Нехай A, B і C — множини, R — відношення від A до B і S — відношення від B до C. Тобто R є підмножиною A × B, а S — підмножиною B × C. Тоді R і S породжують відношення від A до C, позначене R◦S і визначене:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S  

Відношення R◦S є відомим складом R і S; іноді його позначають просто RS.

Нехай R є відношенням на множині A, тобто R є відношенням множини A до самого себе. Тоді R◦R, композиція R із собою, завжди представлена. Також R◦R іноді позначають R ² . Так само Р ³ = Р ² ◦R = R◦R◦R і так далі. Таким чином Р ^п визначається для всіх позитивних n.

Приклад 1: Нехай X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} і Z = {l, m, n}. Розглянемо відношення R ₁ від X до Y і R ₂ від Y до Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}  

Знайти склад відношення (і) Р ₁ Р ₂ (іі) Р ₁ Р ₁ ^-1

рішення:

(i) Відношення складу R ₁ Р ₂ як показано на рис.

Р ₁ Р ₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) Композиційне відношення R ₁ Р ₁ ^-1 як показано на рис.

Р ₁ Р ₁ ^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Композиція відношень і матриць

Існує інший спосіб знайти R◦S. Нехай М _Р і М _С позначають відповідно матричні зображення відношень R і S. Тоді

приклад

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR  

рішення: Матриці відношення R і S показані на рис.

(i) Щоб отримати композицію відношення R і S. Спочатку помножте M _Р з М _С щоб отримати матрицю M _Р х М _С як показано на рис.

Ненульові елементи в матриці M _Р х М _С розповідає елементи, пов'язані в RoS. Так,

Отже, композиція R o S відношення R і S є

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.  

(ii) Спочатку помножте матрицю M _Р сам по собі, як показано на рис

Отже, композиція R або R відношення R і S є

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}  

(iii) Помножте матрицю M _С з М _Р щоб отримати матрицю M _С х М _Р як показано на рис.

Ненульові елементи в матриці M _С х М _Р розповідає елементи, пов’язані в S o R.

Отже, композиція S o R відношення S і R є

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.