İkili Dizinli Ağaç: Aralık Güncellemesi ve Aralık Sorguları
Bir dizi verildiğinde arr[0..N-1] Aşağıdaki işlemlerin yapılması gerekmektedir.
- güncelleme(l r val) : Dizideki tüm öğelere [l r]'den 'val' ekleyin.
- getRangeSum(l r) : Dizideki tüm elemanların toplamını [l r]'den bulun.
Başlangıçta dizideki tüm öğeler 0'dır. Sorgular herhangi bir sırada olabilir, yani aralık toplamından önce birçok güncelleme olabilir.
Örnek:
Giriş: N = 5 // {0 0 0 0 0}
Sorgular: güncelleme: l = 0 r = 4 val = 2
güncelleme : l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4Çıkış: [2 4] aralığının elemanlarının toplamı 12'dir
Açıklama: İlk güncellemeden sonra dizi {2 2 2 2 2} olur
İkinci güncellemeden sonra dizi {2 2 2 5 5} olur
Naif Yaklaşım: Sorunu çözmek için aşağıdaki fikri izleyin:
içinde önceki gönderi BIT kullanarak aralık güncelleme ve nokta sorgulama çözümlerini tartıştık.
rangeUpdate(l r val) : 'l' indeksindeki elemana 'val' ekliyoruz. 'Val'ı 'r+1' indeksindeki elemandan çıkarıyoruz.
getElement(index) [veya getSum()]: BIT kullanılarak hızlı bir şekilde elde edilebilecek olan 0'dan indekse elemanların toplamını döndürürüz.
rangeSum()'u getSum() sorgularını kullanarak hesaplayabiliriz.
aralıkSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)Basit Bir Çözüm bölümünde tartışılan çözümleri kullanmaktır. önceki gönderi . Aralık güncelleme sorgusu aynıdır. Aralık toplamı sorgusu, aralıktaki tüm öğeler için bir alma sorgusu yapılarak elde edilebilir.
Verimli Yaklaşım: Sorunu çözmek için aşağıdaki fikri izleyin:
Önek toplamlarını kullanarak aralık toplamını elde ederiz. Güncellemenin önek toplamının hızlı bir şekilde yapılabilmesini sağlayacak şekilde yapıldığından nasıl emin olabiliriz? Önek toplamının [0 k] olduğu bir durumu düşünün (burada 0 <= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Durum 1 : 0 < k < l
- Güncelleme sorgusu toplam sorgusunu etkilemez.
- Durum 2 : ben <= k <= r
- Bir örnek düşünün: [2 4] aralığına 2 eklediğinizde elde edilen dizi şöyle olur: 0 0 2 2 2
Eğer k = 3 ise [0 k] = 4'ün toplamıBu sonuç nasıl elde edilir?
Basitçe l'den val'i ekleyin bu k'ye endeks bu indeks. Güncelleme sorgusundan sonra toplam 'val*(k) - val*(l-1)' artırılır.
- Durum 3 : k > r
- Bu durumda l'den 'val' eklememiz gerekiyor bu r'ye endeks bu indeks. Bir güncelleme sorgusu nedeniyle toplam 'val*r – val*(l-1)' artırılır.
Gözlemler:
Durum 1: Toplamın güncellemeden öncekiyle aynı kalması basit.
Durum 2: Toplam, val*k - val*(l-1) kadar artırıldı. 'Val'ı bulabiliriz, bu i'yi bulmaya benzer. bu içindeki eleman aralık güncellemesi ve nokta sorgusu makalesi . Dolayısıyla Aralık Güncellemesi ve Nokta Sorgulamaları için bir BIT tutuyoruz, bu BIT k'deki değeri bulmada yardımcı olacaktır. bu indeks. Şimdi val *k hesaplanırken, ekstra val*(l-1) terimi nasıl ele alınır?
Bu ekstra terimin üstesinden gelmek için başka bir BIT'i (BIT2) sürdürüyoruz. val * (l-1)'i l'de güncelle o Böylece BIT2'de getSum sorgusu gerçekleştirildiğinde sonuç val*(l-1) olarak verilecektir.
Durum 3: 3. durumda toplam 'val*r - val *(l-1)' artırıldığında bu terimin değeri BIT2 kullanılarak elde edilebilir. Eklemek yerine 'val*(l-1) - val*r' çıkarıyoruz, çünkü bu değeri BIT2'den, durum 2'de yaptığımız gibi val*(l-1) ekleyerek ve her güncelleme işleminde val*r'yi çıkararak elde edebiliriz.
Sorguyu Güncelle
Güncelleme(BITree1 l val)
Güncelleme(BITree1 r+1 -val)
GüncellemeBIT2(BITree2 l değer*(l-1))
GüncellemeBIT2(BITree2 r+1 -val*r)Aralık Toplamı
getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)
Sorunu çözmek için aşağıdaki adımları izleyin:
- Verilen buildBITree() fonksiyonunu kullanarak iki ikili indeks ağacını oluşturun
- Belirli bir aralıktaki Toplamı bulmak için, verilen aralık ve ikili dizinli ağaçlar gibi parametrelerle rangeSum() işlevini çağırın
- [0 X] aralığında bir toplam döndürecek bir toplam işlevi çağırın
- Toplamı döndür(R) - toplam(L-1)
- Bu fonksiyonun içinde, [0 X]'ten dizinin toplamını döndürecek olan getSum() fonksiyonunu çağırın.
- getSum(Tree1 x) * x - getSum(tree2 x) değerini döndür
- getSum() işlevinin içinde sıfıra eşit bir tamsayı toplamı oluşturun ve dizini 1 artırın
- Endeks sıfırdan büyükken toplamı Tree[index] kadar artırın
- Dizini ağaçtaki üst düğüme taşımak için dizini (index & (-index)) kadar azaltın
- Toplamı döndür
- Verilen aralıktaki toplamı yazdır
Yukarıdaki yaklaşımın uygulanması aşağıdadır:
C++ // C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include using namespace std ; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 []) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 []) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } int * constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int * BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver code int main () { int n = 5 ; // Construct two BIT int * BITTree1 * BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 r = 4 ; cout < < 'Sum of elements from [' < < l < < '' < < r < < '] is ' ; cout < < rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) < < ' n ' ; return 0 ; }
Java // Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.* ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ] ; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ] ; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function public static void main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; System . out . print ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); System . out . print ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
Python3 # Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum ( BITree : list index : int ) -> int : summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0 : # Add current element of BITree to sum summ += BITree [ index ] # Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit ( BITTree : list n : int index : int val : int ) -> None : # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n : # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree [ index ] += val # Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ) # Returns the sum of array from [0 x] def summation ( x : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ) def updateRange ( BITTree1 : list BITTree2 : list n : int val : int l : int r : int ) -> None : # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit ( BITTree1 n l val ) updateBit ( BITTree1 n r + 1 - val ) # Update BIT2 updateBit ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )) updateBit ( BITTree2 n r + 1 - val * r ) def rangeSum ( l : int r : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation ( r BITTree1 BITTree2 ) - summation ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ) # Driver Code if __name__ == '__main__' : n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print ( 'Sum of elements from [ %d %d ] is %d ' % ( l r rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ))) # This code is contributed by # sanjeev2552
C# // C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int [] BITree int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int [] BITree int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of // parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int [] BITTree1 int [] BITTree2 int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Code public static void Main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; Console . Write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); Console . Write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
JavaScript < script > // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum ( BITree index ) { let sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT ( BITree n index val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum ( x BITTree1 BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } function updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } function rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } function constructBITree ( n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array ( n + 1 ); for ( let i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function let n = 5 ; // Contwo BIT let BITTree1 ; let BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; document . write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); document . write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + '
' ); // This code is contributed by rag2127 < /script>
Çıkış
Sum of elements from [14] is 50
Zaman Karmaşıklığı : O(q * log(N)) burada q, sorgu sayısıdır.
Yardımcı Alan: AÇIK)
