Арктан визначається як функція, обернена дотичної. Arctan(x) позначається як tan ^-1 (x). Є шість тригонометричних функцій, і обернена до всіх шести функцій репресована як sin ^-1 х, cos ^-1 х, отже ^-1 x, cosec ^-1 х, сек ^-1 х і ліжечко ^-1 х.

Арктан (тан ^-1 x) не схоже на 1 / tan x. загар ^-1 x є оберненим значенням tan x, тоді як 1/ tan x є зворотним значенням tan x. загар ^-1 x використовується для вирішення різних тригонометричних рівнянь. У цій статті ми детально вивчимо формулу функції арктан, графік, властивості та ін.

Зміст

• Що таке Арктан?
• Що таке Arctan Formula?
• Арктанські ідентичності
• Домен і діапазон Арктан
• Властивості Arctan (x).
• Таблиця Arctan

Що таке Арктан?

Аркатан є зворотним до тригонометрична функція засмага х. Відношення перпендикуляра до основи в прямокутному трикутнику називається тригонометричною функцією, а її обернена функція дає функцію арктан. Це пояснюється так:

tan (π/4) = 1

⇒ π/4 = tan ^-1 (1)…(це функція Arctan)

Якщо ми маємо прямокутний трикутник із кутом θ, то tan θ є перпендикуляром/основою, тоді функція arctan є,

θ = tan ^-1 (перпендикуляр/основа)

Вивчайте більше, Обернена тригонометрична функція

Що таке Arctan Formula?

Тангенс — це тригонометрична функція, а в прямокутному трикутнику функція тангенса дорівнює відношенню перпендикуляра до основи (перпендикуляр/основа).

Arctan є посиланням на функцію, обернену до тангенса. Символічно, що арктан представлений загаром ^-1 x у тригонометричних рівняннях.

Визначення формули Арктан

Як обговорювалося вище, основна формула для arctan визначається як arctan (перпендикуляр/основа) = θ, де θ — кут між гіпотенузою та основою прямокутного трикутника. Ми використовуємо цю формулу для arctan, щоб знайти значення кута θ у градусах або радіанах.

Припустимо, тангенс кута θ дорівнює x.

x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 х

Візьмемо за θ прямокутний трикутник ABC з кутом BCA. Сторона AB — перпендикуляр (p), а сторона BC — основа (b). Тепер, коли ми вивчили, що тангенс дорівнює перпендикуляру до основи.

тобто tan θ = перпендикуляр/основа = p/b

І, використовуючи наведений вище вираз,

θ = tan ^-1 (п/б)

Арктанські ідентичності

Існують різні тотожності Арктана, які використовуються для вирішення різних тригонометричних рівнянь. Деякі з важливих ідентичностей Arctan наведено нижче,

• arctan(-x) = -arctan(x), для всіх x ∈ R
• tan(arctan x) = x для всіх дійсних чисел x
• arctan (tan x) = x, для x ∈ (-π/2, π/2)
• arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x), якщо x> 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, якщо x <0
• sin(arctan x) = x/ √(1+x ² )
• cos(arctan x) = 1/ √(1+x ² )
• arctan(x) = 2arctan {x/(1 + √(1+x ² ))}
• arctan(x) = ∫ _О ^х 1/√(1+z ² )дз

Як застосовувати Arctan Formula?

Формула Arctan використовується для розв’язування різних тригонометричних задач, і це пояснюється в прикладі, доданому нижче.

приклад: У прямокутному трикутнику PQR, якщо висота трикутника дорівнює √3 одиниці, а основа трикутника дорівнює 1 одиниці. Знайдіть кут.

Щоб знайти кут (θ)

θ = арктан (перпендикуляр/висота)

θ = арктан (√3/1)

θ = 60°

Домен і діапазон Арктан

Усі тригонометричні функції, включаючи tan (x), мають відношення «багато до одного». Однак функція, обернена до функції, може існувати лише в тому випадку, якщо вона має взаємозв’язок один-до-однозначного та натомість. З цієї причини область визначення tan x повинна бути обмежена, інакше зворотний не може існувати. Іншими словами, тригонометрична функція має бути обмежена своєю головною гілкою, оскільки ми бажаємо мати лише одне значення.

• Область визначення arctan x є Реальне число
• Діапазон арктан (x) становить (-p/2, p/2)

Ми знаємо, що область визначення та діапазон тригонометричної функції перетворюються відповідно на діапазон і область визначення оберненої тригонометричної функції. Таким чином, можна сказати, що домен тан ^-1 x — усі дійсні числа, а діапазон — (-π/2, π/2).

Цікавим фактом є те, що ми можемо поширити функцію arctan на комплексні числа. У такому випадку областю визначення arctan будуть усі комплексні числа.

Властивості Arctan (x).

Властивості Arctan x використовуються для вирішення різних тригонометричних рівнянь. Існують різні тригонометричні властивості, які необхідно вивчити для вивчення тригонометрії. Деякі важливі властивості функції arctan наведено нижче в цій статті:

• так Так ^-1 х) = х
• так ^-1 (-x) = -tan ^-1 х
• так ^-1 (1/x) = дитяче ліжечко ^-1 x, коли x> 0
• так ^-1 х + отже ^-1 y = так ^-1 [(x + y)/(1 – xy)], коли xy <1
• так ^-1 х – отже ^-1 y = так ^-1 [(x – y)/(1 + xy)], коли xy> -1
• так ^-1 х + ліжечко ^-1 x = π/2
• так ^-1 (tan x) = x [коли x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), де n ∈ Z}]
• так ^-1 (tan x) = x [коли x НЕ є непарним кратним π/2. інакше, загар ^-1 (tan x) не визначено.]
• 2 так ^-1 х = гріх ^-1 (2x / (1+x ² )), коли |x| ≤ 1
• 2 так ^-1 х = cos ^-1 ((1-х ² ) / (1+x ² )), коли x ≥ 0
• 2 так ^-1 x = tan-1(2x / (1-x ² )), коли -1

Таблиця Arctan

Будь-який кут, виражений у градусах, також можна перетворити на радіани. Для цього ми множимо значення градуса на коефіцієнт π/180°. Крім того, функція arctan приймає дійсне число як вхідні дані та виводить відповідне унікальне значення кута. У наведеній нижче таблиці детально описано значення арктанового кута для деяких дійсних чисел. Їх також можна використовувати під час побудови графіка арктангу.

Як ми вивчили вище, значення арктана можна отримати в градусах або радіанах. Отже, наведена нижче таблиця ілюструє розрахункові значення arctan.

Arctan Graph

Графік функції Арктан є нескінченним графіком. Область визначення arctan — R (дійсні числа), а діапазон функції Arctan — (-π/2, π/2). Графік функції Arctan обговорюється нижче на зображенні нижче:

Графік будується з використанням значення відомих точок для функції y = tan ^-1 (x)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x Derivative

Похідна арктана дуже важлива для вивчення математики. Похідна функції arctan обчислюється за такою концепцією:

y = arctan x (нехай)…(1)

Засмагайте з обох сторін

tan y = tan (arctan x) [ми знаємо, що tan (arctan x) = x]

tan y = x

Розрізнення обох сторін (з використанням правила ланцюга)

сек ² y × dy/dx = 1

dy/dx = 1 / сек ² і

dy/dx = 1 / (1 + тан ² у) {використовуючи, розд ² y = 1 + tan ² і}

d / dx (арктан х) = 1 / (1 + х ² )

Інтеграл Арктан

Інтеграл від arctan визначається як перша похідна функції оберненого тангенса. Інтеграція Arctan x виводиться з використанням концепції, наведеної нижче,

Візьмемо f(x) = tan ^-1 x і g(x) = 1

Ми знаємо, що ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

Додавши значення f(x) і g(x) до рівняння вище, ми отримаємо,

∫tan ^-1 x dx = x tan ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

де C є константою інтегрування

Арктан 0

Арктан 0 дорівнює 0. Ми також можемо сказати, що tan ^-1 (x) = 0. Таким чином, Arctan(0) = 0

Арктан 2

Арктан числа 2 дорівнює 63,435. Ми також можемо сказати, що засмага ^-1 (2) = 63,435. Таким чином, Arctan(2) = 63,435.

Arctan Infinity

Арктан нескінченність задано як lim _x→∞ так ^-1 x = π/2.

Також перевірте

• Тригонометрична таблиця
• Тригонометричні співвідношення
• Тригонометричні тотожності

Приклади Arctan

Приклад 1: Оцініть себе ^-1 (1).

рішення:

так ^-1 (1)

Значення 1 також можна записати як

1 = загар (45°)

тепер,

так ^-1 (1) = так ^-1 (тан 45°) = 45°

Приклад 2: Оцініть себе ^-1 (1732).

рішення:

так ^-1 (1732)

Значення 1,732 також можна записати як

1,732 = tan (60°)

тепер,

так ^-1 (1,732) = так ^-1 (tan 60°) = 60°

Приклад 3: Розв’язати так ^-1 х + отже ^-1 1/x

рішення:

• Ми знаємо це, Тан ^-1 х + отже ^-1 y = так ^-1 [(x + y)/(1 – xy)]

= так ^-1 х + отже ^-1 1/x

= так ^-1 [(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= так ^-1 [(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= так ^-1 [(x + 1/x)/(1 – 1)]

= так ^-1 [(x + 1/x)/(0)]

= так ^-1 [∞]

= π/2

Приклад 4: Знайдіть похідну від tan ^-1 √x

рішення:

Ми знаємо, що d/dx (tan ^-1 x) = 1 / (1 + x ² )

⇒ d/dx (так ^-1 √x)

Використання Правило ланцюжка

= 1 / (1 + [√x] ² )

= 1 / (1+x) × d/dx(1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Таким чином, похідна d/dx (tan ^-1 √x) є √x/{2x(x+1)}

Практичні запитання Arctan

Q1. Знайдіть похідну від tan ^-1 (2 рази ² + 3)

Q2. Знайдіть інтеграл від tan ^-1 √x

Q3. Оцініть себе так ^-1 (10)

Q4. Розв'язати так ^-1 (х) + засмага ^-1 (х ² )

Arctan-FAQ

1. Що таке Арктан?

Функція, обернена дотичної, називається Arctan. Він позначається як arctan x або tan ^-1 х. Формула, яка використовується для визначення значення арктангу, така θ = tan ^-1 (x)

2. Знайдіть похідну Арктану.

Похідна арктану є, d/dx (арктан х) = 1 / (1 + х ² )

3. Чи є функція Arctan оберненою до функції Tan?

Так, функція arctan є оберненою до функції tan. Якщо tan x = y, ніж x = tan ^-1 і

4. Чи схожий Arctan на Cot?

Ні, арктан не схожий на ліжечко. Кот є зворотною до функції тен. тобто tan x = 1/cot x, тоді як Arctan є оберненою до функції tan arctan x = tan ^-1 х

5. Що таке Arctan of Infinity?

Оскільки ми вже знаємо, що значення tan (π/2) = ∞. Arctan є оберненою функцією tan, тоді можна сказати, що arctan(∞) = π/2.

6. Є Arctan і tan ^-1 так само?

Так, Arctan і tan ^-1 те саме, що Arctan — інша назва тан ^-1 (x)

7. Чому Arctan (1) pi більше 4?

Значення гріха ^-1 (π/4) дорівнює 1/√2, а значення cos ^-1 (π/4) дорівнює 1/√2, і ми це знаємо, tan ^-1 (π/4) є sin- ¹ (π/4)/cos ^-1 (π/4) і значення arcsin і arccos дорівнює, тоді значення arctan (1) дорівнює π/4.