Бінарне індексоване дерево: Оновлення діапазону та запити діапазону
Дано масив arr[0..N-1]. Необхідно виконати наступні операції.
- оновлення (l r val) : додати «val» до всіх елементів у масиві з [l r].
- getRangeSum(l r) : знайти суму всіх елементів у масиві з [l r].
Спочатку всі елементи в масиві дорівнюють 0. Запити можуть бути в будь-якому порядку, тобто може бути багато оновлень перед сумою діапазону.
приклад:
введення: N = 5 // {0 0 0 0 0}
запити: оновлення: l = 0 r = 4 значення = 2
оновлення: l = 3 r = 4 значення = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4Вихід: Сума елементів діапазону [2 4] дорівнює 12
Пояснення: Масив після першого оновлення стає {2 2 2 2 2}
Масив після другого оновлення стає {2 2 2 5 5}
Наївний підхід: Щоб вирішити проблему, дотримуйтеся наведеної нижче ідеї:
в попередній пост ми обговорювали оновлення діапазону та рішення для запитів точок за допомогою BIT.
rangeUpdate(l r val) : ми додаємо «val» до елемента з індексом «l». Ми віднімаємо «val» від елемента з індексом «r+1».
getElement(index) [або getSum()]: ми повертаємо суму елементів від 0 до індексу, яку можна швидко отримати за допомогою BIT.
Ми можемо обчислити rangeSum() за допомогою запитів getSum().
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)Просте рішення полягає у використанні рішень, розглянутих у попередній пост . Запит на оновлення діапазону той самий. Запит на суму діапазону можна отримати, виконавши запит на отримання для всіх елементів у діапазоні.
Ефективний підхід: Щоб вирішити проблему, дотримуйтеся наведеної нижче ідеї:
Ми отримуємо суму діапазону за допомогою префіксних сум. Як переконатися, що оновлення виконується таким чином, щоб можна було швидко виконати суму префікса? Розглянемо ситуацію, коли префікс sum [0 k] (де 0 <= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Випадок 1 : 0 < k < l
- Запит на оновлення не вплине на запит суми.
- Випадок 2 : л <= k <= r
- Розглянемо приклад: додайте 2 до діапазону [2 4], результуючий масив буде таким: 0 0 2 2 2
Якщо k = 3 Сума з [0 k] = 4Як отримати такий результат?
Просто додайте значення з l тис індекс до k тис індекс. Сума збільшується на «val*(k) - val*(l-1)» після запиту на оновлення.
- Випадок 3 : k > r
- Для цього випадку нам потрібно додати 'val' з l тис індекс до r тис індекс. Сума збільшується на «val*r – val*(l-1)» через запит на оновлення.
Спостереження:
Випадок 1: проста, оскільки сума залишиться такою ж, якою була до оновлення.
Випадок 2: Сума була збільшена на val*k - val*(l-1). Ми можемо знайти «val», це схоже на знаходження i тис елемент в оновлення діапазону та стаття про запит точки . Тому ми підтримуємо один BIT для оновлення діапазону та запитів точок, цей BIT допоможе знайти значення на k тис індекс. Тепер обчислюється val * k, як обробляти додатковий член val*(l-1)?
Для обробки цього додаткового терміну ми підтримуємо інший BIT (BIT2). Оновити значення * (l-1) у l тис індекс, тому, коли запит getSum виконується на BIT2, результат дасть як val*(l-1).
Випадок 3: Суму у випадку 3 було збільшено на «val*r - val *(l-1)». Значення цього члена можна отримати за допомогою BIT2. Замість додавання ми віднімаємо «val*(l-1) - val*r», оскільки ми можемо отримати це значення з BIT2, додаючи val*(l-1), як ми робили у випадку 2, і віднімаючи val*r під час кожної операції оновлення.
Оновити запит
Оновлення (BITree1 l val)
Оновлення (BITree1 r+1 -val)
ОновленняBIT2(BITree2 l val*(l-1))
ОновленняBIT2(BITree2 r+1 -val*r)Сума діапазону
getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)
Щоб вирішити проблему, виконайте наведені нижче дії.
- Створіть два бінарних індексних дерева за допомогою заданої функції constructBITree()
- Щоб знайти суму в заданому діапазоні, викличте функцію rangeSum() із параметрами заданого діапазону та бінарних індексованих дерев
- Виклик функції sum, яка поверне суму в діапазоні [0 X]
- Сума повернення (R) - сума (L-1)
- Усередині цієї функції викликається функція getSum(), яка повертає суму масиву з [0 X]
- Повернути getSum(Tree1 x) * x - getSum(tree2 x)
- Усередині функції getSum() створіть цілу суму, що дорівнює нулю, і збільште індекс на 1
- Якщо індекс більший за нуль, збільште суму на Tree[index]
- Зменшіть індекс на (index & (-index)), щоб перемістити індекс до батьківського вузла в дереві
- Сума повернення
- Виведіть суму в заданому діапазоні
Нижче наведено реалізацію вищезазначеного підходу:
C++ // C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include using namespace std ; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 []) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 []) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } int * constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int * BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver code int main () { int n = 5 ; // Construct two BIT int * BITTree1 * BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 r = 4 ; cout < < 'Sum of elements from [' < < l < < '' < < r < < '] is ' ; cout < < rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) < < ' n ' ; return 0 ; }
Java // Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.* ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ] ; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ] ; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function public static void main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; System . out . print ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); System . out . print ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
Python3 # Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum ( BITree : list index : int ) -> int : summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0 : # Add current element of BITree to sum summ += BITree [ index ] # Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit ( BITTree : list n : int index : int val : int ) -> None : # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n : # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree [ index ] += val # Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ) # Returns the sum of array from [0 x] def summation ( x : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ) def updateRange ( BITTree1 : list BITTree2 : list n : int val : int l : int r : int ) -> None : # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit ( BITTree1 n l val ) updateBit ( BITTree1 n r + 1 - val ) # Update BIT2 updateBit ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )) updateBit ( BITTree2 n r + 1 - val * r ) def rangeSum ( l : int r : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation ( r BITTree1 BITTree2 ) - summation ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ) # Driver Code if __name__ == '__main__' : n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print ( 'Sum of elements from [ %d %d ] is %d ' % ( l r rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ))) # This code is contributed by # sanjeev2552
C# // C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int [] BITree int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int [] BITree int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of // parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int [] BITTree1 int [] BITTree2 int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Code public static void Main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; Console . Write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); Console . Write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
JavaScript < script > // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum ( BITree index ) { let sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT ( BITree n index val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum ( x BITTree1 BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } function updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } function rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } function constructBITree ( n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array ( n + 1 ); for ( let i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function let n = 5 ; // Contwo BIT let BITTree1 ; let BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; document . write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); document . write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + '
' ); // This code is contributed by rag2127 < /script>
Вихід
Sum of elements from [14] is 50
Часова складність : O(q * log(N)), де q – кількість запитів.
Допоміжний простір: O(N)
