and 'x' is in its # range if ( x >= a and x <= b ): # update both sub-trees left and right update ( node * 2 a ( a + b ) // 2 x diff ) update ( node * 2 + 1 ( a + b ) // 2 + 1 b x diff ) # Finally update current node segmentTree [ node ] = segmentTree [ node * 2 ] + segmentTree [ node * 2 + 1 ] # Returns k'th node in segment tree def findKth ( node a b k ): global segmentTree # non-leaf node will definitely have both # children left and right if ( a != b ): # If kth element lies in the left subtree if ( segmentTree [ node * 2 ] >= k ): return findKth ( node * 2 a ( a + b ) // 2 k ) # If kth one lies in the right subtree return findKth ( node * 2 + 1 ( a + b ) // 2 + 1 b k - segmentTree [ node * 2 ]) # if at a leaf node return the index it stores # information about return a if ( segmentTree [ node ]) else - 1 # insert x in the set def insert ( x ): update ( 1 0 max_elem x 1 ) # delete x from the set def delete ( x ): update ( 1 0 max_elem x - 1 ) # returns median element of the set with odd # cardinality only def median (): k = ( segmentTree [ 1 ] + 1 ) // 2 return findKth ( 1 0 max_elem k ) # Driver code if __name__ == '__main__' : insert ( 1 ) insert ( 4 ) insert ( 7 ) print ( 'Median for the set {147} =' median ()) insert ( 8 ) insert ( 9 ) print ( 'Median for the set {14789} =' median ()) delete ( 1 ) delete ( 8 ) print ( 'Median for the set {479} =' median ()) # This code is contributed by mohit kumar 29
C# // A C# program to implement insert delete // and median queries using segment tree using System ; class GFG { public static int maxn = 3000005 ; public static int max_elem = 1000000 ; // A global array to store segment tree. // Note: Since it is global all elements are 0. public static int [] segmentTree = new int [ maxn ]; // Update 'node' and its children in segment tree. // Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and // 'b' are starting and ending indexes of range stored // in current node. // 'diff' is the value to be added to value 'x'. public static void update ( int node int a int b int x int diff ) { // If current node is a leaf node if ( a == b && a == x ) { // Add 'diff' and return segmentTree [ node ] += diff ; return ; } // If current node is non-leaf and 'x' // is in its range if ( x >= a && x <= b ) { // Update both sub-trees left and right update ( node * 2 a ( a + b ) / 2 x diff ); update ( node * 2 + 1 ( a + b ) / 2 + 1 b x diff ); // Finally update current node segmentTree [ node ] = segmentTree [ node * 2 ] + segmentTree [ node * 2 + 1 ]; } } // Returns k'th node in segment tree public static int findKth ( int node int a int b int k ) { // Non-leaf node will definitely have both // children; left and right if ( a != b ) { // If kth element lies in the left subtree if ( segmentTree [ node * 2 ] >= k ) { return findKth ( node * 2 a ( a + b ) / 2 k ); } // If kth one lies in the right subtree return findKth ( node * 2 + 1 ( a + b ) / 2 + 1 b k - segmentTree [ node * 2 ]); } // If at a leaf node return the index it // stores information about if ( segmentTree [ node ] != 0 ) { return a ; } else { return - 1 ; } } // Insert x in the set public static void insert ( int x ) { update ( 1 0 max_elem x 1 ); } // Delete x from the set public static void delete ( int x ) { update ( 1 0 max_elem x - 1 ); } // Returns median element of the set // with odd cardinality only public static int median () { int k = ( segmentTree [ 1 ] + 1 ) / 2 ; return findKth ( 1 0 max_elem k ); } // Driver code static public void Main () { insert ( 1 ); insert ( 4 ); insert ( 7 ); Console . WriteLine ( 'Median for the set {147} = ' + median ()); insert ( 8 ); insert ( 9 ); Console . WriteLine ( 'Median for the set {14789} = ' + median ()); delete ( 1 ); delete ( 8 ); Console . WriteLine ( 'Median for the set {479} = ' + median ()); } } // This code is contributed by rag2127
JavaScript < script > // A Javascript program to implement insert delete and // median queries using segment tree let maxn = 3000005 ; let max_elem = 1000000 ; // A global array to store segment tree. // Note: Since it is global all elements are 0. let segmentTree = new Array ( maxn ); for ( let i = 0 ; i < maxn ; i ++ ) { segmentTree [ i ] = 0 ; } // Update 'node' and its children in segment tree. // Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and // 'b' are starting and ending indexes of range stored // in current node. // 'diff' is the value to be added to value 'x'. function update ( node a b x diff ) { // If current node is a leaf node if ( a == b && a == x ) { // Add 'diff' and return segmentTree [ node ] += diff ; return ; } // If current node is non-leaf and 'x' // is in its range if ( x >= a && x <= b ) { // Update both sub-trees left and right update ( node * 2 a Math . floor (( a + b ) / 2 ) x diff ); update ( node * 2 + 1 Math . floor (( a + b ) / 2 ) + 1 b x diff ); // Finally update current node segmentTree [ node ] = segmentTree [ node * 2 ] + segmentTree [ node * 2 + 1 ]; } } // Returns k'th node in segment tree function findKth ( node a b k ) { // Non-leaf node will definitely have both // children; left and right if ( a != b ) { // If kth element lies in the left subtree if ( segmentTree [ node * 2 ] >= k ) { return findKth ( node * 2 a Math . floor (( a + b ) / 2 ) k ); } // If kth one lies in the right subtree return findKth ( node * 2 + 1 Math . floor (( a + b ) / 2 ) + 1 b k - segmentTree [ node * 2 ]); } // If at a leaf node return the index it stores // information about return ( segmentTree [ node ] != 0 ) ? a : - 1 ; } // Insert x in the set function insert ( x ) { update ( 1 0 max_elem x 1 ); } // Delete x from the set function delet ( x ) { update ( 1 0 max_elem x - 1 ); } // Returns median element of the set // with odd cardinality only function median () { let k = ( segmentTree [ 1 ] + 1 ) / 2 ; return findKth ( 1 0 max_elem k ); } // Driver code insert ( 1 ); insert ( 4 ); insert ( 7 ); document . write ( 'Median for the set {147} = ' + median () + '
' ); insert ( 8 ); insert ( 9 ); document . write ( 'Median for the set {14789} = ' + median () + '
' ); delet ( 1 ); delet ( 8 ); document . write ( 'Median for the set {479} = ' + median () + '
' ); // This code is contributed by unknown2108 < /script>
Вихід:
Median for the set {147} = 4 Median for the set {14789} = 7 Median for the set {479} = 7
Висновок:
Усі три запити пробігають O (log (max_elem)) У цьому випадку max_elem = 10^6, тому log (max_elem) приблизно дорівнює 20.
Використовує дерево сегмента O (max_elem) космос.
Якби вилучений запит не був там, проблема також могла бути зроблена з відомим алгоритмом ось .
Вам Може Сподобатися
Кращі Статті
Категорія
Цікаві Статті
